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2024年中考数学一轮复习专题讲义：平行四边形与特殊的平行四边形
知识点讲解
1、平行四边形
(1)定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
(2)平行四边形的性质
平行四边形的对边平行且相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分。
(3)平行四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
（5）平行四边形的面积
S平行四边形=底×高
(6)中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
2、矩形
(1)定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
(2)矩形的性质
矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(3)矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形。
3、菱形
(1)定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(2)菱形的性质
菱形具有平行四边形的一切性质；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。
(3)菱形的判定
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边相等的四边形是菱形。
（4）菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
4、正方形
正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。
专题练习
一、选择题
1．下列说法中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形
C．平行四边形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相等且互相平分
2．如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，且OA＝OC，OB＝OD（　　）
A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形 B．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形
C．若AC⊥BD且AC＝BD，四边形ABCD是正方形 D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
5．如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，OE=3，AB=5， ABCD的周长（　　）
A．11 B．13 C．16 D．22
6． 如图，矩形的对角线，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．如图，F是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点E．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图， 的对角线、相交于点，若，则 的面积为　 　．
10．如图，在中，是对角线上的点，，，则的大小为　 　．
11．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的长是　 　．
12．如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为　 　．
13．如图，正方形中，，，则　 　．
三、解答题
14．如图，在中，，延长到点E，使过点E作交的延长线于点F，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，直接写出的长．
15．如图，已知的对角线，交于点O，过点O且与，分别相交于点E、F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
16．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的面积．
17．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．
（1）求证：；
（2）若．求证：四边形是菱形．
18．已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上．
（1）如图1，DE⊥FG，求证：BF＝AE+AG；
（2）如图2，DE⊥DF，P为EF中点，求证：BE＝PC；
（3）如图3，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若CD＝4，BF＝DG＝1，则线段EH的长为　 　．
参考答案
1．D
2．D
3．D
4．C
5．D
6．A
7．B
8．B
9．8
10．38
11．
12．
13．
14．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
15．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
在和中，，
∴≌（），
∴．
（2）解：在平行四边形中，
∵，
∴．
∵，．
中，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
16．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，即，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴．
在中，，，
∴，
∴
∴四边形的面积是：．
17．（1）证明：连接，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
18．解：（1）如图1，过点G作GM⊥BC于M，
则∠GMB＝∠GMF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABMG是矩形，
∴AG＝BM，
∵DE⊥GF，
∴∠ADE+∠DGF＝∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DGF，
又∠DGF＝∠MFG，
∴∠AED＝∠MFG，
∴△DAE≌△GMF（AAS），
∴AE＝MF，
则BF＝BM+MF＝AG+AE；
（2）如图2，过点E作EQ∥PC，交BC于点Q，
∵P是EF的中点，
∴PC是△EQF的中位线，
则EQ＝2PC，QC＝CF，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
又∵∠A＝∠DCF＝90°，AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF＝QC，
∵AB＝BC，
∴BE＝BQ，
则∠BEQ＝45°，
∴EQ＝BE，
则2PC＝BE，
∴BE＝PC；
（3）如图3所示，作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N，
则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形，
∴BM＝GF，BF＝MG＝1，BN＝EH，
∵DG＝1，CD＝AD＝4，
∴AM＝2，
延长DC到P，使CP＝AM＝2，
∵BA＝BC，∠A＝∠BCP＝90°，
∴△BAM≌△BCP（SAS），
∴∠ABM＝∠CBP，BM＝BP，
∵∠GOH＝45°，BN∥EH，BM∥GF，
∴∠MBN＝45°，
∴∠ABM+∠CBN＝45°，
∴∠CBP+∠CBN＝45°，即∠PBN＝45°，
∴△MBN≌△PBN（SAS），
∴MN＝PN，
设CN＝x，则MN＝PN＝CN+PC＝x+2，DN＝4﹣x，
在Rt△DMN中，由DM2+DN2＝MN2可得22+（4﹣x）2＝（x+2）2，
解得x＝，
则EH＝BN＝＝＝，
故答案为：．

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