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第三单元 第10课时 探索图形 教学设计
学 校 授课班级 授课教师
学习目标 1.能具体找到每种涂色的小正方体个数和位置的关系，获得一些研究数学问题的方法，经验，加深对相关知识的理解。 2.通过观察、归纳得出每种涂色情况的小正方体的个数，经历从特殊到一般的过程，体会数学与生活的广泛联系，感受“归纳”这一数学思想的应用。 3.进一步发展学生动手操作能力与空间想象能力，使学生感悟数学知识内在联系的逻辑之美。
重 点 根据正方体的特征，利用学具找到每种涂色情况的小正方体的数量，确定每种涂色情况的小正方体的位置规律。
难 点 在探究体验的过程中发现图形的规律。
学情分析 本课是在学生已学习《长方体和正方体》的基础上，探索由小正方体拼成的大正方体中各种涂色小正方体的数量，发现其中蕴含的数量上的规律，以及每种涂色小正方体的位置特征，培养学生的空间想象力和推理能力，体会分类计数的思想。
核心素养 经历从特殊到一般的过程，体会数学与生活的广泛联系，感受“归纳”这一数学思想的应用。
教学辅助 教学课件、学习任务单、（若有教具等教师自行增加）
教学流程
情境导入—引“探究”
教师谈话导入：想一想：正方体的面、棱、顶点各有什么特征？
这是一个棱长1cm的正方体。
正方体：8个顶点，6个面都是正方形，完全一样，12条棱都相等。
知识链接—构“联系”
用棱长1cm的小正方体拼成如下的大正方体，说一说每个大正方体分别是由多少块小正方体组成的？
4个 27个 64个
这节课我们将应用所学的知识来探索图形的变化----正方体表面涂色的问题。
学习任务一：探索正方体表面涂色的规律
【设计意图：让学生经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动 ，学会从简单的情况找规律，解决复杂问题的化繁为简的思想方法。】
新知探究—习“方法”
用棱长 1 cm 的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。①、②、③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？按这样的规律拼下去，第④、⑤个正方体的结果会是怎样的呢？
① ② ③
1.明确问题：
要想发现它们的数量规律，我们不妨从简单的图形入手开始研究。
用棱长1cm的小正方体拼成如上图的大正方体后，把它们的表面分别涂上颜色。①、②、③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少块？
请大家先认真读一读，理解一下题意。
谁能解释一下这个问题？
（表面涂色就是指外面的六个面都涂上颜色，里面没有涂色，所以涂完后原来的小正方体就会出现三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色这四类。）
2.合作探究：
（1）了解学具：
借助于小正方体摆一摆，涂一涂，大家可以直接在这上面做记号涂一涂、数一数。
64块小正方体：可以用来摆一摆、涂一涂、数一数。但这个在摆的时候会比较慢，所以建议大家可以在3个正方体模型解决不了的情况下再来摆。
（2）合作要求：
下面请大家小组合作，选择合适的学具，数一数，填一填。填完之后再看看每类小正方体都在什么位置，能否找到规律？
序号 棱上块数 三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数 合计 应有 总块数
① 2
② 3
③ 4
3.展示交流
（1）统一表1的答案
下面请第*小组汇报一下你们的研究结果？（一个小组汇报）
有不同意见吗？（如果有问题，有针对性的解决。）
序号 棱上块数 三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数 合计 应有 总块数
① 2 8 0 0 0 8 8
② 3 8 12 6 1 27 27
③ 4 8 24 24 8 64 64
（2）探寻规律
观察我们的研究结果，三面涂色的块数什么规律？
*三面涂色的
——都是8块。
为什么？（它们都在大正方体的顶点处，大正方体有8个顶点。）
谁能到前面来给大家指着数一数。
规律1：三面涂色的小正方体块数都是8
*两面涂色的
——都是12的倍数
为什么？（它们都在大正方体的棱上，大正方体有12条棱。）
谁来给大家数一数？
之后，课件演示验证。（每条棱上两面涂色的块数都比棱上总块数少2）
