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第4单元复习讲义
1．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
2．正比例和反比例的意义
【知识点归纳】
1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：k（一定）．
2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）．
3．辨识成正比例的量与成反比例的量
【知识点归纳】
1．成正比例的量：
（1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．
（2）相对应的两个数的比值（商）一定．
（3）关系式：k（一定）．
2．成反比例的量：
（1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大．
（2）相对应的两个数的乘积一定．
（3）关系式：xy＝k（一定）．
3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例．
一．选择题（共6小题）
1．某校六年级一班有学生48人，这个班男、女生人数的比可能是（　　）
A．5：2 B．7：8 C．6：11 D．9：7
2．班级数一定，每班人数和总人数（　　）
A．成反比例 B．成正比例
C．不成比例 D．不成正比例
3．用一块橡皮泥捏不同的圆柱体，圆柱体的底面积和高（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定
4．下列各种关系中，成反比例关系的是（　　）
A．在一定时间里，每分钟生产的零件个数和生产零件的总个数
B．三角形面积一定，它的底和高
C．圆柱的底面半径一定，圆柱的高和圆柱的体积
D．一捆50米长的电线，用去的长度与剩下的长度
5．下列说法正确的是（　　）
①圆的面积和它的半径成正比例。
②正方形的周长和它的边长成正比例。
③用同一种砖铺地，所铺的面积和块数成反比例。
④煤的数量一定，使用天数与平均每天的用煤量成反比例。
A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
6．
《庄子 天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思就是：一根一尺长的木棒，第一天截取它的一半，以后每天都截取前一天剩下长度的一半，这样截取下去，永远也截取不完。
按照这样的方法，第四天截取的木棒的长度与木棒总长度的比是（　　）
A．1：4 B．1：8 C．1：16 D．1：32
二．填空题（共7小题）
7．如果ab，那么a、b成 　 　比例。
8．已知 （a、b是不为0的自然数），a和b成 　 　比例。
9．“双十一”期间某手机降价，把 　 　看作单位“1”，现价与原价的比是 　 　。
10．淘气和笑笑练习打字，他们录入同一份稿件。淘气和笑笑所用时间的比是（ 　 　：　 　），打字速度的比是（ 　 　：　 　）。
11．如果，x和y成 　 　比例：如果，x和y成 　 　比例。
12．观察如下表，如果甲和乙成正比例关系，那么a＝　 　；如果甲和乙成反比例关系，那么a＝　 　。
甲 12 a
乙 3 4
13．一辆汽车行驶的时间和路程的关系如图所示。这辆汽车行驶的路程与时间成 　 　比例关系。照这样计算，6.5小时行驶 　 　千米。
三．判断题（共4小题）
14．a：b＝2：5，那么a比b少。 　 　（判断对错）
15．如果，那么x与y成反比例。 　 　（判断对错）
16．一杯糖水，糖占糖水的，糖和水的比是1：9。 　 　（判断对错）
17．每分钟打字的字数一定，打字的总数和时间成正比例。 　 　（判断对错）
四．图形计算（共1小题）
18．在一次自行车越野赛中，小明骑车的时间与路程如下表．
时间（分） 8 10 20 40 60
路程（千米） 2 2.5 5 10 15
（1）路程和时间成什么比例？
（2）时间、路程和速度这三种量，在什么情况下成正比例，什么情况下成反比例？说明理由．
五．操作题（共2小题）
19．甲、乙两台机器的工作时间和耗电量如表．
时间/时 1 2 3 4 5 6
甲机器耗电量/千瓦时 30 60 90 120 150 180
乙机器耗电量/千瓦时 30 65 100 130 160 200
根据表中的数据，在下图中描出每一组工作时间与耗电量所对应的点，再把它们按顺序连接起来．
（1）根据画出的图象，　 　机器的工作时间和耗电量成正比例．
（2）根据画出的图象，工作2.5小时，甲机器的耗电量大约是　 　千瓦时，乙机器的耗电量大约是　 　千瓦时．
20．长征造纸厂的生产情况如表．
时间/天 1 2 3 4 5 6 7 …
生产量/吨 70 140 210 280 350 420 490 …
