资源简介

5.2.1函数的奇偶性
一、教材分析：
（一）教材的地位与内容
函数的奇偶性是函数的一个重要性质，是对函数概念的深化.
偶函数的引入来自于函数图像的几何直观——图像关于y轴成轴对称. 由于初中关于“轴对称”缺乏严格的、可以用来进行代数检验的定义，因此在本教材中用一句话点明了轴对称的实质. 同样地，在引入奇函数时也给出了“中心对称”的严格定义.
在给出偶函数的定义之前，教材从代数的角度先揭示了“函数的图像关于y轴轴对称”时，该函数应满足的一个充要条件. 这比“图像对称”更容易验证，从而就可以用符号语言来给出偶函数的定义.
（二）教学目标
1、知识与技能
理解偶函数与奇函数的概念与图像特征，会在简单情境下利用定义判断函数的奇偶性.
2、过程与方法
通过对特殊函数图像的研究，经历观察、思考、讨论，归纳偶函数和奇函数的概念，体会特殊到一般、数形结合的数学思想和方法.
3、情感态度与价值观
在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，体验数学既是抽象的，又是具体的，提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，激发学生自主学习的兴趣.
（三）教学重点、难点
教学重点：偶函数与奇函数的概念及其建立过程，函数奇偶性的判断.
教学难点：偶函数与奇函数的概念理解，偶函数与奇函数图像性质的证明.
二、教学方法
（一）教学方法
根据新课程教学理念，注意结合学生所熟悉的生活实例、已掌握的对称函数的图像，来创设问题情景，启发引导学生自主学习，探索新知，使学生学会思在问题的疑难处，想在真理的探索中，达到“学”有知“思”，“思”有所得的目的.
（二）教学手段
多媒体课件、多媒体投影仪辅助教学，配以本校特色的导学案. 特别是用计算机来绘画函数图像，使抽象的数学问题变得直观，使概念的教学本质得以凸显.
三、学习方法
（一）学情分析
学生已经学习了函数的概念，并且已经研究过关于一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数的图像与性质. 学生们在知识上已经具备了一定的知识经验和基础，在能力上已经初步具备了数形结合思想，但基础薄弱，逻辑思维能力不强.
（二）学习方法
设计思想：学生为主题，教师为主导，训练为主线，思想为主攻；问题由学生提出，过程由学生推进，规律由学生发现，结论由学生总结.
首先创设有利于学生“自主观察、发现规律、敢于猜想”的问题情境，推导出结论（结果）；其次在新课探究的过程中主要采取让学生自主探索，合作交流，建立恰当数学思想的学习方法；然后在典型例题的学习过程中让学生充分体会自主进位，自主动手，合作交流的学习方法；最后在小结时让学生自己总结，体验自主获取知识的快乐过程。
教学过程
（一）复习引入
（1）请画出幂函数与二次函数的图像，并判断其对称性.
思考：根据以上两个函数的图像，思考其相应的自变量与函数值的对应关系是如何体现其对称性的？
一个图形关于某条直线成轴对称，是指该图形上的任意一点关于直线的对称点也在此图形上.
（2）请画出函数的图像，并判断其对称性.
思考：函数的自变量与函数值的对应关系是如何体现其对称性的？
一个图形关于某个点成中心对称，是指该图形上的任意一点关于点的对称点也在此图形上.
【设计意图】利用学生们学过的幂函数，二次函数图像，让学生们从图像上感受函数关于y轴轴对称和关于原点对称的概念，由点（函数图像）对称、数（纵坐标）相等，得到式（函数式）相等的关系，为后续介绍偶函数和奇函数的定义做准备。
（二）新课讲授
探究“函数的图像关于轴成轴对称”的充要条件
定义：
（1）对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为偶函数.
（2）对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且
，就称函数为奇函数.
说明：
根据上述推导及定义，从图形的角度来看，偶函数就是其图像关于轴成轴对称的函数. 奇函数就是其图像关于原点成中心对称的函数.
定义中的等式（或）对定义域里的任意都要成立，若只对个别值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）；
等式（或）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意来说，也应在定义域之中，即定义域关于原点对称，否则无意义；由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.
（三）例题讲解
证明：函数是一个偶函数.
【设计意图】演示证明一个函数是偶函数的证明过程.
证明：是一个奇函数.
【设计意图】让学生们仿照例1证明一个函数是奇函数.
是否存在定义在上的，且既是奇函数又是偶函数的函数？若存在，求出所有满足此条件的函数；若不存在，说明理由.
【设计意图】通过分析来说明的确存在既是奇函数又是偶函数的函数，例3的分析过程比结论更加重要. 另外，如果没有“定义域为R”这一条件，那么任何一个函数值恒为零、定义域关于原点对称的函数都满足本例的条件.
总结：函数奇偶性的判断方法
⑴判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数，叫做判断函数的奇偶性，判断的根据是定义.
⑵函数中有奇函数，有偶函数，也有非奇非偶函数，还有既是奇函数又是偶函数，例如常数函数，当时是偶函数，当时，它既是奇函数又是偶函数.
⑶判断函数的奇偶性，有时也可根据下面的式子来判断：
对于定义域内任意一个，①若有成立，则为偶函数；②若有成立，则为奇函数.
四、反馈练习
1.奇函数的图像是不是一定通过原点？偶函数的图像是不是一定与轴相交？请说明理由.
2.如图，已知偶函数在轴及轴一侧的部分图像，作出的大致图像.
3.证明下列函数是奇函数.
（1）; （2）.
4、判断下列函数的奇偶性：
①、 ②、
③、 ④、
【设计意图】检查教学目标落实情况
五、课后作业
必做题：课时作业P73~P74 1-12 选做题：13
【设计意图】围绕课堂的重点，分层布置作业，帮助学生进一步理解相关的知识与方法，利于拓展学生的自主发展的空间．
六、评价分析
无论是问答式的提问，还是学生的课堂练习，或是学生的探究结果，都要给学生的答案一个肯定的评价，要求客观，真实，同时主要对学生给予激励。所以，本节课在评价方面主要采取激励性评价.
七、教学特色
本节课的设计，体现了我从教以来，为了迎接新课改，走进新课程，在教师的教学行为和学生的学习方式进行的几点尝试：
1、重视对学生创新意识和实践能力的培养．给学生时间和空间，放手让学生实践．始终关注每一位学生参与探究的全过程，完成教师角色的转变，教师真正成为学生活动的组织者、参与者、咨询者和合作者，只有完成这种角色的转变，才能更好的培养学生的创新意识和实践能力．
2、在数学活动中研究，在研究中体验，在体验中提高．数学教学是数学思维活动的教学．本节课力争让学生在数学活动中，独立探究，在探究中形成学习数学的亲身体验，进而内化为数学思想方法和数学观念．力求让学生“感悟到什么、经历到什么、体验到什么和收获到什么”这样一种理念，最终达到培养学生能力和提高学生素质的目的．
3、注重利用多媒体实物投影仪对学生的探究结果进行实时评价和反馈
板书设计
§5.2.1函数的奇偶性 定义： （1）偶函数：函数，对定义域中任意，都有，并且. （2）奇函数：函数，对定义域中任意，都有，并且. 注： 对称性：偶函数图像关于轴成轴对称. 奇函数图像关于原点成中心对称； 的任意性； 定义域关于原点对称； (4) 函数中有奇函数，有偶函数，非奇非偶函数，既是奇函数又是偶函数.
教学反思

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