规律2：两面涂色的小正方体块数：（棱上块数-2）×12
*一面涂色的
——都是6的倍数
为什么？（它们都在大正方体的面上，大正方体有6个面。）
谁来给大家数一数？
之后，课件演示验证。（每个面上一面涂色的块数在面的中间形成一个正方形，它的边长比原来棱上块数少2）
规律3：一面涂色的小正方体块数：(棱上块数-2)2×6
（3）验证猜想
按这样的规律摆下去，第4个和第5个正方体的结果会是怎样的呢？
想一想，算一算，填一填。
棱上块数 三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数
5 8 36 54 27
6 8 48 96 64
小组合作完成后，全班交流。
（4）总结规律
回到我们课前的问题来，如果大正方体每条棱上的块数为n，你能找到它们的数量规律吗？认真想一想 ，填一填。
学生小组合作完成后全班交流：
三面涂色的小正方体块数：8
两面涂色的小正方体块数：(n-2)×12
一面涂色的小正方体块数：(n-2)2×6
没有涂色的小正方体块数：(n-2)3
学习任务二：形状不规则的物体中小正方体个数的求法
【设计意图：学生通过前面规律的探究体会数型结合，发展空间想象力，培养空间观念。进一步的解决相似问题。】
想一想，数一数，下面图形中各有多少块小正方体？
如果把它们的表面分别涂上颜色，结果又如何呢？
1.思考：我们可以怎样探究？学生汇报：分层数出几何体中小正方体的个数。
第一层：1个
第二层：1+2=3（个）
总块数：1+3=4（个）
第一层：1个
第二层：1+2=3（个）
第三层：1+2+3=6（个）
总块数：1+3+6=10（个）
第一层：1个
第二层：1+2=3（个）
第三层：1+2+3=6（个）
第四层：1+2+3+4=10（个）
总块数：1+3+6+10=20（个）
2.第一层：1个 第1个图形小正方体总数：1+（1+2）=4
第二层：（1+2）个 第2个图形小正方体总数：1+（1+2）+（1+2+3）=10
第三层：（1+2+3）个 第3个图形小正方体总数：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）=20
提问：通过上面的观察，你有什么发现？
（1）第n层小正方体的个数=n×（n+1）÷2。
（2）小正方体的总个数等于各层小正方体的个数之和。
学习任务三：达标练习，巩固成果。
【设计意图：通过分层练习，巩固长方体和正方体体积的计算方法，能应用长方体和正方体的体积计算公式解决实际问题。】
达标练习---活“应用”
课堂练习
1.一个正方体,在它的每个面上都涂红色,再把它分割成棱长是1厘米的小正方体若干个。已知两面涂色的小正方体有96个,求大正方体的棱长。
2.已知一个大正方体木块能被分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块,在这个大正方体木块的6个面上涂红色,把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块中,有两面涂红色的共108块,那么只有一面涂红色的有几块
二、学以致用
3.有一个棱长为10分米的正方体,它的6个面都涂有黄色,把它分割成棱长为1分米的小正方体若干个。三面涂黄色的小正方体有几个 两面涂黄色的小正方体有几个 一面涂黄色的小正方体有几个
4.下面的长方体都是用棱长 1 cm 的小正方体摆成的。计算它们的体积。
三、拓展提升
5.下图中甲的表面积(　　)乙的表面积。
A.大于　　　B.等于　　　C.小于
6.小正方体表面涂色的规律
设计游戏：
把表面涂色的正方体每条棱平均分成10份，从切成的小正方体中任取一个，若3面涂色、2面涂色、1面涂色时，同学赢；否则，老师赢。你认为谁赢得可能性大一些？为什么？
【作业设计】
作业布置---拓“延伸”
课下借助于教具探索没有涂色的小正方体有着怎样的规律呢？
2. 完成《分层作业》。
【板书设计】
探索图形
8个顶点 12条棱 6个面
棱长 三面涂色的块数 两面涂色的块数 一面涂色的块数 没有涂色的块数
① 2 8 0 0 0
② 3 8 1×12=12 1×6=6 1
③ 4 8 2×12=24 4×6=24 2×2×2=8
④ 5 8 3×12=36 9×6=54 3×3×3=27
⑤ 6 8 4×12=48 16×6=96 4×4×4=64
n 8 （n-2）×12 （n-2）2×6 （n-2）3

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