资源简介

《4.3诱导公式与对称》教学设计
【教学目标】
1.了解正弦函数、余弦函数诱导公式的意义和作用；
2.理解诱导公式的推导；（逻辑推理）
3.能运用诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简、证明问题.（数学运算）
【教学重点】
1.正弦函数、余弦函数的诱导公式；
2.正弦函数、余弦函数的诱导公式的求值、化简.
【教学难点】
诱导公式的推导与运用.
【教学过程】
一、问题提出，创设情境
上节课我们学习了正弦函数、余弦函数的周期性，知道了：
终边相同的角的正弦函数值相等，即sin (2kπ＋α)＝sinα，k∈Z；
终边相同的角的余弦函数值相等，即cos (2kπ＋α)＝cosα，k∈Z；
例如sin (2π＋)＝sin==；sin (－2π)= ＝sin==
这说明借助三角函数的周期，我们能把负角化为正角，把大角化为小角，然后，我们就能借助特殊角的三角函数值求出其他角的三角函数值.
问题1：我们已经知道那么的值是多少呢？
问题2：与的值之间是否有什么关系呢？
问题3：是否有一组公式能把负角化为正角，把大角化为小角，然后，我们就能借助特殊角的三角函数值求出其他角的三角函数值.
我们把这组公式叫三角诱导公式，下面我们将借助单位圆的对称性探究诱导公式：
二、合作探究，得出诱导公式
探究一.角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系
如图1-25，在平面直角坐标系中，设任意角α和－α的终边与单位圆的交点分别为点P和P'，请同学们思考一下问题
（1）观察图1-25中，判断点P和P'的对称性；
点P'与点P关于x轴对称
（2）设点P(u，v)，请写出P' 的坐标；
根据对称性，P' 的坐标是P' (u，－v)
（3）根据正弦函数、余弦函数的定义，探究出角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系.
点P和P'的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反.即
sin (－α)＝－sin α，满足 ，所以正弦函数y= sin α是奇函数；
cos (－α)＝cos α，满足 ，所以余弦函数y= cos α是偶函数.
1.sin α，cos α与sin (－α)，cos (－α)的关系
(1) sin (－α)＝－sin α，所以正弦函数v＝sin α是奇函数；
(2) cos (－α)＝cos α，所以余弦函数u＝cos α是偶函数.
[提问] 请同学们利用sin (－α)＝－sin α求出的值.
探究二.角α与α±π的正弦函数、余弦函数的关系
如图1-26，在平面直角坐标系中，设任意角α的终边与单位圆的交点为P，当点P沿逆(顺)时针方向旋转π弧度至点P' 时，请同学们思考一下问题：
（1）点P' 是哪个角的终边与单位圆的交点？
点P'是α±π的终边与单位圆的交点
（2）判断点P'与点P的对称性？
点P'与点P关于原点对称
（3）设点P(u，v)，请写出P' 的坐标.
根据对称性，P' 的坐标是P' (－u，－v)
（4）根据正弦函数、余弦函数的定义，探究出角α与α±π的正弦函数、余弦函数的关系.
P' 与点P的横坐标的绝对值相等且符号相反，纵坐标的绝对值也相等且符号相反.即
sin (α＋π)＝－sinα，sin (α－π)＝－sinα，
cos (α＋π)＝－cosα，cos (α－π)＝－cosα.
2.sin α，cos α与sin (α±π)，cos (α±π)的关系
（1）sin (α＋π)＝－sinα，sin (α－π)＝－sinα，
（2 cos (α＋π)＝－cosα，cos (α－π)＝－cosα.
[提问]请同学们利用sin (α＋π)＝－sinα求出的值.
探究三.角α与角π－α的正弦函数、余弦函数的关系
如图1-27，在平面直角坐标系中，设任意角α的终边与单位圆的交点为P，角π－α与单位圆的交点为点P' 时，请同学们思考一下问题：
（1）判断点P'与点P的对称性？
点P'与点P关于y轴对称
（2）设点P(u，v)，请写出P' 的坐标.
