资源简介

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
教学设计
课时教学内容
本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积.
课时教学目标
1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．
2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
教学重点、难点
重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；
难点：圆台的体积公式的理解.
教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
让学生回顾棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积
【设计意图】把已学知识与新知建立联系，温故知新。并引出本节新课内容
前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
问题1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
1．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和．利用圆柱、圆锥、圆台的展开图（图8.3-3），可以得到它们的表面积公式：
（是底面半径，是母线长），
（是底面半径，是母线长），
（，分别是上、下底面半径，是母线长）．
环节二 观察分析，感知概念
思考
圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
问题2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即
（是底面半径，是高），
（是底面半径，是高）．
由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式
（，分别是上、下底面半径，是高）．
环节三 抽象概括，形成概念
思考
圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？
归纳
（为底面积，为柱体高）；
（为底面积，为锥体高）；
（，分别为上、下底面面积，为台体高）．
当时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式．
【设计意图】段炼学生类比推理能力， 使学生宏观理解多个公式之间的关系.
环节四 辨析理解，深化概念
2．球的表面积和体积
问题3．球的表面积与体积公式各式什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
设球的半径为，它的表面积只与半径有关，是以为自变量的函数．
事实上，如果球的半径为，那么它的表面积是
．
例3 如图8.3-4，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（取3.14）
解：一个浮标的表面积为
，
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
【设计意图】段炼其发散思维，培养其解决实际问题能力。
思考
在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？
类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积．如图8.3-5，把球的表面分成个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成个“小锥体”．
当越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径．设是其中一个“小锥体”，它的体积是
由于球的体积就是这个“小锥体”的体积之和，而这个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此，球的体积
．
由此，我们得到球的体积公式
环节五 概念应用，巩固内化
例4 如图8.3-6，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比．
解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为．
，．
本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法．在生产、生活中遇到的物体，往往形状比较复杂，但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的，它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算．
【设计意图】对已学知识进行检验，对学生新知掌握程度有所了解，培养学生理论与实际相结合的能力.
环节六 归纳总结，反思提升
圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台的体积
（S为底面面积，h为高）
(S为底面面积，h为高）
（S'，S分别为圆台的上下底面面积，h为圆台的高
球的表面积
球的体积
【设计意图】让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第119页练习，
第120页 习题8.3第 4,5题.
练习（第119页）
1．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径．
解：设圆锥的底面半径为，母线长为则由题意得 ①
又圆锥的侧面展开图为半圆，，即 ②
将②式代入①式得，，即．
故圆锥的底面直径为．
2．当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？
解：设球的半径为时，其体积和表面积的数值相等．则，．
即球的半径时，其体积和表面积的数值相等．
3．将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积．
解：由题意知，球内切于正方体，，．
，即可制作的最大零件的体积为．
4．一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200 000cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球．如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？
解：，水中球的体积，
，．
故水不会从水槽中溢出．
习题5.2（第119页）
1．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点，，，在同一个平面内．如果四边形是边长为的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？
1．解：由题意，每个面都是边长为的正三角形，
，
即这个八面体的表面积是．
2．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比．
解： 设长方体的三条棱长分别为，，，则 ，
剩下的几何体的体积 ，
所以棱雉的体积与剩下的几何体的体积之比为
3．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点．那么当底面水平放置时，水面高为多少？
解：当三棱柱的侧面水平放置时，液体部分是四棱柱， 其高即为原三棱柱的高，侧棱长．设当底面水平放置时，液面高度为，
由已知条件，知四棱柱与三棱柱的底面面积之比为，由于两种状态下液体体积相等，即，，
∴当底面水平放置时，液面高为6．
4．如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．
解：设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为，则，．
又可知圆柱母线长，圆锥母线长．
剩下几何体的表面积．
剩下几何体的体积．
答：剩下几何体的表面积为，体积为 ．
5．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是cm，求球的体积．
解：正方体的棱长为cm，正方体的体对角线长为
球的半径
综合运用
6．如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是一个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）．为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到1cm2，可用计算工具）．
解： 由题意， 需贴瓷砖的部分为四棱柱与四棱台的侧面积．
四棱台的斜高
故需要瓷砖的面积为 ．
7．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.9×103kg/m3）六角螺母共重5.8kg．如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，这堆螺母大约有多少个？（可用计算工具，π取3.14）
解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即
所以螺帽的个数为
答：这堆螺帽大约有248个．
8．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积之间有什么关系？
解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为．
以边长为的直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，其体积为，记为．同理，以边长为的直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体也是圆锥，其体积为，记为．以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥组合而成的简单组合体，其体积为 ，记为．所以 ．
9．如下页图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积．（可用计算工具，尺寸如图，单位：cm，取3.14，结果取整数．）
9．解析：由三视图画出它的直观图如图所示
，球的直径为，，
，，，．
四棱台的面上的斜高，
四棱台的面上的斜高，
，，
，，
，
∴奖杯的表面积，
奖杯的体积．
奖杯的表面积约为，体积约为．

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