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1.2圆柱的表面积（讲义）
2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（北师大版）
1．圆柱的展开图
【知识点归纳】
圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高．
2．圆柱的侧面积、表面积和体积
【知识点归纳】
圆柱的侧面积＝底面的周长×高，用字母表示：
S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh
圆柱的底面积＝πr2
圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，用字母表示：
S表＝2πr2+2πrh
圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示：
V＝πr2h．
一．选择题（共8小题）
1．下面（　　）是圆柱的展开图（单位：cm）。
A． B．
C．
2．一个圆柱的侧面展开是一个正方形，圆柱的高是5cm，这个圆柱的侧面积是（　　）cm2。
A．10 B．15 C．20 D．25
3．如图中甲是用20个硬币堆成的，底面是个圆形，面积是5.4cm2，它的高度是4cm；再用这20个硬币重新堆成乙图，乙的高度（　　）
A．大于4cm B．等于4cm C．小于4cm D．无法判断
4．一个圆柱的底面半径是0.5米，它的高是3.14米，沿一条高将其侧面剪开后展开，展开以后是（　　）
A．长方形 B．正方形 C．圆
5．要做一个圆柱形的通风管，下面（　　）的铁皮不可能正好做成。
A．圆形 B．长方形
C．平行四边形
6．宁乡灰汤温泉是一座闻名全国的古老温泉。某个圆柱形水池的容积是18.84m3，水池的底面直径是4m，则水池的深度是（　　）
A．2m B．1.5m C．3m D．0.375m
7．将一块长47.1m、宽20m、高10m的长方体钢材铸造成底面直径是20m的圆柱形钢柱，圆柱形钢柱高（　　）m。
A．7.5 B．90 C．30
8．将一根圆柱形木料沿底面直径垂直切开（如图），表面积就增加240cm2。该圆柱体的底面面积是（　　）cm2。
A．5 B．10 C．31.4 D．78.5
二．填空题（共7小题）
9．（如图）有三个完全相同的圆柱，底面积都是78.5cm2，表面积都是628cm2，把这三个圆柱连接起来成为一个大圆柱，这个大圆柱的表面积是 　 　dm2。
10．把一根2m长的圆柱形木材沿底面切成4段，表面积增加了 24cm2 原来这根木材的体积是 　 　cm3。
11．圆柱的侧面展开得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的 　 　，长方形的宽等于圆柱的 　 　。
12．一个圆柱的底面半径是3厘米，侧面展开图正好是一个正方形，圆柱的高是 　 　厘米。
13．把一根长3米，横截面半径是5厘米的圆柱形木料截成两个小圆柱，表面积增加了 　 　平方厘米。
14．一个圆柱形木料，底面半径是2dm，高是3dm，它的表面积是 　 　dm2，若削成一个最大的圆锥形模具，这个模具所占的空间是 　 　dm3。
15．如图，有大、小两种玻璃球，放入装有同样多水的圆柱体容器中。
（1）大球与小球的体积之比是 　 　。
（2）图4水的高度是 　 　厘米。
三．判断题（共9小题）
16．圆柱占据空间比围成它的面要小。 　 　
17．侧面积相等的两个圆柱，表面积也一定相等．　 　
18．圆柱的侧面展开不一定是长方形． 　 　
19．推导圆柱体积公式的过程蕴含转化思想。 　 　
20．长方体、正方体和圆柱体的体积都可以用V＝Sh来计算。 　 　
21．用可以画。 　 　
22．圆柱和圆锥的底面积的比是4：3，高的比是2：5，它们的体积比是8：5。 　 　
23．圆柱的底面直径4cm，高4cm，它的侧面展开图是正方形。 　 　
24．一个圆柱形容器的容积等于它的体积。　 　
四．计算题（共2小题）
25．求油桶的表面积，一块长方形铁皮（如图），利用图中的涂色部分刚好能做成一个油桶（接口处忽略不计）
26．求下面圆柱的表面积（单位：厘米）。
五．应用题（共8小题）
27．学校有一个圆柱形的水池，从里面量直径是6米，深是1.5米。
（1）如果在水池内壁和底面抹上水泥，抹水泥工人费为每平方米30元，一共需要人工费多少元？
（2）学校要往水池注入1米深的水用来养鱼，求注入的水的体积。
28．一个圆柱形水池，从里面量得它的底面直径是8m，深是2.5m，池上装有3根同样的进水管，每个管每小时可以注入水12.56m3，三管齐开，几小时可以注满水池？
29．食品厂设计一种圆柱形铝制罐头盒，底面半径是3cm，高是12cm。如果在侧面贴上一圈与罐头盒等高的商标纸，这张商标纸的面积至少是多少平方厘米？