根据对称性，P' 的坐标是P' (－u，v)
（3）根据正弦函数、余弦函数的定义，探究出角α与角π－α的正弦函数、余弦函数的关系.
P' 与点P的横坐标的绝对值相等且符号相反，纵坐标的值相等.即
sin (π－α)＝sinα，cos (π－α)＝－cosα.
3. sin α，cos α与sin (π－α)，cos (π－α)的关系
sin (π－α)＝sinα，cos (π－α)＝－cosα.
三角函数的诱导公式
1.sin α，cos α与sin (－α)，cos (－α)的关系
(1) sin (－α)＝－sin α，所以正弦函数v＝sin α是奇函数；
(2) cos (－α)＝cos α，所以余弦函数u＝cos α是偶函数.
2.sin α，cos α与sin (α±π)，cos (α±π)的关系
（1）sin (α＋π)＝－sinα，sin (α－π)＝－sinα，
（2 cos (α＋π)＝－cosα，cos (α－π)＝－cosα.
3. sin α，cos α与sin (π－α)，cos (π－α)的关系
sin (π－α)＝sinα，cos (π－α)＝－cosα.
三、典例分析，强化应用
课本P21例5
例5 画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点，说出它们的对称关系.
【当堂训练】课本P22练习第3题
3.角α的终边与单位圆交与点 ，分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求出角π－α, －α, π+α, 2π－α的正弦函数值、余弦函数值.
【当堂训练】课本P21例6
诱导公式的应用1：已知角求三角函数值
例6 求下列三角函数值：
[方法点拨]
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
（1）“负化正”：用公式把负角转化为正角；
（2）“大化小”：用公式把角转化为0°～360°的角；
（3）“角化锐”：用公式将大于90°的角转化为锐角；
（4）“锐求值”：得到锐角后求三角函数值.
[规律总结]
（1）求 符号由角所在的象限决定：
当是第一、二限象角时，;
当是第三、四限象角时，.
（2）求 符号由角所在的象限决定：
当是第一、四限象角时，;
当是第二、三限象角时，.
【当堂训练】课本P22练习第2题
2.计算
诱导公式的应用2：已知三角函数值（式子）求三角函数值
1.已知sin (π＋α)＝－0.3，则sin (2π－α)＝________.
2.已知cos (－α)＝，则cos (＋α)＝________.
[分析]已知三角函数值求三角函数值，第1题是先利用诱导公式，化简求出sin α的值，在利用诱导公式化简sin (2π－α)，找到所求式子与sin α的关系.第2题不能直接利用诱导关系，已知角(－α)和所求角(＋α)中的角α异号，所以两角相加寻找得出两角之间的关系，(－α)+ (＋α)= π，(＋α)= π－(－α)，再从整体构造诱导公式.
1.解：∵sin (π＋α)＝－sin α＝－0.3，∴sin α＝0.3.∴sin (2π－α)＝－sin α＝－0.3.
2.解：[cos (＋α)＝cos [π－(－α)]＝－cos (－α)＝－
[方法点拨] 已知三角函数值（式子）求三角函数值
（1）若已知角及所求角中π的特征是：π的整数倍，则直接利用诱导公式将三角函数式化简后求值；
（2）若已知三角函数的角和所求三角函数的角的结构是：π的分母是3,4,6，再±α，主要利用两角相加或相减得到特殊角，寻找两角的关系构造诱导公式，方法如下：
若已知角及所求角的α符号相同，则两角相减得到特殊角；
若已知角及所求角的α符号不同，则两角相加得到特殊角.
诱导公式的应用3：利用诱导公式化简三角函数式
1.化简：
解　原式＝＝＝1.
[方法点拨] 利用诱导公式化简三角函数式的方法
求角(kπ±α)的三角函数值：先将看作一个很小的α锐角，函数名不变，符号看象限.
