资源简介

《3.1弧度概念》教学设计
【教学目标】
1.理解弧度的意义，掌握1弧度的角的定义；（数学抽象、数学运算）
2.通过弧度制的学习，使学生体会相同的现象可以从不同的角度进行表示.（数学抽象）
【教学重点】
弧度制的定义
【教学难点】
弧度制的建立和应用
【素养要求】
通过弧度制的概念的学习，逐步培养数学抽象、数学运算的素养．
【教学过程】
一、创设问题情境，引出新知
在几何图形的学习中，我们知道线段的长度单位可以用米、分米、厘米等，面积的单位可以用，平方米、平方分米、平方厘米等，体积的单位可以用立方米、立方分米、立方厘米。长度、面积、体积等都是以单位线段为基础的。
（从学生熟悉的长度度量单位引出本节课学习的内容，角度是否有不同的度量单位）
思考1：现实生活中还有很多计量单位，如度量长度可以用米、分米、厘米、尺和码等不同的单位，那么度量角度的大小可以用哪些单位呢？
对角的度量，选取一个周角，把它360等分而得到角的度量单位，用这个度量单位去度量其他角的大小.此时角的度量单位的确定与单位线段无关.
思考2：在这种角度单位的定义， 45°+tan45°如何运算呢？
tan45°=1是一个实数，一个实数与一个角度45°的和就不能进行运算了，因为我们需要进一步学习角度的其他单位，使得角度与实数能进行运算.
思考3：能否用线段的单位长度来建立角的度量单位，从而把角度的度量也建立在一个共同的基础（长度的度量）上呢？
思考4：请同学们回顾初中是如何定义1°的？
人们把周角的 叫做1°的角，以它为单位来度量角的大小的方法，叫做角度制.
1°的角的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量.
（教师启发学生回顾，从学生初中原有的知识出发，引导学生思考，初中关于1°的定义）
思考5： 如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．设α=n°，OP=r，点P所形成的圆弧的长为l．回忆初中所学知识，弧长l如何用圆心角α来表示？
思考6：如图，在射线OA上任取一点Q（不同于点O和P），OQ=r1．在旋转过程中，点Q所形成的的圆弧长为l1，那么l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？
圆心角α所对的弧长与半径的比值，与半径的大小无关，只与α的大小有关
这个比值随α的确定而唯一确定，因此可以利用圆的弧长和半径的比值度量圆心角．
二、抽象概括，得出概念
1.单位圆：半径为单位长度1的圆.
2.弧度与弧度制的定义
在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，其单位用符号rad表示，读作弧度.在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制.
三、典例剖析，理解概念
课本P9
（1）如图1-11，在单位圆中，的长等于1，弧长所对的圆心角是几弧度的角？
（2）如图1-12，的长等于2，弧长所对的圆心角是几弧度的角？
（教师引导学生利用弧度制的定义写出，的弧度数，感受弧度制的定义，并由此得出角的正负由角的终边旋转方向决定）
（3）设半径为r的圆中, 长度为l的圆弧所对的圆心角的大小为α, 如何表示出圆心角α的弧度数.
在半径为r的圆中，若圆心角A为n°，则它对应的弧长l＝·2πr.又此时角A的弧度数α＝·2π，因此，l＝|α|r，即|α|＝
（教师引导结合弧度制的定义，用弧长和半径表示出圆心角的弧度数）
一般地，弧度数与实数一一对应，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是0.弧度制确立了角的弧度数与实数的一一对应关系.
【当堂训练】
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)1 rad的角和1°的角大小相等.(　×　)
(2)用弧度来表示的角都是正角.(　×　)
(3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关.(　√　)
(4)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度. (　×　)
（因为1弧度的圆心角所对的弧长为半径，此时对应的弦长小于半径）
3.弧度制的再认识
1）1弧度的角与1°所指的含义不同，是角度不同的单位制；
2）角度制与弧度制为角的度量单位时，角度的大小都与半径的大小无关；
3）角度制的度“°”符号不能省略，弧度制中“弧度”二字或“rad”通常省略不写.
四、课堂小结，升华素养
五、布置作业，即时检测
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.
(1)大圆中1弧度的角比小圆中1弧度的角大.(　×　)
(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.(　×　)
(3)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.(　√　)
2.角度制和弧度制都是角的单位，它们之间能够进行换算呢？请同学思考能否将180°换算为弧度，再总结出任意一个角度换算为弧度的方法.
（第2题的设置，为下节课学习弧度与角度的换算作铺垫）

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