（1）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值，并比较比值的大小．
（2）说明这个比值所表示的意义．
（3）表中的两种量成正比例关系吗？为什么？
（4）在下面画出它的图象，并根据图象估计一下生产560吨纸大约要用几天时间．
六．应用题（共2小题）
21．小轿车和大轿车同向而行，如图表示它们的行驶情况。
（1）　 　分钟它们相距12km；
（2）小轿车和大轿车的速度之比是 　 　；
（3）当小轿车和大轿车都行驶到离起点180km时，小轿车比大轿车提前了多少分钟？
22．下面是某辆汽车行驶路程与耗油量的对应数值表。
所行路程/km 0 5 10 15 20 25 ……
耗油量/1 0 1 2 3 4 5 ……
（1）汽车的行驶路程与耗油量成 　 　比例关系。（填“正”或“反”）
（2）把这辆汽车的行驶路程与耗油量所对应的点在右下图中描出来，并连线。
（3）所行驶路程用s表示，耗油量用n表示，写出s与n的关系式。
（4）这辆汽车行驶125千米的耗油量是 　 　升。
第4单元练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【答案】D
【分析】男、女生人数的比的前项、后项的和能被48整除的即为所求。据此判断。
【解答】解：A.5+2＝7，7不能被48整除，所以该选项不符合题意；
B.7+8＝15，15不能被48整除，所以该选项不符合题意；
C.6+11＝17，17不能被48整除，所以该选项不符合题意；
D.9+7＝16，16能被48整除，所以该选项符合题意。
故选：D。
【点评】明确男、女生人数都为非0的整数是解题的关键。
2．【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：因为总人数÷每班人数＝班数（一定），是对应的商一定，所以每班人数和总人数成正比例；
故选：B。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
3．【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：橡皮泥的体积一定，所以捏成的圆柱体的体积不变，
底面积×高＝圆柱的体积（一定），所以圆柱体的底面积和高成反比例。
故选：B。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
4．【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：A.生产零件的总个数÷每分钟生产的零件个数＝时间（一定），商一定，所以每分钟生产的零件个数和生产零件的总个数成正比例关系；
B.三角形的底×高＝2×三角形面积（一定），乘积一定，所以三角形面积一定，它的底和高成反比例关系；
C.圆柱的体积÷圆柱的高＝π×半径的平方（一定），商一定，所以圆柱的高和圆柱的体积成正比例关系；
D.用去的长度+剩下的长度＝50（米）（一定），和一定，所以用去的长度与剩下的长度不成比例。
故选：B。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
5．【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：①圆的面积÷它的半径的平方＝π（一定），商一定，所以圆的面积和它的半径成正比例成正比例，但和圆的半径不成比例，所以原题说法错误；
②正方形的周长÷它的边长＝4（一定），所以正方形的周长和它的边长成成正比例，所以原题说法正确；
③所铺的面积÷块数＝一块方砖的面积（一定），商一定所以所铺的面积和块数成正比例，所以原题说法错误；
④使用天数×平均每天的用煤量＝煤的数量（一定），乘积一定，所以使用天数与平均每天的用煤量，原题说法正确。
所以正确的有：②④。
故选：B。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
6．【答案】C
【分析】根据题意，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，把一尺木棍的长度可知单位“1”，第一天截取它的一半，是，第二天截取剩下部分的一半，是；第三天截取的长度是，第四天截取的长度是，据此写出比化简即可。
【解答】解：（）：1
：1
＝1：16
答：第四天截取的木棒长度与最初木棒总长度的比是1：16。
故选：C。
【点评】本题主要考查了比的意义，一条线段，无论多长，每天截取，理论上讲永远截取不完。
二．填空题（共7小题）
7．【答案】正。
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：因为ab，所以a：b：（一定），比值一定，所以a、b成正比例。
故答案为：正。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