（1）角(kπ±α)的特点是π的整数倍；
（2）函数名不变，求sin保持sin不变，求cos 保持cos不变；
（3）符号看象限：符号看角(kπ±α)所在的象限跟着的函数名的符号
（4）判断角(kπ±α)所在的象限的方法：向旋转kπ（kπ中可以去掉π的偶数倍不旋转），再旋转α，正角按逆时针旋转，负角按顺时针旋转.
四、当堂检测，巩固达标
1.sin (－390°)的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
2.若cos (π＋α)＝－，<α<2π，则sin (2π＋α)等于(　　)
A. B.± C. D.－
3..已知sin (α－)＝，则sin (－α)的值为(　　)
A. B.－ C. D.－
4.已知角α终边上有一点P(－4，3)，求的值.
【参考答案】
1.D　解析：sin (－390°)＝sin (－360°－30°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－.
2.D　解析：由cos (π＋α)＝－，得cos α＝，∵＜α＜2π，∴α＝.
故sin (2π＋α)＝sin α＝sin ＝－sin ＝－.
3.C　解析：sin (－α)＝sin [π－(α－)＝sin (α－)＝.
4.解　∵P(－4，3)，点P到原点O的距离为r＝＝5.
根据三角函数的定义，得sin α＝，cos α＝－.故原式＝
＝＝＝×(－)＝－.
五、课堂小结，升华素养
思维导图：
知识梳理
一、三角函数的诱导公式
1.sin α，cos α与sin (－α)，cos (－α)的关系
(1) sin (－α)＝－sin α，所以正弦函数v＝sin α是奇函数；
(2) cos (－α)＝cos α，所以余弦函数u＝cos α是偶函数.
2.sin α，cos α与sin (α±π)，cos (α±π)的关系
（1）sin (α＋π)＝－sinα，sin (α－π)＝－sinα，
（2 cos (α＋π)＝－cosα，cos (α－π)＝－cosα.
3. sin α，cos α与sin (π－α)，cos (π－α)的关系
sin (π－α)＝sinα，cos (π－α)＝－cosα.
二、诱导公式的应用及方法点拨
应用1：已知角求三角函数值
[方法点拨]利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
（1）“负化正”：用公式把负角转化为正角；
（2）“大化小”：用公式把角转化为0°～360°的角；
（3）“角化锐”：用公式将大于90°的角转化为锐角；
（4）“锐求值”：得到锐角后求三角函数值.
[规律总结]
（1）求 符号由角所在的象限决定：
当是第一、二限象角时，;
当是第三、四限象角时，.
（2）求 符号由角所在的象限决定：
当是第一、四限象角时，;
当是第二、三限象角时，.
应用2：已知三角函数值（式子）求三角函数值
[方法点拨] 已知三角函数值（式子）求三角函数值
（1）若已知角及所求角中π的特征是：π的整数倍，则直接利用诱导公式将三角函数式化简后求值；
（2）若已知三角函数的角和所求三角函数的角的结构是：π的分母是3,4,6，再±α，主要利用两角相加或相减得到特殊角，寻找两角的关系构造诱导公式，方法如下：
若已知角及所求角的α符号相同，则两角相减得到特殊角；
若已知角及所求角的α符号不同，则两角相加得到特殊角.
应用3：利用诱导公式化简三角函数式
[方法点拨] 利用诱导公式化简三角函数式的方法
求角(kπ±α)的三角函数值：先将看作一个很小的α锐角，函数名不变，符号看象限.
（1）角(kπ±α)的特点是π的整数倍；
（2）函数名不变值求sin保持sin不变，求cos 保持cos不变；
（3）符号看象限：符号看角(kπ±α)所在的象限跟着的函数名的符号
（4）判断角(kπ±α)所在的象限的方法：向旋转kπ（kπ中可以去掉π的偶数倍不旋转），再旋转α，正角按逆时针旋转，负角按顺时针旋转.
六、布置作业，即时检测
课本P22练习第1题
课本P25练习第3题

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