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《2.2象限角及其表示》教学设计
【教学目标】
1.掌握象限角的概念；（数学抽象）
2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合；（数学抽象）
3.体会坐标系在角的研究中的重要作用. （直观想象）
【教学重点】
象限角、终边相同的角的概念，初步学会终边相同的角的表示方法
【教学难点】
终边相同的角的集合的表示方法
【教学过程】
一、复习回顾，引入新知
上节课我们将角的概念进行推广，并按旋转方向将角分为正角、负角和零角.
为了方便研究问题，本节及以后经常将角放在一个平面直角坐标系中，角的定点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，
1.角的分类：.以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：
角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；
如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限.
2.象限角的应用，加深对象限角的理解
课本P8习题1-2A组第3题：
3.已知角α＝－130°，那么角α的终边落在第______象限.
课本P7练习第1题：
1.在平面直角坐标系中，判断下列各命题的真假：
（1）锐角是第一象限角； （2）第一象限角一定是锐角；
（3）钝角是第二象限角； （4）第二象限角一定是钝角；
（5）终边相同的角一定相等； （6）相等的角终边一定相同；
（7）小于90°的角一定是锐角；
二、问题导学，得出概念
问题1：练习1（5）终边相同的角一定相等，这是错误的，那么终边相同的角在数量上有什么关系呢？在同一个平面直角坐标系中，已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角的终边.，并观察这三个角的终边有什么关系.
(1) 30°； (2) 390°； (3)－690°
（1）由学生独立完成作角，（或作为上节课的预留作业），如图1-7；
（2）引导学生从图1-7中观察出，30°， 390°和－690°的终边的位置关系；
（通过作图，让学生直观感知终边相同的角相差360°的整数倍）
问题2：终边相同的角不一定相等，那么终边相同的角数量上有什么关系呢？
390°=30°＋360°，－690°=30°＋(－2)×360°
390°和－690°这两个角都可以表示成0°～360°的角与k 个周角的和，其中k为整数.
（从图形直观感知终边相同的角的关系后，借助数量关系将终边相同的角表示出来，再引导学生用集合的语言将终边相同的角表示出来）
问题3：设集合S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}，请同学们思考30°， 390°和－690°是集合S的元素吗？集合S的任何一个元素与30°的终边相同吗？
问题4：请同学们思考如何用集合表示所有与角α终边相同的角？
3.终边相同的角的定义
一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
【当堂训练】请同学写出与45°终边相同的角的集合.
4.终边相同的角的再理解
对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的再理解
(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略；
(2) k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；
(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
三、典例剖析，理解概念
5.终边相同的角的应用：利用终边相同的角判断角所在的象限
课本P6例1
例1 判定下列各角是第几象限角，
(1)； (2) 945° （3）－950°12＇
【分析】将所要判断的角β，写成|β＝α＋k·360°，k∈Z，其中α是0°～360°的角，再利用α与β终边相同，由角α的象限判断出角β的象限.
解：(1)因为角的终边在第四象限，所以它是第四象限角；
(2)因为945°=225°+2×360°,所以945°与225°角终边相同，而225°角的终边在第三象限角,所以945°角是第三象限角；
(3)因为=129°48′+(－3)×360°，而129°48′角的终边在第二象限角,所以角是第二象限角.
【当堂训练】课本P8练习第4题
4.在0°～360°范围内，与角－1000°终边相同的角是 ，是第象限角 .
课本P7例1
例2 写出终边在平面直角坐标系y轴上的角的集合.
解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角
因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z},
而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°，k∈Z},
于是，终边在y轴上的角的集合
S= S1∪S2={β|β=90°+2k·180°，k∈Z} ∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z}
={β|β=90°+2k·180°，k∈Z} ∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z}={β|β=90°+n·180°，n∈Z}.
[方法点拨]
1．若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝α＋k·180°，k∈Z}．
课本P8例3
例3 写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合-360°≤β<720°的元素β写出来.
解：S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β<720°的元素应满足-360°≤60°+k·360°<720°,
解得又k∈Z,所以k=－1,01,所求元素分别是60°++(－1)×360°=-300°,60°+0×360°=60°,
60°+1×360°=420°.
四、迁移应用，掌握概念
迁移应用1：区域角的表示：区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角
1.写出下图中终边在阴影区域内(含边界)的角的集合.
解　终边在直线OM上的角的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1) ·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}.同理可得，终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}.
所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}.
[方法点拨]区域角的求解策略：
(1)确定边界线对应的角：确定起始和终止边界线分别对应的一个角α，β，－360°<α<360°，－360°<β<360°；
(2)写出终边相同的角：边界线为射线时，终边相同的角为α＋k·360°，β＋k·360°，k∈Z；边界线为直线时，终边相同的角为α＋k·180°，β＋k·180°，k∈Z；
(3)写出角的集合：按逆时针旋转规则，从小到大写出角的集合．
注：在书写集合时，若边界线是实线，则对应的不等式包含等号，若边界线是虚线，则对应的不等式不包含等号；当右端对应的0°～360°内的角小于左端对应的0°～360°内的角时，左端用负角．
迁移应用2：象限角的判断
1.若α是第一象限角，则是第几象限角？
【分析】：第一步　泛读题目明确待求结论：确定是第几象限角.
第二步　精读题目挖掘已知条件：α是第一象限角.
第三步　建立联系寻找解题思路：先将角α用不等式表示出来，再利用不等式的基本性质求出表示的不等式.
第四步　书写过程养成规范习惯.
解　∵k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，∴k·120°＜＜30°＋k·120°，k∈Z.
方法一(分类讨论)　
当k＝3n，n∈Z时，n·360°＜＜30°＋n·360°，n∈Z，故是第一象限角.
当k＝3n＋1，n∈Z时，120°＋n·360°＜＜150°＋n·360°，n∈Z，故是第二象限角.
当k＝3n＋2，n∈Z时，240°＋n·360°＜＜270°＋n·360°，n∈Z，故是第三象限角.
综上可知，是第一、第二或第三象限角.
方法二(几何法)　
如右图，先将各象限3等分，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1，2，3，4，…，1，2，3，4，则标有1的区域即为终边所在区域，故是第一、第二或第三象限角.
[方法点拨]　所在象限的确定方法
一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限从原点出发的n等分射线(如右图)，它们与坐标轴把周角等分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1，2，3，4，…，1，2，3，4，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，的终边所在的区域.如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地得出.
【当堂训练】课本P8习题1-2B组第3题
3.如果角α与角100°的终边相同，那么角 是第几象限角？
五、当堂检测，巩固达标
1.(多选)下列说法正确的是 (　　)
A．锐角都是第一象限角 B．第一象限角一定不是负角
C．小于180°的角是钝角、直角或锐角 D．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角
【答案】AD
解析：锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误；由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．
课本P8习题1-2A组第6题
6.若α角是第二象限角，
则－α是第 象限角； 90°+α是第 象限角；
90°－α是第 象限角； 180°+α是第 象限角；
180°－α是第 象限角； 360°－α是第 象限角.
课本P8习题1-2B组第2题
2.如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）
六、课堂小结，升华素养
七、布置作业，即时检测
1.课本P8练习第2题
2. 课本P8习题1-2A组第2题
3. 课本P8习题1-2B组第1题
4.课后思考题：课本P8习题1-2A组第4题

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