8．【答案】反。
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系。
【解答】解：
ab＝35
35是一定值，所以a和b成反比例关系。
则已知 （a、b是不为0的自然数），a和b成反比例。
故答案为：反。
【点评】此题考查了辨别正比例关系和反比例关系，要求学生掌握。
9．【答案】原价，9：10。
【分析】现价降价，就是说现价比原价降低了原价的，是把原价看作单位“1”；相当于原价的（1），由此解答问题即可。
【解答】解：（1）：1
：1
＝9：10
答：“双十一”期间某手机降价，把原价看作单位“1”，现价与原价的比是9：10。
故答案为：原价，9：10。
【点评】本题考查了分数应用题的解答即单位“1”的认识，结合题意分析解答即可。
10．【答案】3，4，4，3。
【分析】求淘气和笑笑所用时间的比用淘气所用时间比笑笑所用时间即可，在工作总量一定的情况下，打字的效率和时间成反比，所以淘气和笑笑的速度比是25：20，据此解答即可。
【解答】解：淘气和笑笑所用时间的比是：18：24＝3：4；
因为作总量一定的情况下，打字的效率和时间成反比，
淘气和笑笑的打字速度比是：
24：18
＝（24÷6）：（18÷6）
＝4：3
答：淘气和笑笑所用时间的比是3：4，打字速度的比是4：3。
故答案为：3，4，4，3。
【点评】解答此题应明确：在工作总量一定的情况下，工作效率和工作时间成反比。
11．【答案】正，反。
【分析】由可得：，据此判断x和y成哪种比例；由得：xy＝4，据此判断x和y成哪种比例。
【解答】解：由可得：，x与y的比值一定，x和y成正比例；由得：xy＝4，x与y的乘积一定，x和y成反比例。
故答案为：正，反。
【点评】两种相关联的量，若其比值（商）一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例。
12．【答案】16；9。
【分析】根据正、反比例的意义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值也就是商一定，它们的关系叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，它们的关系叫做反比例关系。据此解答。
【解答】解：如果甲和乙成正比例关系，
3a＝12×4
a
a＝16
如果甲和乙成反比例关系，
4a＝12×3
a
a＝9
故答案为：16；9。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正、反比例的意义及应用。
13．【答案】正；520。
【分析】此图像是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，所以这辆汽车行驶的时间与路程成正比例关系。且根据“速度＝路程÷时间”可得这辆汽车每小时行驶的路程，再乘时间即可得到6.5小时行驶的路程。
【解答】解：由分析可得，这辆汽车行驶的路程与时间成正比例关系。
80÷1×6.5
＝80×6.5
＝520（千米）
答：照这样计算，6.5小时行驶520千米。
故答案为：正；520。
【点评】本题考查正、反比例的判断。解题关键是熟练掌握比例的判断方法：两种相关联的量，如果它们相对应的数的比值一定，成正比例；积一定，成反比例。
三．判断题（共4小题）
14．【答案】√
【分析】因为a：b＝2：5，所以把a看作2份，b看作5份，用a比b少的份数除以b的份数，即可得a比b少几分之几，再判断即可。
【解答】解：（5﹣2）÷5
＝3÷5
答：a比b少，本题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查了比的意义，求一个数比另一个数多或少几分之几，用除法计算。
15．【答案】√
【分析】将比例式化成等积式即可判断。
【解答】解：由可得，xy＝24，x与y的乘积一定，x和y成反比例。
原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】辨识两种相关联的量之间成正比例还是成反比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
16．【答案】√
【分析】一杯糖水，糖占糖水的，把糖看作1份，则糖水是10份，水是10﹣1＝9（份），即可得出糖和水的比。
【解答】解：根据分析可得：一杯糖水，糖占糖水的，糖和水的比是1：9的说法正确。
故答案为：√。
【点评】解答此题的关键是根据题意把糖看作1份，求出相对应的糖水、水所占的份数。
17．【答案】√
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：打字的总数÷时间＝每分钟打字的字数（一定），商一定，所以打字的总数和时间成正比例。
所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
