资源简介

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分课时教学设计
第一课时《17.2勾股定理逆定理》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课内容是在学生已经学习了勾股定理、勾股定理应用的基础上、对勾股定理的逆定理的学习与运用。勾股定理的逆定理是几何中一个非常重要的定理，它是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要方法，还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。八年级正是学生由实验几何向推理几何过渡的重要时期，通过对勾股定理逆定理的再探究，有利于更好的培养学生的分析思维能力，发展推理能力，在教学中渗透类比、转化，从特殊到一般的思想方法。
学习者分析 八年级学生认知结构、心理特征趋于逐渐成熟时期，是学生由试验几何向推理几何过渡的重要阶段。这个时期的学生对所学知识有一种急于尝试和运用的冲动，若不能正确引导，则必将对其学习数学的积极性造成伤害。
教学目标 1.能知道勾股定理的逆定理,能根据该定理判断一个三角形是不是直角三角形 2.能理解原命题、逆命题、逆定理的概念 3.知道勾股数的概念,并能熟记一些勾股数 4.能应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题
教学重点 勾股定理的逆定理的证明过程
教学难点 学生归纳总结数学思想方法在题目中的应用规律。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 1.勾股定理的内容是什么 2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长. ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； ③ a＝4，b＝7.5. 思考：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？学生活动1： 学生回忆，思考回答问题活动意图说明：旨在通过复习勾股定理来引入本课时的学习任务。环节二：教师活动2： 据说，古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，则其中一个角便是直角. 如果围成的三角形的三边长分别为3、4、5，它们满足关系“32+42=52”，那么围成的三角形为直角三角形. 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 由上面几个例子，我们猜想： 命题2：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 我们看到，命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题. 上节已证明命题1正确，能证明命题2正确吗？ 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． 证明：作Rt△A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°. 根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2=c2 ∴ A′B′=c 在△ABC和△A′B′C′中， BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′ ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS) ∴ ∠C=∠C′=90° 即△ABC是直角三角形. 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 特别说明： 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 命题2 如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.学生活动2： 学生通过思考举手回答并总结得出勾股定理的逆定理。 引导学生用全等三角形的判定定理来证明 活动意图说明：让学生体会勾股定理的逆命题证明过程，从而理解并学会运用。环节三：教师活动3： 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a=15，b=8，c=17; (2)a=13，b=14，c=15. 解：(1)∵152+82=289，172=289， ∴152+82=172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. (2)∵132+142=365，152=225， ∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理， ∴这个三角形不是直角三角形. 例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗 解：根据题意， PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30, ∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2 ∴∠RPQ=90° 而根据题意∠1=45° ∴∠2=∠RPQ - 45°=45°,即“海天”号沿西北方向航行. 学生活动3： 独立完成例题学习，小组讨论交流自己的收获活动意图说明：让学生从习题上熟悉勾股定理的逆定理，并能灵活运用
板书设计 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各组数中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A．1，2，2 B．32，42，52 C．，， D．，， 2．在△ABC中，∠B＝35°，BC2－AC2＝AB2，则∠C的大小为（ ） A．35° B．55° C．65° D．90° 3．若三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是____________三角形． 4．在△ABC中，AB＝12，BC＝16，AC＝20，则△ABC的面积是__________． 选做题： 5.有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积. 【综合拓展类作业】 6.若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.以下列各组线段为边长作三角形，不能作出直角三角形的是（　　） A.1，2， B.6，8，10 C.3，7，8 D.9，12，15 2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则下列结论正确的是（　　） A.△ABC是直角三角形，且∠A为直角 B.△ABC是直角三角形，且∠B为直角 C.△ABC是直角三角形，且∠C为直角 D.△ABC不是直角三角形 4.下列说法正确的是（　　） A.真命题的逆命题一定是真命题 B.若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 C.任何一个定理一定有逆定理 D.任何一个命题一定有逆命题 5.若6，8，a和5，b，13是两组勾股数，则a－b的值是 　　. 选做题： 6．已知中，、、所对边长分别为、、， 若、、三边满足，试判断的形状． 【综合拓展类作业】 7.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600 m和800 m，AB＝1 000 m，飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响. （1）着火点C受洒水影响吗？请说明理由. （2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13 s，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
教学反思 在本课时教学过程中，应以师生共同探讨为主. 激励学生回答问题，激发学生的求知欲.课堂上师生互动频繁，既保证课堂教学进度，又提高课堂学习效率. 学生在探讨过程中也加深了对知识的理解和记忆.
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17.2勾股定理的逆定理
人教版八年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
教学目标
1.能知道勾股定理的逆定理,能根据该定理判断一个三角形是不是直角三角形
2.能理解原命题、逆命题、逆定理的概念
3.知道勾股数的概念,并能熟记一些勾股数
4.能应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题
新知导入
1.勾股定理的内容是什么
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长.
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
思考：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
新知讲解
据说，古埃及人用右图所示的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，则其中一个角便是直角.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果围成的三角形的三边长分别为3、4、5，它们满足关系“32+42=52”，那么围成的三角形为直角三角形.
新知讲解
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
新知讲解
由上面几个例子，我们猜想：
命题2：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
我们看到，命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题.
上节已证明命题1正确，能证明命题2正确吗？
新知讲解
9
9
18
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
A　
B　
C　
a
b
c
证明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，A'C'=b，B'C'=a，
则A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2
∵a2 + b2 = c2,
∴A'B'2 = c2,A'B' = c
在△ABC和△A'B'C'中，
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)，
∴∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形.
新知讲解
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明：
新知讲解
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
命题2 如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
典例精析
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=15，b=8，c=17;
(2)a=13，b=14，c=15.
解：(1)∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
典例精析
例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30,
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2
∴∠RPQ=90°
而根据题意∠1=45°
∴∠2=∠RPQ - 45°=45°,即“海天”号沿西北方向航行.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．下列各组数中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，2 B．32，42，52
C．，， D．，，
2．在△ABC中，∠B＝35°，BC2－AC2＝AB2，则∠C的大小为（ ）
A．35° B．55° C．65° D．90°
C
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．若三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是____________三角形．
4．在△ABC中，AB＝12，BC＝16，AC＝20，则△ABC的面积是__________．
直角
96
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.
A
B
C
D
解：连接AC，
∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，
∵AC＞0，∴AC=5，
∵BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=169，
∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=24(m2)．
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，
∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即(a－3) +(b－4) +(c－5) =0.
∴a=3,b=4,c=5，
即a2+b2=c2.
∴△ABC是直角三角形.
6.若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
课堂总结
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
板书设计
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：