30．一个圆柱形容器，从里面量，底面半径是5厘米，高是25厘米。在容器中放一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块后，再往容器中注水，让铁块完全浸没在水中，取出铁块后，容器中的水面会下降多少厘米？
31．一个圆柱形容器，底面直径是40cm，高是45cm，里面装有水，水深30cm，放入一块圆锥形铁块，完全浸没在水中，这时水深与原来水深比是6：5，这块铁块的体积是多少？
32．用一张长16.56厘米的长方形纸制作一个圆柱，且按图中所示充分利用纸张。利用纸张做好的圆柱底面半径是多少厘米，高是多少厘米？
33．用452.16平方厘米的长方形硬纸板卷成一个圆筒（如图）。如果圆筒的直径是16厘米，那么它的高是多少厘米？
34．一根圆柱形塑料管，底面直径是3cm，长是6cm。做100根这样的塑料管，需要多少平方厘米的塑料？
1.2圆柱的表面积（讲义）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（北师大版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【答案】A
【分析】根据圆柱的展开图的特征，圆柱的两个底面是完全相同的两个圆，侧面展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。根据圆的周长公式：把数据代入公式求出各图中圆的周长，然后与侧面展开图的长进行比较。据此解答即可。
【解答】解：A.3.14×4＝12.56（厘米）
12.56＝12.56
所以图A表示圆柱的展开图。
B.12.56≠9.42
所以图B不是圆柱的展开图。
C.12.56≠6.28
所以图C不是圆柱的展开图。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱展开图的图形及应用，特别是圆柱侧面展开图的特征及应用，关键是明确：圆柱的侧面沿高是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。
2．【答案】D
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征可知，如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么这个圆柱的底面周长和高相等，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，把数据代入公式解答。
【解答】解：5×5＝25（平方厘米）
答：这个圆柱的侧面积是25平方厘米。
故选：D。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆柱的侧面积公式及应用，关键是熟记公式。
3．【答案】B
【分析】甲乙两图都是由20个硬币堆成的，厚度一样，所以乙的高等于甲的高。
【解答】解：因为两个图形的高都有20个硬币，所以乙图的高等于甲图的高；乙的高度是4cm。
故选：B。
【点评】解答此题关键是理解两个图形的高就是硬币的厚度和。
4．【答案】B
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形（或正方形），这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式求出圆柱的底面周长，然后与高进行比较，如果底面周长和高相等，展开图是一个正方形，如果底面周长和高不相等，展开图是一个长方形，据此解答即可。
【解答】解：2×3.14×0.5
＝6.28×0.5
＝3.14（米）
因为圆柱的底面周长和高相等，所以圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形。
答：展开以后是正方形。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，结合题意分析解答即可。
5．【答案】A
【分析】根据圆柱的侧面展开图的特征，进行解答即可。
【解答】解：圆柱的侧面展开图可以是长方形和平行四边形，不能是圆形，所以圆形的铁皮不可能正好做成。
故选：A。
【点评】本题考查圆柱的侧面展开图的特征。
6．【答案】B
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，把数据代入公式解答。
【解答】解：18.84÷[3.14×（4÷2）2]
＝18.84÷[3.14×4]
＝18.84÷12.56
＝1.5（米）
答：水池的深度是1.5米。
故选：B。
【点评】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
7．【答案】C
【分析】根据长方体的体积公式；V＝abh，圆柱的体积公式：V＝πr2h，那么h＝V÷πr2，把数据代入公式解答。
【解答】解：47.1×20×10÷[3.14×（20÷2）2]
＝942×10÷[3.14×100]
