资源简介

《3.2弧度与角度的换算》教学设计
【教学目标】
1.掌握角度和弧度的换算，熟记特殊角度弧度数；（数学运算）
2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式，会用弧度解决某些简单的实际问题；（数学建模）
3.通过学习，理解角度制和弧度制都是度量角的方法，二者是辩证统一的.（逻辑推理）
【教学重点】
掌握弧度与角度的互换
【教学难点】
弧度制的理解和应用
【教学过程】
一、创设问题情境，引出新知
问题1：角度和弧度都是角的度量单位，那么角度和弧度之间有什么关系？
问题2：在单位圆中，圆的周长是2π，因此圆周角的弧度数是2π，而在角度下圆周角是360°，即360°=2π rad，请同学利用这个式子，推导出1°是多少弧度？1弧度等于多少度？
（1）由360°=2π rad 两边同时除以360得1°＝ rad ≈0.01745 rad；
（2）由360°=2π rad 两边同时除以2π得1 rad＝≈57°18′
问题3：我们推导出1°＝ rad，怎么利用这个式子将角度化为弧度呢？
例如：90°=90×=，即角度化为弧度的方法是：角度的值×
问题4：我们推导出1 rad＝，怎么利用这个式子将弧度化为角度呢？
例如=×=90°，即弧度化为角度的方法是：弧度的值×
二、抽象概括，得出弧度与角度互化的公式
1.弧度与角度的换算
（1）角度化为弧度的方法是：角度的值×；
（2）弧度化为角度的方法是：弧度的值×.
三、典例剖析，理解弧度与角度的换算
课本P10例1
例1 （1）把45°化成弧度；（2）把－600°化成弧度.
例2 （1）把 化成度； （2）把－化成度.
【当堂训练】
1.将下表中的特殊角的角度和弧度进行互化.
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°
弧度 π 2π
2. 下列各角与120°角终边相同的为(　　)
A.－＋2kπ，k∈Z B. C.－＋2kπ，k∈Z D.＋(2k＋1)π，k∈Z
【答案】C　[因为120°＝，－＋2kπ＝＋(2k－4)π，k∈Z，所以120°与－＋2kπ，k∈Z，终边相同.]
注：终边相同的角的表示中，那么都用弧度制，那么都用角度制，不能混搭.
终边相同的角
(1)用角度制表示：S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z},其中α，β是角度制下的角，且0°≤α＜360°；
(2)用弧度制表示：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z }，其中α，β是弧度制下的角，且0≤α＜2π；
四、迁移应用，推导出弧度之下的扇形的弧长和面积公式
2.弧度制的简单应用
在弧度制下证明下列关于扇形的公式：
设扇形的半径为r，弧长为l，扇形的面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则
（1）l＝|α|·r （2）S＝l·r＝|α|·r 2
证明：（1）在半径为r的圆中，若圆心角A为n°，则它对应的弧长l＝·2πr.又此时角A的弧度数α＝·2π，因此，l＝|α|r，即|α|＝.即圆心角的弧度数的绝对值等于该角所对的弧长与半径之比.
（2）在半径为r的圆中，若圆心角A为n°的扇形的面积S＝·πr 2.又此角A的弧度数α＝·2π，因此，S=|α|·r 2，将|α|＝代入S=|α|·r 2得S＝l·r
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α(0<α<2π)，则
度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝|α|·r
扇形的面积 S＝l·r＝|α|·r2
扇形的周长 C=2r+l
【当堂训练】课本P12练习第6、8题
6.分别用角度制、弧度制下的弧长公式,计算在半径为2 cm的圆中,60°的圆心角所对的弧的长度.
8.设扇形的弧长为18 cm,半径为12 cm,求这个扇形的面积.
4.弧度制的简单应用，加深对弧度制的理解
课本P11
如图1-13的模型：
单位圆M与数轴相切于原点O,把数轴看成一个“皮尺”.对于任意一个正数a,它对应正半轴上的点A,把线段OA按逆时针方向缠绕到圆M上,点A对应单位圆上点A',这样就得到一个以点M为顶点,以MO为始边,经过逆时针旋转以MA’为终边的圆心角α，该角的弧度数为整数a.
【思考交流】对于任意一个负数b,如何利用“皮尺”缠绕的方法,在上述的圆M中找到与弧度数为b相对应的圆心角β
五、当堂检测题，加深对弧度制的理解和应用
1.(多选题)下列结论正确的是(　　)
A. rad＝60°　　B.10°＝ rad C.36°＝ rad D. rad＝115°
ABC　[ rad＝×＝112.5°.]
2.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为(　　)
A.　 B. C. D.
A　[∵240°＝240× rad＝ rad，∴弧长l＝|α|·r＝×10＝.]
3.已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角为多少时，扇形的面积最大，并求这个最大值.
解　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.
由已知，得2r＋l＝a，即l＝a－2r.∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r
＝－(r－)2＋.∵r>0，l＝a－2r>0，∴0∴当r＝时，Smax＝.此时，l＝a－2·＝.
∴α＝＝2(α＞0).故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为.
六、课堂小结，升华素养
七、布置作业，即时检测
课本P12练习第1、2题
课本P13习题1-3B组第2、3题

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