2.2 象限角及其表示 教学设计

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2.2 象限角及其表示 教学设计

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《2.2象限角及其表示》教学设计
【教学目标】
1.掌握象限角的概念;(数学抽象)
2.理解并掌握终边相同的角的概念,能写出终边相同的角所组成的集合;(数学抽象)
3.体会坐标系在角的研究中的重要作用. (直观想象)
【教学重点】
象限角、终边相同的角的概念,初步学会终边相同的角的表示方法
【教学难点】
终边相同的角的集合的表示方法
【教学过程】
一、复习回顾,引入新知
上节课我们将角的概念进行推广,并按旋转方向将角分为正角、负角和零角.
为了方便研究问题,本节及以后经常将角放在一个平面直角坐标系中,角的定点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴,
1.角的分类:.以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类:
角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;
如果角的终边在坐标轴上,这个角就不属于任何象限.
2.象限角的应用,加深对象限角的理解
课本P8习题1-2A组第3题:
3.已知角α=-130°,那么角α的终边落在第______象限.
课本P7练习第1题:
1.在平面直角坐标系中,判断下列各命题的真假:
(1)锐角是第一象限角; (2)第一象限角一定是锐角;
(3)钝角是第二象限角; (4)第二象限角一定是钝角;
(5)终边相同的角一定相等; (6)相等的角终边一定相同;
(7)小于90°的角一定是锐角;
二、问题导学,得出概念
问题1:练习1(5)终边相同的角一定相等,这是错误的,那么终边相同的角在数量上有什么关系呢?在同一个平面直角坐标系中,已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角的终边.,并观察这三个角的终边有什么关系.
(1) 30°; (2) 390°; (3)-690°
(1)由学生独立完成作角,(或作为上节课的预留作业),如图1-7;
(2)引导学生从图1-7中观察出,30°, 390°和-690°的终边的位置关系;
(通过作图,让学生直观感知终边相同的角相差360°的整数倍)
问题2:终边相同的角不一定相等,那么终边相同的角数量上有什么关系呢?
390°=30°+360°,-690°=30°+(-2)×360°
390°和-690°这两个角都可以表示成0°~360°的角与k 个周角的和,其中k为整数.
(从图形直观感知终边相同的角的关系后,借助数量关系将终边相同的角表示出来,再引导学生用集合的语言将终边相同的角表示出来)
问题3:设集合S={β|β=30°+k·360°,k∈Z},请同学们思考30°, 390°和-690°是集合S的元素吗?集合S的任何一个元素与30°的终边相同吗?
问题4:请同学们思考如何用集合表示所有与角α终边相同的角?
3.终边相同的角的定义
一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
【当堂训练】请同学写出与45°终边相同的角的集合.
4.终边相同的角的再理解
对集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的再理解
(1)角α为任意角,“k∈Z”不能省略;
(2) k·360°与α中间要用“+”连接,k·360°-α可理解成k·360°+(-α);
(3)相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等;终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.
三、典例剖析,理解概念
5.终边相同的角的应用:利用终边相同的角判断角所在的象限
课本P6例1
例1 判定下列各角是第几象限角,
(1); (2) 945° (3)-950°12'
【分析】将所要判断的角β,写成|β=α+k·360°,k∈Z,其中α是0°~360°的角,再利用α与β终边相同,由角α的象限判断出角β的象限.
解:(1)因为角的终边在第四象限,所以它是第四象限角;
(2)因为945°=225°+2×360°,所以945°与225°角终边相同,而225°角的终边在第三象限角,所以945°角是第三象限角;
(3)因为=129°48′+(-3)×360°,而129°48′角的终边在第二象限角,所以角是第二象限角.
【当堂训练】课本P8练习第4题
4.在0°~360°范围内,与角-1000°终边相同的角是 ,是第象限角 .
课本P7例1
例2 写出终边在平面直角坐标系y轴上的角的集合.
解:在0°~360°范围内,终边在y轴上的角有两个,即90°,270°角
因此,所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z},
而所有与270°角终边相同的角构成集合S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z},
于是,终边在y轴上的角的集合
S= S1∪S2={β|β=90°+2k·180°,k∈Z} ∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}
={β|β=90°+2k·180°,k∈Z} ∪{β|β=90°+(2k+1)180°,k∈Z}={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.
[方法点拨]