1.以下列各组线段为边长作三角形，不能作出直角三角形的是（　　）
A.1，2， B.6，8，10
C.3，7，8 D.9，12，15
2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则下列结论正确的是（　A　）
A.△ABC是直角三角形，且∠A为直角 B.△ABC是直角三角形，且∠B为直角
C.△ABC是直角三角形，且∠C为直角 D.△ABC不是直角三角形
C
A
作业布置
【知识技能类作业】必做题：

4.下列说法正确的是（　　）
A.真命题的逆命题一定是真命题
B.若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C.任何一个定理一定有逆定理
D.任何一个命题一定有逆命题
5.若6，8，a和5，b，13是两组勾股数，则a－b的值是 　－2　.
D
－2
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
6．已知中，、、所对边长分别为、、， 若、、三边满足，试判断的形状．
解：是直角三角形．
理由如下：
，
，，，
，，，
，，
，
是直角三角形．
作业布置
【综合拓展类作业】
7.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600 m和800 m，AB＝1 000 m，飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响.
（1）着火点C受洒水影响吗？请说明理由.
作业布置
【综合拓展类作业】
解：（1）着火点C受洒水影响.
理由：如答图，过点C作CD⊥AB于点D.
由题意知，AC＝600 m，BC＝800 m，AB＝1 000 m.
∵AC2＋BC2＝6002＋8002＝1 0002，AB2＝1 0002，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形.
∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，
∴600×800＝1 000CD，∴CD＝480 m.
∵飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响，
∴着火点C受洒水影响.
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13 s，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
解：（2）如答图，当EC＝FC＝500 m时，飞机正好喷到着火点C.
∵在Rt△CDE中，
ED＝＝＝140（m），
∴EF＝280 m.
∵飞机的速度为10 m/s，
∴280÷10＝28（s）.
∵28＞13，
∴着火点C能被扑灭.
谢谢
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册17章
课标要求 1.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题；2.通过具体的例子，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
内容分析 勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三角形的一个判定定理.教科书按照先性质后判定的顺序，第一节安排了对于勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的探究过程，第二节勾股定理逆定理的安排也是设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的完整过程.展现了“从特殊到一般”的研究几何图形的基本思路和定理课观察→计算→猜想→证明的基本流程.
学情分析 学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会，更希望教师满足他们的创造愿望。
单元目标 （一）教学目标1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程；知道这两个定理的联系与区别能运用这两个定理解决一些简单的实际问题.2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会运用这两个定理解决一些几何问题.3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.4.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感：通过对勾股定理的探索和交流，培养数学学习的信心.（二）教学重点、难点教学重点：勾股定理及其逆定理的探索与运用教学难点：勾股定理的证明，勾股定理及其逆定理的运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数17.1 勾股定理317.2勾股定理逆定理1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务17.1勾股定理1.掌握勾股定理2.理解勾股定理的几何意义3.用勾股定理解决实际问题学生会用几何图形探究勾股定理，并且能利用勾股定理解决实际问题任务1.探究勾股定理任务2.出示例题任务3.在数轴上表示无理数17.2勾股定理逆定理1．掌握勾股定理逆定理2．熟练运用勾股定理以及逆定理解决问题学生会利用勾股定理及逆定理解决实际问题任务1：探究勾股定理逆定理任务2.出示例题
《17章勾股定理》单元教学设计
活动1：通过历史故事情境引入课题
活动3：探究一般直角三角形三边关系
17.1.勾股定理(第1课时)
活动2：由特殊的等腰直角三角形得出边的关系
活动4：例题
活动1：引入课题
17.1勾股定理(第2课时)
勾股定理
活动2：例题
活动1：引入课题
活动2：证明直角三角形全等的判定定理
17.1勾股定理(第3课时)
活动3：探究在数轴上表示无理数的方法
活动4：例题
活动1：引入课题
活动2：探究勾股定理逆定理
17.2勾股定理逆定理
活动3：例题
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