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第六章 实数
知识点讲解
要点一：平方根和立方根
类型项目 平方根 立方根
被开方数 非负数 任意实数
符号表示
性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；
重要结论
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的．
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应．
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即()，非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0．
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立，实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里．
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立
法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法．
巩固练习
一、选择题
1．9的算术平方根是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各数中的无理数是（　　）
A． B． C．0 D．
3． 下列说法错误的是（　　）
A．的立方根是 B．算术平方根等于本身的数是，
C． D．的平方根是
4．在，0，，四个实数中，最小的是（　　）
A． B．0 C． D．
5．如图，数轴被墨迹污染了，被覆盖的数不可能是（　　）
A． B． C． D．
6．估计的值在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
7．一个正数的两个不同的平方根是a+1和a-5，则这个正数是（　　）
A．2 B．4 C．9 D．16
8．已知，，则x2-x的值为（　　）
A．0 或 1 B．0 或 2 C．0 或 6 D．0、2 或 6
二、填空题
9．比较大小：　 　1.（填“>”=或“<”）
10．已知：，，则　 　．
11．若有平方根，则实数的取值范围是　 　．
12．已知的平方根是，则的立方根是　 　 ．
13．　 　．
三、解答题
14．把下列各数写入相应的集合中：-，，0.1，，，，0，0.1212212221．．． （相邻两个1之间2的个数逐次加1）
（1）正数集合{ }；
（2）有理数集合{ }；
（3）无理数集合{ }．
15．计算：
（1）．
（2）.
（3）．
16．求出下列等式中x的值：
（1）；
（2）．
17．已知2a+1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是-2，求4a-5b+5的算术平方根．
18．已知一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为2，是的整数部分，
（1）求a、b、c的值．
（2）求的立方根．
19．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于12，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为（1）．
解答下列问题：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　；
（2）如果的小数部分为a；的整数部分为b，求a+b的值；
（3）已知15x+y，出其中x是整数，且0＜y＜1，求x-y的相反数．
参考答案
1．A
2．B
3．B
4．D
5．A
6．B
7．C
8．B
9．<
10．
11．
12．4
13．
14．（1）0.1、、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）；
（2）、 0.1、 、 、0 ；
（3）、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．
15．（1）解：
．
（2）解：原式
（3）解：原式
．
16．（1）解：4x2-12=0
4x2=12，
x2=3，
∴x=或x=-
（2）解：，
（x-1）3=，
x-1=，
∴x=
17．解：∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝9，
解得a＝4，
∵3a+2b+4的立方根是-2，
∴3a+2b+4＝-8，
∴12+2b+4＝-8，
解得b＝-12，
当a＝4，b＝-12时，
4a-5b+5
＝16+60+5
＝81，
∴4a-5b+5的算术平方根为9．
18．（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴；
∵的算术平方根为2，
∴，
∴；
∵，
∴的整数部分，
∴．
（2）解：，
∴的立方根是．
19．（1）3；
（2）解：∵4＜6＜9，9＜13＜16，
∴2＜＜3，3＜＜4，
∴a=-2，b=3，
∴a+b-=-2+3-=1；
（3）解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴16＜15+＜17，
∴x=16，y=15+-16=-1，
∴x-y=16-+1=17-，
∴x-y的相反数为-17．

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