1.若所求角β的终边在某条射线上,则集合的形式为{β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.若所求角β的终边在某条直线上,则集合的形式为{β|β=α+k·180°,k∈Z}.
课本P8例3
例3 写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合-360°≤β<720°的元素β写出来.
解:S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.S中适合-360°≤β<720°的元素应满足-360°≤60°+k·360°<720°,
解得又k∈Z,所以k=-1,01,所求元素分别是60°++(-1)×360°=-300°,60°+0×360°=60°,
60°+1×360°=420°.
四、迁移应用,掌握概念
迁移应用1:区域角的表示:区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角
1.写出下图中终边在阴影区域内(含边界)的角的集合.
解 终边在直线OM上的角的集合为{α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°,k∈Z}={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1) ·180°,k∈Z}={α|α=45°+n·180°,n∈Z}.同理可得,终边在直线ON上的角的集合为{α|α=60°+n·180°,n∈Z}.
所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.
[方法点拨]区域角的求解策略:
(1)确定边界线对应的角:确定起始和终止边界线分别对应的一个角α,β,-360°<α<360°,-360°<β<360°;
(2)写出终边相同的角:边界线为射线时,终边相同的角为α+k·360°,β+k·360°,k∈Z;边界线为直线时,终边相同的角为α+k·180°,β+k·180°,k∈Z;
(3)写出角的集合:按逆时针旋转规则,从小到大写出角的集合.
注:在书写集合时,若边界线是实线,则对应的不等式包含等号,若边界线是虚线,则对应的不等式不包含等号;当右端对应的0°~360°内的角小于左端对应的0°~360°内的角时,左端用负角.
迁移应用2:象限角的判断
1.若α是第一象限角,则是第几象限角?
【分析】:第一步 泛读题目明确待求结论:确定是第几象限角.
第二步 精读题目挖掘已知条件:α是第一象限角.
第三步 建立联系寻找解题思路:先将角α用不等式表示出来,再利用不等式的基本性质求出表示的不等式.
第四步 书写过程养成规范习惯.
解 ∵k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z,∴k·120°<<30°+k·120°,k∈Z.
方法一(分类讨论) 
当k=3n,n∈Z时,n·360°<<30°+n·360°,n∈Z,故是第一象限角.
当k=3n+1,n∈Z时,120°+n·360°<<150°+n·360°,n∈Z,故是第二象限角.
当k=3n+2,n∈Z时,240°+n·360°<<270°+n·360°,n∈Z,故是第三象限角.
综上可知,是第一、第二或第三象限角.
方法二(几何法) 
如右图,先将各象限3等分,再从x轴的非负半轴的上方起,依次将各区域标上1,2,3,4,…,1,2,3,4,则标有1的区域即为终边所在区域,故是第一、第二或第三象限角.
[方法点拨] 所在象限的确定方法
一般地,要确定所在的象限,可以作出各个象限从原点出发的n等分射线(如右图),它们与坐标轴把周角等分成4n个区域,从x轴的非负半轴起,按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4,…,1,2,3,4,标号为几的区域,就是根据α所在第几象限时,的终边所在的区域.如此,所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地得出.
【当堂训练】课本P8习题1-2B组第3题
3.如果角α与角100°的终边相同,那么角 是第几象限角?
五、当堂检测,巩固达标
1.(多选)下列说法正确的是 (  )
A.锐角都是第一象限角 B.第一象限角一定不是负角
C.小于180°的角是钝角、直角或锐角 D.在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
【答案】AD
解析:锐角是大于0°且小于90°的角,终边落在第一象限,是第一象限角,所以A正确;-350°角是第一象限角,但它是负角,所以B错误;0°角是小于180°的角,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,所以C错误;由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角,所以不一定是钝角,所以D正确.
课本P8习题1-2A组第6题
6.若α角是第二象限角,
则-α是第 象限角; 90°+α是第 象限角;
90°-α是第 象限角; 180°+α是第 象限角;
180°-α是第 象限角; 360°-α是第 象限角.
课本P8习题1-2B组第2题
2.如图,写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界)
六、课堂小结,升华素养
七、布置作业,即时检测
1.课本P8练习第2题
2. 课本P8习题1-2A组第2题
3. 课本P8习题1-2B组第1题
4.课后思考题:课本P8习题1-2A组第4题

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