资源简介

1.4 角平分线（2）教案
【教学目标】
1、理解三角形三条角平分线相交于一点，并且这个交点到三角形三边的距离相等；
2、在证明和作图的过程中，体验观察、归纳、猜想、验证的思维过程，发展合情推理能力，培养数学创新意识；
3、体验解决问题的过程，感受成功的快乐，培养学生学习数学的兴趣.
【教学重点、难点】
重点：三角形三个内角的平分线的性质．
难点：综合运用角平分线的判定和性质定理解决几何中的问题
【教学过程】
一、复习回顾
同学们，在上前面的学习中，我们学习了角平分线的性质和判定，下面请同学们回答：
问题1、说一说角平分线的性质定理？
答案：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
问题2、说一说角平分线的判定定理？
答案：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
二、动手实践
同学们还记得三角形三边垂直平分线的内容吗？ 请结合该内容大胆猜想一下三角形三个内角的平分线有哪些性质？大胆说出你的猜想。
小组合作，动手实践：
1、 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个内角的角平分线，观察这三条角平分线，得到的结论是否与你的猜想一致？
2、动手画一画三角形的内角平分线得到的结论是不是跟猜想的一致？
3、得出你的结论
结论:三角形三条角平分线相交于一点. 这一点到三角形三边的距离相等．
怎样证明这个结论？
证明命题:三角形三个角的平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，过点P作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足。
求证： ∠A的角平分线经过点P，且PD=PE=PF．
证明：
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
PD⊥AB,PE⊥BC
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等.)
同理：PE=PF．
∴PD=PF=PE．
∵PD⊥AB,PF⊥AC,PD=PF
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.)即 ∠A的角平分线经过点P
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
几何语言：
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AE分别是△ABC的
三条角平分线,且PD⊥AB,
PE⊥BC,PF⊥AC(已知),
∴BM,CN,AE相交于一点P,且PD=PE=PF
(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等). 提示:三角形三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心.
三、学以致用。
例.如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB
∴DE=CD=4cm，
又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，
又∵∠C=90°，∴∠B=∠BAC=45°，
∵ DE⊥AB ∴∠BDE= 90°-∠B=45°
∴BE=DE=4cm
在等腰直角三角形BDE中由勾股定理得BD= cm
∴AC=BC=CD+BD=4+ (cm)
（2）由（1）的求解过程可知：
Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE(全等三角形对应边相等）又∵BE=DE=CD
∴AB=AE+BE=AC+CD
四、随堂练习
1、思考：
三角形三边垂直平分线和三个内角角角平分线的区别联系
2.已知:如图,∠C=90°, ∠B=30°,AD是Rt△ABC的角平分线.求证:BD=2CD.
3、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
选做题
已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上.
五、课堂总结：
问题1、说一说三角形三条角平分线有什么特点？
答案：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
问题2、你还有哪些收获呢？
答案：（1）利用这个定理可以证三条直线交于上点；
（2）利用这个定理可以一个三角形分割成三个等高的小三角形.

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