＝9420÷314
＝30（米）
答：圆柱形钢柱的高是30米。
故选：C。
【点评】此题主要考查长方体的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
8．【答案】D
【分析】运用增加的表面积除以2即可得到一个面的面积，运用一个面的面积除以高即可得到圆柱的底面直径，除以2即可得到半径，由此运用圆的面积公式解答即可。
【解答】解：240÷2÷12＝10（厘米）
10÷2＝5（厘米）
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
故选：D。
【点评】本题考查了长方形及圆的面积公式进行解答即可。
二．填空题（共7小题）
9．【答案】15.7。
【分析】把这三个圆柱连接起来成为一个大圆柱，则这个大圆柱的表面积比原来三个圆柱的表面积减少了4个底面积，据此进行计算即可。
【解答】解：628×3﹣78.5×4
＝1884﹣314
＝1570（cm2）
＝15.7（dm2）
答：这个大圆柱的表面积是15.7dm2。
故答案为：15.7。
【点评】本题考查圆柱的表面积，明确表面积的定义是解题的关键。
10．【答案】800。
【分析】圆柱形木料截成4段后，表面积增加了6个圆柱的底面的面积，由表面积增加了24平方厘米，可以求出这个圆柱的底面积，再利用圆柱的体积公式V＝Sh即可解答。
【解答】解：2米＝200厘米
24÷6×200
＝4×200
＝800（立方厘米）
答：原来这根木材的体积是800立方厘米。
故答案为：800。
【点评】根据圆柱的切割特点得出增加的表面积是圆柱的6个底面的面积是解决此类问题的关键。
11．【答案】底面周长，高。
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征可知：圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。
【解答】解：把一个圆柱的侧面展开得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。
故答案为：底面周长，高。
【点评】此题主要考查圆柱体侧面展开图的特征及应用，明确圆柱体的侧面展开图与圆柱体的周长和高之间的关系是解决问题的关键。
12．【答案】18.84。
【分析】根据“一个圆柱的侧面展开是正方形”，知道圆柱的底面周长等于圆柱的高，再根据圆的周长公式，求出圆柱的底面周长，即是圆柱的高。
【解答】解：3.14×2×3＝18.84（厘米）
答：圆柱的高是18.84厘米。
故答案为：18.84。
【点评】此题主要考查了圆柱的侧面展开图与圆柱的关系，即圆柱的底面周长是展开图形的长，圆柱的高是展开图形的宽。
13．【答案】157。
【分析】将圆柱形木料截成两个小圆柱，表面积增加了两个底面的面积。据此解答。
【解答】解：3.14×52×2
＝3.14×50
＝157（平方厘米）
答：表面积增加了157平方厘米。
故答案为：157。
【点评】解答本题需明确：将圆柱形木料截成两个小圆柱，表面积增加了两个底面的面积，熟练掌握圆面积公式。
14．【答案】62.8；12.56。
【分析】根据圆柱的表面积公式S表＝S侧+2S底，代入数据计算出表面积；再根据圆锥的体积公式Vπr2h，代入数据计算出圆锥的体积即可。
【解答】解：圆柱的表面积：
2×3.14×2×3+3.14×22×2
＝37.68+25.12
＝62.8（dm2）
圆锥的体积：
3.14×22×3
3.14×4×3
＝12.56（dm3）
答：圆柱的表面积是62.8dm2，若削成一个最大的圆锥形模具，这个模具所占的空间是12.56dm3。
故答案为：62.8；12.56。
【点评】本题考查圆柱的表面积、圆锥的体积公式的运用。需明确：把圆柱削成最大的圆锥，圆柱和圆锥等底等高。
15．【答案】4：1，6.5。
【分析】（1）由图可知，1个大球的体积等于4个小球的体积，据此确定出大球与小球的体积之比即可；
（2）由图可知，放入一个大球水面上升（6﹣4）厘米，放入一个小球水面上升[（6﹣4）÷4]厘米，据此计算出图4水的高度即可。
【解答】解：（1）由图可知，大球与小球的体积之比是4：1。
答：大球与小球的体积之比是4：1。
（2）6﹣4+（6﹣4）÷4
＝2+0.5
＝2.5（厘米）
4+2.5＝6.5（厘米）
答：图4水的高度是6.5厘米。
故答案为：4：1，6.5。
【点评】解答本题需熟练掌握比的意义，正确分析水面高度的变化与大球和小球的个数之间的关系。
三．判断题（共9小题）
16．【答案】×
【分析】根据圆柱侧面积的意义、圆柱体积的意义，因为表面积和体积不是同类量，所以无法进行比较。据此判断。
【解答】解：因为表面积和体积不是同类量，所以无法进行比较。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱的表面积、体积的意义及应用，关键是明确：只有同类量才能比较大小。
17．【答案】见试题解答内容
