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2024年中考数学复习专题讲义：锐角三角函数
考点1 锐角三角函数的概念
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的三个三角函数的定义如下表所示：
函数名称 定义式 自变量的取值范围 函数值的取值范围
正弦 sinA=
余弦 cosA=
正切 tanA=
2．锐角的 统称为锐角的三角函数．
3．同角三角函数之间的关系
4．同角三角函数关系： ；
考点2 特殊角的三角函数值
1．30°、45°、60°角的三角函数值
∠A 30° 45° 60°
sinA
cosA
tanA 1
2．特殊三角形三边的比
（1）30°直角三角形三边的比（由小到大）是
（2）45°直角三角形三边的比（由小到大）是
考点3 解直角三角形
1．解直角三角形的含义
2．在直角三角形中，由已知元素求出 的过程，叫做解直角三角形．
3．直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
（1）角角关系：两锐角互余，即 ；
（2）边边关系：勾股定理，即 ；
（3）边角关系：锐角三角函数，即sinA=、cosA=、tanA=、sinB=、cosB=、tanB=．
4．解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
（1）已知两条边：一 边和一 ；两 ；
（2）已知一条边和一个锐角：一 和一 ； 和一 ．
这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
考点4 解直角三角形的实际应用
1．仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ．
2．坡角与坡度：坡面与水平面所成的角称为 ；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为 ；坡角与坡度的关系为：坡角的 就是坡度，坡角越 ，坡度越大．
坡度：；坡角:．
3．方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于的角叫做 ；
一、选择题
1． 已知为锐角，且，则（　　）
A． B． C． D．
2．在中，，，，那么边的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，点A，B，C在正方形网格的格点处，等于（　　）
A． B． C． D．
4．某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯AC的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端，已知登高梯的长度AC为3米，登高梯与地面的夹角∠ACB为72°，则书架第七层顶端离地面的高度AB为（　　）
A．3sin72°米B B．米
C．3cos72° 米 D．米
5．如图，在中，，，，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，商用手扶梯 的坡比为 ，已知扶梯的长 为12米，则小明乘坐扶梯从 处到 处上升的高度 为（　　）
A．6米 B． 米 C．12米 D． 米
7． 如图所示，将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，（如图点B′），若，则折痕AE的长为（　　）
A． B． C．2 D．
8．如图，一艘船由 港沿北偏东65°方向航行 至 港，然后再沿北偏西40°方向航行至 港， 港在 港北偏东20°方向，则 ， 两港之间的距离为（　　） .
A． B． C． D．
二、填空题
9．　 　.
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E．如果BC=18，tanA= ，那么CD=　 　．
11．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离　 　千米.
12．如图，将一副三角板按如图方式叠放，已知AB=2 +2，则sin∠BEC的值为　 　 .
13．如图，在 中， ， ， ， 为 的内切圆，点D是斜边AB的中点，则 　 　．
三、解答题
14．计算：
（1）sin45°cos45°+4tan30°sin60°；
（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°．
15．如图，山顶上有一信号塔，山坡的倾角为，为了测量塔高，测量人员选择山脚处为一测量点，测得塔顶的仰角为，然后顺山坡向上行走到达处，再测得塔顶的仰角为，求塔高.（结果精确到，参考数据：，）
16．如图，在△ABC中，∠B=90°， ，D是 上的一点，连结 ，若∠BDC=60°，BD= ．试求AC的长．
17．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．
(1)求点B距水平地面的高度；
(2)若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，，，，）
18．如图，是的直径，点C，D在上，，与相交于点E，点F在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
参考答案
1．A
2．A
3．B
4．A
5．C
6．A
7．C
8．B
9．
10．5
11．
12．
13．2
14．解：（1）原式＝×+4××
＝+2
＝；
（2）原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣
＝﹣2×+×3﹣
＝﹣1+2﹣
＝1．
15．解：根据题意可得：
∴
∵
∴
∴
∴
在 中，
∴
∴
答：塔高大约58米.
16．解：在△ABC中，∠B=90°，cosA＝ ,
∴ ．
设：AB=5x，AC=7x，
由勾股定理 得BC＝2 xFF0C
在Rt△DBC中，∠BDC=60°，BD=2 ，
∴BC=BDtan60°=2 × =6，
∴2 x=6，
解得 x= ，
∴AC=7x= ．
17．（1）解：如图，过点作，，垂足分别为、，
由题意可知，，，，米，米．
，
，
（米，
即点距水平地面的高度为5米；
（2）在中，，
（米，（米，
米，
，
米，
米，
在中，，米，
（米，
（米，
，
该公司的广告牌符合要求．
18．（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的直径，
是的切线；
（2）解：，，，
，
，，
，
，
，=，
，
，
，
，解得，
半径是．

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