四．计算题（共1小题）
18．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先计算路程与时间的比值，然后根据比值判断比例；
（2）依据正、反比例的意义，若两个量的商一定，则这两个量成正比例；若两个量的乘积一定，则这两个量成反比例，从而可以进行解答．
【解答】解：（1）8：2＝4，10：2.5＝4，20：5＝4，40：10＝4，60：15＝4，因此，路程与时间的比值（速度）一定，路程和时间成正比例；
（2）因为路程÷时间＝速度（一定），则当速度一定时，路程和时间成正比例；
因为路程÷速度＝时间（一定），则当时间一定时，路程和速度成正比例；
因速度×时间＝路程（一定），当路程一定时，速度和时间成反比例．
【点评】此题主要考查正、反比例的意义，即若a：b＝k（一定），则a和b成正比例；若ab＝k（一定），则a和b成反比例．
五．操作题（共2小题）
19．【答案】见试题解答内容
【分析】先根据统计表中数据，先分别进行描点，再按图示进行依次连线即可；
（1）根据画出的图象，折线在上升过程中成直线上升的就是机器的工作时间和耗电量成正比例的量．进而判定；
（2）根据画出的图象估计，工作时间在2小时与3小时中间对应的耗电量，就是甲或乙工作2.5小时各自耗电量．
【解答】解：先根据统计表中数据，先分别进行描点，再按图示进行依次连线即可；如图：
（1）根据画出的图象，折线在上升过程中各点的连线成一条直线上升的就是机器的工作时间和耗电量成正比例的量，所以甲机器的工作时间和耗电量成正比例，
（2）根据画出的图象估计，工作时间在2小时与3小时中间对应的耗电量，就是甲或乙工作2.5小时各自耗电量；
所以：甲工作2.5小时耗电量：大约75千瓦时，乙工作2.5小时耗电量：大约82.5千瓦时，
故答案为：甲；75，82.5．
【点评】本题考查的根据统计表中数据画折线统计图的方法的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）70：1＝70，140：2＝70，210：3＝70，280：4＝70，350：5＝70，它们的比值都是70；
（2）这个比值是用工作量除以工作时间所得，所以这个比值表示工作效率；
（3）因为表中相关联的两种量：工作量：工作时间＝工作效率（一定）符合正比例的意义，所以表中相关联的两种量成正比例关系；
（4）根据统计表，画出图象，然后再估计生产560吨纸大约要的天数即可．
【解答】解：（1）70：1＝70，140：2＝70，210：3＝70，280：4＝70，350：5＝70，它们的比值都是70；
（2）这个比值是用工作量除以工作时间所得，所以这个比值表示工作效率；
（3）因为表中相关联的两种量：工作量：工作时间＝工作效率（一定）符合正比例的意义，
所以表中相关联的两种量成正比例关系；
（4）
估计图象可得，生产560吨纸大约要用8天时间．
【点评】本题考查了正比例的意义的理解和灵活应用．同时考查了学生分析解决问题的能力．
六．应用题（共2小题）
21．【答案】（1）20；
（2）3：2；
（3）50分钟。
【分析】（1）纵轴每格表示6千米，12千米表示2格，由图可以看出，20分钟后，表示两车的距离是2格，即20分钟后相距12千米。
（2）根据20分钟后，两车的距离之比就是它们的速度之比（或根据“速度＝路程÷时间”分别求出二车的速度），根据比的意义即可写出小轿车和大轿车的速度之比，再化成最简整数比。
（3）根据“时间＝路程÷速度”，用路程（180千米）分别除以小轿车、大轿车的速度，求出小轿车、大轿车的用时，再把二者相减。
【解答】解：（1）20分钟它们相距12km。
（2）36：24＝3：2
答：小轿车和大轿车的速度之比是3：2。
（3）180÷（24÷20）
＝180÷1.2
＝150（分钟）
180÷（36÷20）
＝180÷1.8
＝100（分钟）
150﹣100＝50（分钟）
答：小轿车比大轿车提前了50分钟。
故答案为：20；3：2；50分钟。
【点评】此题考查了如何从折线统计图中获取信息，并根据所获取的信息解决实际问题。掌握路程、时间、速度三者之间的关系是关系。
22．【答案】（1）正。（2）
（3）5。（4）25。
【分析】（1）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例。
（2）根据给出的信息作图即可。
（3）定值。
（4）125：n＝5：1解比例即可。
【解答】解：（1）汽车的行驶路程与耗油量的比是一个定值，所以汽车的行驶路程与耗油量成正比例关系。
（2）
（3）5。
（4）125：n＝5：1
5n＝125×1
5n＝125
n＝25
答：这辆汽车行驶125千米的耗油量是25升。
故答案为：（1）正。（3）s：n＝5。（4）25。
【点评】此题考查了判断正比例和反比例，以及正比例画图和解比例，要求学生掌握。

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