【分析】两个圆柱的侧面积相等，表示这两个圆柱体底面周长与高的乘积相等，圆柱的底面周长不一定相等，那么它们的表面积就不一定相等，可举例说明即可得到答案．
【解答】解：两个圆柱的侧面积相等，表示这两个圆柱体底面周长与高的乘积相等，圆柱的底面周长不一定相等，
如：两个圆柱的侧面积为20平方厘米
因为：4×5＝20（平方厘米）
10×2＝20（平方厘米）
一个圆柱的底面周长是4，另一个圆柱的底面周长是10，圆柱的底面周长不相等，底面圆的半径就不相等，即两个圆柱的底面积不相等．所以两个圆柱表面积不相等．
故答案为：×
【点评】此题考查了圆柱的表面积公式的应用，用举例的方法能更好的解决问题．
18．【答案】√
【分析】根据圆柱的特征，圆柱的上下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，沿它的高展开是一个长方形；如果不是沿高展开得到的可能是平行四边形；由此解答．
【解答】解：圆柱的侧面沿它的高展开是一个长方形；如果不是沿高展开得到的可能是平行四边形．所以原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题主要考查圆柱体的特征和侧面展开图的形状．
19．【答案】√
【分析】长方体的体积求法已知，圆柱的体积公式未知，我们将圆柱分割变为长方体，就是把圆柱转化为长方体，据此回答。
【解答】解：圆柱体积公式推导过程中，我们把圆柱转化为长方体，也就是把未知方法转化为已知方法，用到的是转化思想。所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查了圆柱体积的推导，需要学生熟练掌握转化的思想，并能运用到实际之中。
20．【答案】√
【分析】根据正方体、长方体、圆柱体的体积的通项公式为：V＝Sh；进行解答即可。
【解答】解：因为正方体、长方体、圆柱体的体积的通项公式为：V＝Sh；所以正方体、长方体、圆柱体的体积都可以用V＝Sh来计算，说法正确。
故答案为：√。
【点评】解答此题应根据长方体、正方体和圆柱的体积计算公式进行解答。
21．【答案】×
【分析】圆柱由两个圆和一个曲面围成，所以圆柱不可能画出长方形。
【解答】解：由题意得：
用可以画，这种说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查的是圆柱的特征及长方形的特征。
22．【答案】√
【分析】圆柱的体积＝底面积×高；圆锥的体积＝底面积×高÷3，据此解答即可。
【解答】解：假设圆柱和圆锥的底面积分别是4和3，高也是2和5。
（4×2）：（3×5÷3）＝8：5
答：体积比是8：5。
故答案为：√。
【点评】熟练掌握圆锥和圆柱的体积公式是解答关键。
23．【答案】×
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，这个长方形的宽等于圆柱的高，当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面展开图是一个正方形。据此判断。
【解答】解：圆柱的底面周长：3.14×4＝12.56（厘米）
12.56≠4
所以，圆柱的底面直径4cm，高4cm，它的侧面展开图是长方形。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用。
24．【答案】×
【分析】根据容积、体积的意义，某容器所能容纳别的物体的体积叫做容器的容积。物体所占空间的大小叫做物体的体积。因为容器壁有一定的厚度，所以某个容器的容积一定小于它的体积。据此判断。
【解答】解：因为容器壁有一定的厚度，所以某个容器的容积一定小于它的体积。
因此，一个圆柱形容器的容积等于它的体积。这种说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握容积、体积的意义及应用。
四．计算题（共2小题）
25．【答案】31.4平方分米。
【分析】根据圆柱的表面积公式：S表＝S侧+S底×2，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×（4÷2）×4+3.14×（4÷2÷2）2×2
＝3.14×2×4+3.14×1×2
＝25.12+6.28
＝31.4（平方分米）
答：它的表面积是31.4平方分米。
【点评】此题主要考查圆柱表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
26．【答案】8792平方厘米。
【分析】根据圆柱的表面积公式：S表＝S侧+S底×2，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×40×50+3.14×（40÷2）2×2
＝125.6×50+3.14×400×2
＝6280+2512
＝8792（平方厘米）
答：它的表面积是8792平方厘米。
