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《4..2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》
【教学目标】
1.会用单位圆探究正弦函数、余弦函数的定义域、最值、周期性、单调性等基本性质；（逻辑推理）
2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关问题；（数学运算）.
3.借助正弦函数、余弦函数的定义理解并掌握正弦、余弦函数值在各象限内的符号；（数学抽象）
【教学重点】
正弦函数、余弦函数的基本性质及其简单应用；
【教学难点】
求正弦函数在给定区间的最值和单调区间.
【教学过程】
一、合作探究正弦函数、余弦函数的性质
探究一：正弦函数、余弦函数的定义域
问题1：设任意角x与单位圆的交点P(cos x, sin x),当自变量x变化时，点P(cos x, sin x)的坐标也随之变化，此时请同学们观察正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的定义域是什么？
[正弦函数、余弦函数是以角度x为自变量的函数，根据任意角的推广可知，正弦函数、余弦函数的定义域是实数集R.]
1. 正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的定义域是R.
问题2：自变量角x是选择哪种单位制与实数对应起来的？
[角是选择弧度制作为单位时，使得角与实数意义对应,角的正负由旋转方向决定，终边顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角]
探究二：正弦函数、余弦函数的值域、最值
问题1：正弦函数、余弦函数的值域是什么？
［－1，1］
问题2：同学们是从单位圆的什么地方发现这一性质的？
角的终边与单位圆交点的横坐标为余弦函数值，纵坐标为正弦函数值，当角旋转时，其变化范围都是［－1，1］
问题3：当角的终边旋转到什么位置时取到最值？
正弦函数：当终边转到y轴正半轴时，取得最大值1；
当终边转到y轴负半轴时，取得最小值－1.
余弦函数：当终边转到x轴正半轴时，取得最大值1；
当终边转到x轴负半轴时，取得最小值－1.
2. 正弦函数、余弦函数的值域、最值
（1）正弦函数y＝sin x的值域是［－1，1］
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1；当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1
（2）余弦函数y＝cos x的值域是［－1，1］
当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1；当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1
探究三：正弦函数、余弦函数的周期性
问题1：正弦函数、余弦函数是否具有周期性？若有，最小正周期分别是多少？
根据正弦函数、余弦函数的定义，如图1-19所示，
终边相同的角的正弦函数值相等，即sin (2kπ＋α)＝sinα，k∈Z；
终边相同的角的余弦函数值相等，即cos (2kπ＋α)＝cosα，k∈Z；
对于任意的角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变，所以正弦函数、余弦函数是周期函数.因此：
3. 正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的周期性
对任何k∈Z且k≠0，2kπ均是正弦函数余弦函数的周期，最小正周期是2π
问题2：请同学思考如何从单位圆发现正弦函数、余弦函数的周期性呢？
终边旋转时，与单位圆交点的变化呈周期性
问题3：研究其周期性对后续研究有什么好处？
清楚一个周期上函数的性质，那么整个定义域上函数的性质就完全清楚， 因此可以化无限为有限，简化研究。
探究四：正弦函数、余弦函数的单调性
（1）正弦函数的单调性
在单位圆中，如图1-20，当角由－增加到时，的值由增加到1；
如图1-21，当角由增加到时，的值由1减小到,；
因此正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
由正弦函数的周期性可知，对任意的，正弦函数
在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
类似地，请同学们借助单位圆，讨论余弦函数的单调性.
（2）余弦函数的单调性
当角由0增加到时，的值由1减小到，
当角由增加到2π]时，的值由增加到1，
因此余弦函数在区间[0，π]上单调递减，在区间[π，2π]上单调递增.
由余弦函数的周期性可知，对任意的，余弦函数
在区间[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减；
在区间[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z上单调递增
请同学们用表格的形式将正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的定义域、值域、最大值、最小值、周期性、单调性列举出来.
正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的性质
性质 正弦函数(y＝sin x) 余弦函数(y＝cos x)
定义域 R
值域 [－1，1]
最小值 当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
最大值 当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1
周期性 周期函数，最小正周期为2π
单调性 在区间[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上单调递增； 在区间[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上单调递减 在区间[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减； 在区间[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z上单调递增
探究五：正弦函数、余弦函数值在各象限的符号
问题1：如何根据正弦函数、余弦函数的定义判断正弦函数在各个象限的符号？
设角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，则正弦函数v＝sin α、余弦函数u＝cos α，如图1-22，在平面直角坐标系中，当点在第一、二象限或y轴的正半轴时，正弦函数值为正，当点在x轴上时，正弦函数值为零；当点在第三、四象限或y轴的负半轴时，正弦函数值为负；
同理，当点在第一、四象限或x轴的正半轴时，余弦函数值为正，当点在y轴上时，余弦函数值为零；当点在第二、三象限或x轴的负半轴时，余弦函数值为负；
问题2：正弦函数值、余弦函数值的符号分别由哪个坐标分量决定的正负决定？
正弦函数值的正负由纵坐标决定，余弦函数值的正负由横坐标决定.
