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数学好玩之我们一起去游园
最优化问题
【知识点归纳】
最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析．
最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举．
一．选择题（共3小题）
1．32名同学乘车去公园，小车限乘4人，每辆6元，大车限乘6人，每辆8元。哪种租车方案最省钱？（　　）
A．3辆大车和4辆小车 B．4辆大车和2辆小车
C．2辆大车和5辆小车
2．超市促销活动，有两种优惠方案。方案一：购物每满100元，减60元。方案二：先打五折，然后在此基础上再打九折。李明要买一双340元的球鞋，更为省钱的购买方案是（　　）
A．方案一 B．方案二
C．两种方案省钱同样多 D．无法确定
3．有28人坐船，每条大船限坐6人，租金50元；每条小船限坐4人，租金40元，如果所有人都坐船，并且每条船都坐满，（　　）种方案租船最省钱。
A．大船5条 B．小船4条、大船2条
C．大船4条、小船1条 D．小船7条
二．填空题（共3小题）
4．三年级35位同学去秋游，大车限乘9人，小车限乘4人，租 　 　辆大车和 　 　辆小车能正好坐满。
5．运输队准备用载重分别为2吨和3吨的车运煤，安排 　 　辆2吨的车和 　 　辆3吨的车可以恰好把25吨煤运完。
6．23个同学买同样的4元1瓶的饮料，每人买1瓶，他们正好遇上促销活动：“买五赠二”，这时他们至少需要付 　 　元。
三．判断题（共2小题）
7．旅游租车时，只要大车、小车都坐满，就是最省钱的方法。 　 　（判断对错）
8．一种轮滑鞋在A，B两个体育用品商店标价相同，A商店每满100元减40元，B商店全场打六折出售，这双轮滑鞋在A，B两个商店的售价一定相同．　 　（判断对错）
四．应用题（共2小题）
9．实验小学四年级师生32人去公园划船，小船限乘4人，大船限乘6人。怎么租船最省钱？需要多少钱？
10．现有34人去公园坐游船。
（1）如果每条船都坐满，可以怎样租船？
（2）如果租一条大船54元，租一条小船40元，哪种租船方案最省钱？
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参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．【答案】B
【分析】根据题意可分别计算出每种方案需要的钱数，且此种方法乘坐的总人数至少应为32人；每辆大车的价钱×租大车的辆数+每辆小车的价钱×租小车的辆数＝一共需要的钱数，每辆大车限乘的人数×租大车的辆数+每辆限乘的人数×租小车的辆数＝一共乘坐的人数，依此计算并比较即可。
【解答】解：A．8×3+6×4＝24+24＝48（元），6×3+4×4＝18+16＝34（人），34人＞32人。
B．8×4+6×2＝32+12＝44（元），6×4+4×2＝24+8＝32（人），32人＝32人。
C．8×2+6×5＝16+30＝46（元），6×2+4×5＝12+20＝32（人），32人＝32人。
48元＞46元＞44元，因此租4辆大车和2辆小车最省钱。
故选：B。
【点评】此题考查的是经济问题的计算，先分别计算出每种方案需要的钱数，是解题的关键。
2．【答案】B
【分析】方案一：先用除法求出340元里面有多少个100元，有几个100元就减去几个60元，实际付的钱数＝总钱数﹣优惠的钱数；
方案二：几折就表示十分之几，也就是百分之几十，如：打九折出售，就是按原价的90%出售，实际付的钱数＝总钱数×50%×90%，最后比较大小，即可求得。
【解答】解：方案一：340÷100≈3（个）
340﹣3×60
＝340﹣180
＝160（元）
方案二：五折＝50%，九折＝90%。
340×50%×90%
＝170×90%
＝153（元）
因为153元＜160元，所以更为省钱的购买方案是方案二。
故选：B。
【点评】本题主要考查选择最佳方案的问题，分别求出两种方案实际付的钱数是解答题目的关键。
3．【答案】C
【分析】求出每个选项的方案所用的钱数，再比较。即可选出租船最省钱的方案。
【解答】解：A．5×6＝30（人），30＞28，不符合题意；
B．4×4+6×2＝28（人），28＝28；4×40+2×50＝260（元）；
C．4×6+4＝28（人），28＝28；4×50+40＝240（元）；
D．4×7＝28（人），28＝28；40×7＝280（元）。
240＜260＜280，所以大船4条、小船1条最省钱。
故选：C。
【点评】本题主要考查在乘船过程中的最优化思想，既要保证每条船都没有空座还要费用最少。
二．填空题（共3小题）
4．【答案】3；2。
【分析】分析题意，35位同学去秋游，大车限乘9人，小车限乘4人，要求正好坐满，也就是35位同学正好全部坐满，9×3+4×2＝35（人），所以租3辆大车和2辆小车正好坐满。
【解答】解：9×3+4×2
＝27+8
＝35（人）
