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《4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义》教学设计
【教学目标】
1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义；（数学抽象）
2.会求任意角的正弦函数值、余弦函数值；（数学运算）
3.掌握任意角的正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号.（数学抽象）
【教学重点】
1.任意角的正弦函数、余弦函数的定义；
2.任意角的正弦函数和余弦函数求值.
【教学难点】
借助单位圆理解并掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义.
【教学过程】
一、复习回顾，提出问题
在初中，我们已经学习了直角三角形的边角关系，请同学们回顾一下锐角的正弦值和余弦值的定义.
正弦，余弦
根据这一定义，请同学们求出特殊角 的正弦值和余弦值：
（教师引导学生利用初中锐角的正弦函数和余弦函数求出特殊角的三角函数值）
下面我们在平面直角坐标系中,利用单位圆(以后常设单位圆的圆心在原点)进一步研究锐角α的正弦函数和余弦函数与角终边上的点的坐标的关系.
如图1-14,对于锐角α,角α的终边与单位圆交于点P(u,v),故u是由角α唯一确定的,v也是由角α唯一确定的.
过点P向x轴作垂线，垂足为M.在Rt△OMP中，OP=1, OM=u,MP=v有
由此可知,对于锐角α来说,点P的纵坐标v是该角的正弦值,点P的横坐标u是该角的余弦值.
（从锐角的正弦函数和余弦函数引出任意角的正弦函数和余弦函数，这是将角推广之后再将锐角三角函数推广）
问题1：当α是锐角，这一结论能推广到α是任意角的情形吗？
（此时教师可以制作动画，如下图，拖动点P，让学生借助动画直观地观察出任意角的三角函数值与角的终边与单位圆的交点坐标的关系）
教师引导学生观察角α的终边与单位圆交于点P(u,v)的坐标与正弦函数和余弦函数的关系，根据动画的直观，可以发现对于任意角α，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v＝sinα,横坐标u＝cosα，由此抽象概括出任意角的正弦函数和余弦函数的定义.
二、抽象概括，得出概念
1.任意角的正弦函数和余弦函数的定义
如图1-15，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v,横坐标u都是唯一确定的，我们把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，点P的横坐标u叫作角α的余弦值.
在弧度意义下，对于α∈R，称v＝sinα为任意角α的正弦函数，u＝cosα为任意角α的余弦函数.
2.任意角的正弦函数和余弦函数的再认识及初步应用
（1）sin α，cos α是一个整体，不是“sin”“cos”与“α”的乘积，它是正弦函数、余弦函数的一个记号，离开自变量“α”的“sin”“cos”是没有意义的；
（2）正弦v＝sin α、余弦u＝cos α分别是以角α的大小为自变量，以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数，其定义域为全体实数，其值域为实数的子集合.这样定义的正弦函数和余弦函数就与高中引入的函数概念一致了；
（3）对于任意一个给定的角α，它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆只有唯一的一个交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的.
【当堂训练】掌握单位圆下的正弦函数和余弦函数的定义的理解和应用
课本P16练习第1题
1.已知角α的终边经过点P (，)，则sin α＝ ，cos α＝ .
课本P26练习1-4A组第1题
1.已知角α的终边经过点P (，－)，则sin α＝ ，cos α＝ .
问题2. 若已知的点不是角α与单位圆的交点，设角α终边上除原点外的任意一点Q(x，y)，如何求sin α，cos α？
三、典例剖析，理解概念
课本P15例1
例1已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，求角 α的正弦函数值、余弦函数值.
【分析】先取角α终边与单位圆的交点P(cosα ,sin α)，再取角α终边上除原点外异于点P的一点Q(x，y)，由相似三角形对应比相等，推出角α的正弦函数值和余弦函数值与点Q(x，y)的关系，由此将正弦函数、余弦函数的定义进行推广.
解：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形.
如图1-16，设角α的终边与单位圆的交于点P，则点P的坐标为(cosα ,sin α)，且OP=1.
设点Q(x，y)在角α的终边上，则OQ=.
分别过点P，Q作x轴的垂线PM，QN，垂足为M，N，易知 ，所以 ，即 .因为点P和点Q在同一象限，所以sin α和y的符号相同，于是得到 ，同理，.
当角α的终边不在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立.
3.正弦函数、余弦函数的定义的推广
设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则 sin α＝，cos α＝，其中r＝ .
4.已知角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，求sin α，cos α的步骤：
①先求出r＝ ；②由sin α＝求出角α的正弦值；③由cos α＝求出角α的余弦值.
【当堂训练】
课本P16练习第2题
2.已知角α的终边经过点PM (－3，－1)，则sin α＝ ，cos α＝ .
课本P26练习1-4A组第2题
2.设角α的终边经过下列各点，求角α的正弦函数值、余弦函数值：
（1） （2） （3）（4）
课本P15例2
例2在单位中， .
（1）画出角α；
（2）求角α的正弦函数值和余弦函数值.
【分析】（1）在平面直角坐标系作出角，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，根据是负角，则角除原点外的一点顺时针旋转，即可作出角α的终边.
（2）已知角α的大小，只需求出角α终边上除原点外任意一点的坐标，根据正弦函数和余弦函数的定义即可求出角α的正弦函数值和余弦函数值.
解：（1）如图1-17，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆角于点P，过点P作x轴的垂线交x轴与点M，于是 即为所作的角.
（2）设点P(u，v)，则 ，则
【巩固训练】课本P16练习第4题
4.在单位中， .
（1）画出角α；（2）求角α的终边与单位圆的交点坐标.
四、迁移应用，掌握概念
已知角α的终边上任意一点的坐标，求sin α，cos α的值.
1.已知角α的终边经过点P(－4a，3a)，a≠0.
(1)求sin α，cos α的值.
(2)求α的终边与单位圆的交点Q的坐标.
解　(1)由P(－4a，3a)，得r＝＝5|a|，a≠0.
当a>0时，r＝5a，角α在第二象限，∴sin α＝＝，cos α＝＝－.
当a<0时，r＝－5a，角α在第四象限，∴sin α＝－，cos α＝.
(2)由正弦、余弦函数的定义知，角α的终边与单位圆交点的坐标为Q(cos α，sin α).
当a>0时，Q(－，)；当a<0时，Q(，－).
（主要考查正弦函数和余弦函数的定义以及分类讨论的思想）
变式训练1.已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α的值.
解　由角α的终边在直线y＝x上，
可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点.则r＝ ＝2|a|(a≠0).
①当a>0时，α为第一象限角，r＝2a.则sin α＝＝，cos α＝＝.
②当a<0时，α为第三象限角，r＝－2a.则sin α＝＝－，cos α＝－＝－.
五、当堂检测，巩固达标
1.若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则sin α的值为(　　)
A.1 B.－1 C. D.－
【答案】D　
解析：由角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，得该点与原点的距离r＝＝.
故sin α＝＝－＝－.
2.若角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α等于(　　)
A. B.－ C.－ D.－
【答案】C
解析：[由题意得P(1，－)，它与原点的距离r＝＝2.∴sin α＝－.
3.角α的终边经过点P(－b，4)，且cos α＝－，则b的值为(　　)
A.3 B.－3 C.±3 D.5
【答案】A　
解析：由已知得r＝，故cos α＝＝＝－.解得b＝±3.由cos α＝－＜0，得b>0.所以b＝3.
六、课堂小结，升华素养
七、布置作业，即时检测
课本P16练习第6题
课本P27练习1-4B组第5、6题

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