【点评】此题主要考查圆柱表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
五．应用题（共8小题）
27．【答案】（1）1695.6；（2）28.26。
【分析】（1）求人工费需要多少钱，需要先求抹水泥的面积，实际上是求圆柱的面积与侧面积的和，依据圆的面积公式和圆柱侧面积公式即可求出抹水泥的面积，然后再乘每平方米的费用即可；
（2）求需要的水的体积，实际上是求底面直径为6米，高为1.5米的圆柱的体积，利用圆柱的体积公式即可得解。
【解答】解：（1）3.14×（6÷2）2+3.14×6×1.5
＝3.14×9+28.26
＝28.26+28.26
＝56.52（平方米）
56.52×30＝1695.6（元）
答：一共需要人工费1695.6元。
（2）3.14×（6÷2）2×1
＝28.26×1
＝28.26（立方米）
答：需要注水28.26立方米。
【点评】此题主要考查圆柱的侧面积、底面积、和体积的计算方法。
28．【答案】小时。
【分析】根据圆柱的容积（体积）公式：V＝abh，求出这个水池的容积（装满水的体积），再求出三个进水管1小时注入水的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。
【解答】解：3.14×（8÷2）2×2.5÷（12.56×3）
＝3.14×40÷3.14÷12
＝40÷12
（小时）
答：小时可以注满水池。
【点评】此题主要考查圆柱的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。
29．【答案】226.08平方厘米。
【分析】根据圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，把数据代入公式解答。
【解答】解：2×3.14×3×12
＝18.84×12
＝226.08（平方厘米）
答：这张商标纸的面积至少是226.08平方厘米。
【点评】此题主要考查圆柱侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
30．【答案】1.2厘米。
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式求出铁块的体积，然后用铁块的体积除以圆柱形容器的底面积即可。
【解答】解：3.14×（6÷2）2×10÷（3.14×52）
3.14×9×10÷（3.14×25）
＝94.2÷78.5
＝1.2（厘米）
答：容器中的水面会下降1.2厘米。
【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
31．【答案】7536。
【分析】原来水深30cm，放入圆锥形铁块之后水深与原来水深比是6：5，用30乘求出后来的水深，然后再用后来水的深度减去30求出上升的水的深度，上升部分水的体积就等于铁块的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：3036（厘米）
36﹣30＝6（厘米）
3.14×（40÷2）2×6
＝3.14×400×6
＝1256×6
＝7536（立方厘米）
答：这块铁块的体积是7536立方厘米。
【点评】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据上升的水的体积求得圆锥铁块的体积是本题的关键。
32．【答案】2厘米，8厘米。
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，这张长方形纸的长也就是圆柱的底面周长与底面直径的和，长方形纸的宽等于圆柱的高，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式求出圆柱的底面半径，进而求出高。
【解答】解：设圆柱的底面半径为r厘米。
2πr+2r＝16.56
8.28r＝16.56
r＝2
2×2＝4（厘米）
4×2＝8（厘米）
答：利用纸张做好的圆柱底面半径是2厘米，高是8厘米。
【点评】此题考查的底面是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式及应用，关键是熟记公式。
33．【答案】9厘米。
【分析】运用侧面积÷底面周长＝高，运用圆的周长公式求出圆的周长即可。
【解答】解：452.16÷（3.14×16）
＝452.16÷50.24
＝9（厘米）
答：那么它的高是9厘米。
【点评】本题考查了圆的周长公式及侧面积公式的应用。
34．【答案】5652平方厘米。
【分析】本题只要根据S＝Ch求出水管的侧面积，再乘100就是我们要求的问题。
【解答】解：3.14×3×6×100
＝56.52×100
＝5652（平方厘米）
答：需要5652平方厘米的塑料。
【点评】本题考查了圆柱侧面积在生活中的应用。

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