答：租3辆大车和2辆小车能正好坐满。
故答案为：3；2。
【点评】此题应通过分析，得出最佳方案，进而列式计算得出问题结论。
5．【答案】2（或5或8），7（或5或3）。
【分析】两辆车的载质量分别为2吨和3吨，可以只安排一种车，也可以两种车同时安排，但要每次都装满。用列表的方法把不同的运送方案一一列举出来，再选择最优方案。
【解答】解：
运送方案 3吨的车 2吨的车 运煤吨数
① 9辆 0辆 27吨
② 8辆 1辆 26吨
③ 7辆 2辆 25吨
④ 6辆 4辆 26吨
⑤ 5辆 5辆 25吨
⑥ 4辆 7辆 26吨
⑦ 3辆 8辆 25吨
⑧ 2辆 10辆 26吨
⑨ 1辆 11辆 25吨
⑩ 0辆 13辆 26吨
安排2辆2吨的车和7辆3吨的车，或者5辆2吨的车和5辆3吨的车，或者8辆2吨的车和3辆3吨的车，或者11辆2吨的车和1辆3吨的车，可以恰好把25吨煤运完。
故答案为：2（或5或8），7（或5或3）。
【点评】根据已知条件和数量关系将所有可能的方案一一列举出来，然后再从各种方案中选择最优方案。
6．【答案】见试题解答内容
【分析】23个同学需要23瓶饮料，买五赠二，因此可将（5+2）瓶看成一组，然后用总瓶数除以每组的瓶数，得到的商就是可以买的组数，余数表示剩下的瓶数，买了几组就送了几个2瓶，再用组数乘5后，再加剩下的瓶数，从而计算出需要付钱的瓶数，最后根据“单价×数量＝总价”进行计算即可。
【解答】解：5+2＝7（瓶）
方案一：23÷7＝3（组）……2（瓶）
4×5＝20（元）
3×20＝60（元）
2×4＝8（元）
60+8＝68（元）
方案二：23÷7＝3（组）……2（瓶）
3+1＝4（组）
4×5＝20（元）
4×20＝80（元）
68＜80，即按照促销购买3组共计21瓶，单独在买2瓶，合计23瓶，此时最少花68元钱。
答：他们至少需要付68元。
故答案为：68。
【点评】此题考查的是经济问题的最优方案问题。
三．判断题（共2小题）
7．【答案】×
【分析】根据每种车可坐人数及总人数，选择每座最便宜，且尽量满座时，最省钱；据此判断即可。
【解答】解：旅游租车时，只要大车、小车都坐满，不一定是最省钱的方法，还需要考虑每座的价钱，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查最优化问题，关键明确选择每座最便宜，且尽量满座时，最省钱。
8．【答案】见试题解答内容
【分析】A商店，如果满100元，要先算出满100元减40元，相当于打几折，即花100﹣40＝60元，买100元的轮滑鞋，即用60除以100算出折数，再和B商店全场打六折比较，如果不满100元，不优惠，按这两种情况解答即可．
【解答】解：如果满100元，A商店，相当于打的折数是：
（100﹣40）÷100＝60%＝六折
则与B商店全场打六折相同；
但是如果不满100元，A商店不优惠，那么还是B商店便宜；
综上所述，原题说法错误；
故答案为：×．
【点评】解决本题关键是理解两个商场不同的优惠方法，注意分两种情况考虑．
四．应用题（共2小题）
9．【答案】4条大船，2条小船，280元。
【分析】省钱的两个原则：一个是尽可能乘坐单价低的船，另一个是尽可能少留空位，按这两个原则设计方案，比较设计出不同方案的最后结果。
【解答】解：40÷4＝10（元）
50÷6≈8（元）
10＞8，大船人均单价低，所以尽量多租大船。
方案一：租5条大船，1条小船。
5×50+40
＝250+40
＝290（元）
方案二：租4条大船，2条小船。
4×50+2×40
＝200+80
＝280（元）
290＞280
答：租4条大船，2条小船最省钱，需要280元。
【点评】本题考查属于最优化问题，解答此类问题一般思路是：根据省钱原则设计出方案，比较几种方案的最后结果，得出最优方案。
10．【答案】（1）租5条大船，1条小船；租3条大船，4条小船；租1条大船，7条小船。
（2）租5条大船，1条小船。
【分析】（1）所有船都坐满，有三种方案。方案一：租5条大船，1条小船；方案二：租3条大船，4条小船；方案三：租1条大船，7条小船。
（2）根据大船条数×54+小船条数×40＝总钱数，代入数据分别求出这三种方案需要的钱数，再作比较即可。
【解答】解：方案一：租5条大船，1条小船。
6×5+4
＝30+4
＝34（人）
方案二：租3条大船，4条小船。
6×3+4×4
＝18+16
＝34（人）
方案三：租1条大船，7条小船。
6+4×7
＝6+28
＝34（人）
答：如果每条船都坐满可以租5条大船，1条小船；租3条大船，4条小船；租1条大船，7条小船。
（2）方案一：54×5+40
＝270+40
＝310（元）
方案二：54×3+40×4
＝162+160
＝322（元）
方案三：54+7×40
＝54+280
＝334（元）
310＜322＜334
答：租5条大船，1条小船最省钱。
【点评】此题应通过分析，得出最佳方案，进而列式计算得出问题结论。

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