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2024年中考数学复习专题讲义：反比例函数
知识点讲解
考点1 反比例函数的概念
一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．如：、、都是反比例函数．
字母 名称 取值范围
x 自变量 x≠_0
y 函数 y≠0
k 比例系数 _k≠0
三种表示形式：，，，（其中：k≠_0）
考点2 反比例函数的图象
1．反比例函数的图象
反比例函数的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线通常称为双曲线．反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近x轴y轴但不会与坐标轴相交．
2．反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是___________原点___________．
3．反比例函数的图象在坐标系中的位置
K的正负性 图象的位置 图象的形态走势
K>0 图象在第一、三象限 每一个分支中，图象从左到右下降
K<0 图象在第二、四象限 每一个分支中，图象从左到右上升
考点3 反比例函数的性质
1．反比例函数的增减性
K的正负性 函数的性质
K>0 每一个分支中， y随x增大而减少
K<0 每一个分支中， y随x增大而增大
2．的几何意义
越大，双曲线离原点越远，过反比例函数图象上任意一点作两条坐标轴的平行线，这两条平行线与两条坐标轴围成的长方形的面积等于．
考点4 反比例函数的应用
1．待定系数法求反比例函数的解析式
将一组对应的x、y的值或图象上一个点的坐标代入表达式，利用k=xy求出k的值．
2．反比例函数与一次函数的交点
反比例函数与一次函数的交点就是方程组的解．
两种函数在交点位置的函数值是相同的，其它位置函数值的大小可以由函数图象的上、下位置来确定．规律是：上大下小．
3．面积问题
利用分割法将图形转化为以坐标轴上的边为底的三角形求解，也可以考虑用的几何意义求解．
4．反比例函数的实际应用
行程问题：路程S一定，速度v与时间t的关系：是反比例函数；
工程问题：工作量Q一定，工作效率p与工作时间t的关系：是反比例函数；
几何问题：长方形的面积S一定，长y与宽x的关系：是反比例函数；圆柱的体积v一定，圆柱的高h与底面积s的关系：是反比例函数；
5．反比例函数在其它学科的应用
压力一定，压强与受力面积的关系：是反比例函数；
杠杆，力与力臂的关系是反比例关系；
电压u一定，通过导体的电流I与导体的电阻R的关系：是反比例函数；
专题练习
一、选择题
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝4x B． C． D．
2．下列各点中，在反比例函数 图象上的是（　　）
A．(3，1) B．（-3，1） C．(3， ) D．（ ，3）
3．在同一直角坐标系中，反比例函数y＝ 与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
4．若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限。AB⊥y轴于点B，函数y= (x>0)的图象与线段AB交于点C，且AB=3BC．若△AOB的面积为12．则k的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V
C．当时， D．当时，
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数 的图象经过顶点D， 分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为 （　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
9．反比例函数y= 的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围　 　。
10．如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC＝2，则k的值　 　.
11．某物体对地面的压强p（Pa）与物体和地面的接触面积S（m2）成反比例函数关系（如图）。当该物体与地面的接触面积为0.25m 时，该物体对地面的压强是　 　 Pa。
12．如图，已知函数y= 与y=ax2+bx+c（a＞0，b＞0）的图象相交于点P，且点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+ =0的解是　 　．
13．如图，点P（m，1）是反比例函数y= 图象上的一点，PT⊥x轴于点T，把△PTO沿直线OP翻折得到△PT′O，则点T′的坐标为　 　．
三、解答题
14．已知在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）若点也在反比例函数的图象上，当时，求y的取值范围．
15．某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方v，共计t天运输完成．
（1）请直接写出v关于t的函数关系式；
（2）为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？
16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A(1，2)和点B(m，n)，且m>1，过点B作y轴的垂线，垂足为C．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）当时，求的面积；
（3）当的面积为2时，求点B的坐标．
17．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
18．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（2）求△DOC的面积．
（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD全等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．D
2．A
3．D
4．D
5．A
6．C
7．C
8．C
9．
10．7
11．4000
12．x=﹣3
13．（ ， ）
14．（1）解：将点代入，
得，
∴，
将点A的坐标代入，
得，
∴
（2）解：∵，
当时，；
当时，
∵，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴当时，求y的取值范围是．
15．（1）解：v＝
（2）解：当时，，
（）．
答：实际平均每天至少需要比原计划增加500土方运输量．
16．（1）解：把点A（1，2）代入反比例函数y= 得2=，
∴k=2，
∴反比例函数解析式为：y=；
（2）解：∵y=，m=4，
∴点B(4，)，
∴△ABC面积为×4×(2-)=3
（3）解：∵S△ABC=2，
∴m（2-n）=2，
∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过点B（m，n）（m＞1），
∴n=，
∴m（2-）=2，
解得m=3，
∴点B的坐标为（3，）．
17．（1）解：当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝．
（2）解：将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；
（3）解：当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
18．（1）∵点C（1，2）在反比例函数 图象上，
∴k=2，
∴反比例函数解析式为 ，
∵点B（2，m）在反比例函数 图象上，
∴m= =1．
（2）如图，过点C作⊥OA于E，过点D作DF⊥OA于F，
∵C（1，2），D（2，1），
∴CE=2，DF=1，
∵C、D在一次函数 的图象上，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数解析式为y=-x+3，
当y=0时，x=3，
∴A点坐标为（3，0），
∴OA=3，
∴ =S△AOC-S△AOD= = =1.5．
（3）设点P坐标为（n， ），
∵C（2，1），D（1，2），
∴OC=OD，
∵△POC和△POD全等，
∴PC=PD，
∴ ，
解得： ，
∴P（ ， ）或P（ ， ），
∴双曲线上存在一点P，使得△POC和△POD全等，P（ ， ）或P（ ， ）．

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