正弦函数、余弦函数值在各象限的符号
三角函数 角α终边所在象限
一 二 三 四
sin α ＋ ＋ － －
cos α ＋ － － ＋
二、正弦函数、余弦函数的性质的应用
应用1.求与正弦函数、余弦函数有关的函数的定义域
1.求下列函数的定义域.
(1)y＝ ；(2)y＝lg (sin x－)＋.
解　(1)自变量x应满足2sin x－≥0，即sin x≥.
右图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围，即{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}.
(2)由题意知，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如下图(阴影部分)所示.
.
[方法点拨]
1.求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得.对于含三角函数的函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.
2.利用单位圆求三角函数不等式的步骤
(1)画单位圆，求关于sin x的范围，就画一条与x轴平行的直线与单位圆相交于两个点，(求关于cosx的范围，就画一条与y轴平行的直线)，将两个交点分别与原点连线；
(2)求出这两条连线的角度，按逆时针方向从小写到大写出范围，（角度需要变大就加2kπ，需要变小就减2kπ）
（3）sin x>的范围取上方，sin x<的范围取下方；cosxx>的范围取右边，cosx<的范围取左边.
2.要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把无限多段的集合写成若干个固定集合，再求交集.
[训练1]　求函数y＝的定义域.
解　要使有意义，
必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－.
如下图，结合单位圆，可知x的取值范围是
{x|－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}.
【当堂训练】课本P19练习第3题
3.求下列函数的定义域：
应用2.求与正弦函数、余弦函数有关的函数的最值问题
课本P19例4
例4求函数v＝cos α在区间上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值.
【当堂训练】课本P19练习第2题
2.求下列函数的最大值和最小值，并写出分别取得最大值和最小值时自变量α的值.
变式训练.已知函数y＝a sin x＋1的最大值为3，求它的最小值.
解　①当a>0时，
由ymax＝a×1＋1＝3，得a＝2.则当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1.
②当a<0时，
由ymax＝a×(－1)＋1＝3，得a＝－2.则当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1.
故函数的最小值为－1.
[方法点拨]
1.求正弦函数、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图象结合正弦函数、余弦函数的单调性进行分析；
2.对于含有参数的函数的值域或最值问题，应注意对参数进行分类讨论
应用3.求正弦函数、余弦函数的单调区间
课本P19例3
例3 借助单位圆，讨论函数v＝sin α在给定区间上的单调性.
【当堂训练】课本P19练习第1（1）（2）题
1.求下列函数的单调区间：
(1)v＝sin α，; (2)u＝cos α，
应用4.正弦函数值、余弦函数值的符号判断
1．已知，那么角是（ ）
A．第一或第二象限角B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角
2．当x为第四象限角时，则（ ）
A．1 B．0 C．2 D．－2
3．已知角α的终边过点，则α是第（ ）象限角.
A．一 B．二 C．三 D．四
4．已知角θ的终边经过点(3a－9,a＋2)，且sin θ＞0，cos θ＜0，则实数a的取值范围是 .
1.【答案】B
【详解】因为，所以同为正或同为负，所以角是第一或第三象限角.
2.【答案】D
【详解】当x为第四象限角时，，.则.
3.【答案】D
【详解】由已知角α的终边过点，因为，所以，
故角α的终边在第四象限，∴是第四象限角.
4.【答案】
详解】因为sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角，且θ的终边经过点(3a－9,a＋2)，且所以，解得－2＜a＜3.
三、当堂检测，即时巩固正弦函数、余弦函数的性质的理解和应用
1.函数y＝lg (cos x－)的定义域为(　　)
A.(－，) B.(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z C.(－＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z D.R
2.函数f(x)＝－2sin x＋1的最大值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.函数y＝cos x，x∈的单调递增区间为______________________.
4..函数y＝3sin x，x∈的值域为__________________.
5.已知＝－，且lg (cos α)有意义.
(1)判断角α所在的象限.
(2)设角α的终边与单位圆相交于点M(，m)，求m和sin α的值.
1.【答案】C　解析：∵cos x－>0，∴cos x>.∴－＋2kπ∴函数y＝lg (cos x－)的定义域为(－＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z
2【答案】C　解析：∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝－1时，f(x)取最大值，为2＋1＝3.
3.答案　[－，0]，[π，]
4.【答案】[－，3]　解析：借助单位圆可知，函数f(x)＝sin x，x∈[－，]在x＝处取最大值1，在x＝－和x＝处同时取得最小值－，即－≤sin x≤1.故－≤3sin x≤3.
5.【答案】解　(1)∵＝－，∴sin α＜0.① ∵lg (cos α)有意义，∴cos α＞0.②
由①②得角α的终边在第四象限.
(2)∵点M(，m)在单位圆上，∴()2＋m2＝1.解得m＝±.又α是第四象限角，∴m＜0.∴m＝－.由三角函数定义知，sin α＝－.
四、课堂小结，升华素养
五、布置作业，即时检测
1.课本P19练习第1（3）（4）题
1.求下列函数的单调区间：
(3)v＝sin α，; (4)u＝cos α，
2.课本P20练习第4题
4.求下列函数的值域.

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