资源简介

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
教学设计
课时教学内容
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。
教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。
课时教学目标
1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．
2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
教学重点、难点
1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；
2.教学难点：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．
教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
【实际情境】在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题
用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关．
规定：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．
【设计意图】表面积的求解不是凭空产生的，用包装盒用纸问题这一实例，让学生感受“求表面积”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.
【问题】：在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
【设计意图】通过复习回顾，让学生感受到求解表面积的转化思想，进而用于解决本节课的新问题情境。
【探究】棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
【思考1】棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
棱柱、棱锥、棱台的表面积
问题1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
例1 如图8.3-1，四面体的各棱长均为，求它的表面积．
分析：因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍．
解：因为是正三角形，其边长为，所以．
因此，四面体的表面积．
环节二 观察分析，感知概念
棱柱、棱锥、棱台的体积
问题2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是
（是正方体的棱长），
（，，分别是长方体的长、宽、高）．
一般地，如果棱柱的底面积是，高是，那么这个棱柱的体积
．
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．
环节三 抽象概括，形成概念
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．因此，一般地，如果棱锥的底面面积为，高为，那么该棱锥的体积
．
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离．
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式
其中，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高．
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离．
环节四 辨析理解，深化概念
【思考3】棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
【设计意图】通过初中正方体，长方体体积公式，归纳出求解棱柱的体积公式。然后将棱柱分解，进而求出棱锥的体积公式。接着将棱台看成大棱锥截取一个小棱锥，通过一些相似知识的应用，进而得出棱台的体积公式。过程中让学生体会化归的基本思想方法，并且在探究棱柱，棱锥，棱台的基础上，感受求解体积问题的一般方法。最后再从形和数的角度让学生感受棱柱，棱锥，棱台的结构特征及其联系。
思考
观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式
，，，
它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
环节五 概念应用，巩固内化
例2 如图8.3-2，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01m3）？
分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和．
解：由题意知
，
．
所以这个漏斗的容积
．
环节六 归纳总结，反思提升
（一）求几何体的表面积
解题技巧（求多面体表面积注意事项）
1．多面体的表面积转化为各面面积之和．
2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
（二）求几何体体积的常用方法
解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项)
1．常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2．求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
【设计意图】让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：课本116页练习，第119页习题8.3第1、6题.
练习（第116页）
1．正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积．
解：如图，六棱台中，，，．
侧面梯形的高为，
，
又，
，
正六棱台的表面积
．
答：正六棱台的表面积为．
2．如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体．
（1）共得到多少个棱长是1cm的小立方体？
（2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？
解：（1）共得到64个棱长为1cm的小立方体；
（2）三面是红色的小立方体有8个，它们的表面积之和为48cm2；
（3）两面是红色的小立方体有24个，它们的表面积之和为144cm2；
（4）一面是红色的小立方体有24个，它们的表面积之和为144cm2；
（5）六个面均没有颜色的小立方体有8个，它们的表面积之和为48cm2，它们占有8cm3的空间．
3．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？
解：由题意知，正方体的体积，截去的每一个四面体都可以看成是底面为等腰直角三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，
石凳的体积
答：石凳的体积是．
4．求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积．
证明：如图，因为直三棱柱的侧面都是矩形，则侧面的面积为底乘高，而高相等，所以要证任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积，只要证明三棱柱的底面上任意两边的和大于第三边即可，而这可由三角形的两边之和大于第三边得到，从而得证．

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