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第五章 相交线与平行线
知识点讲解
1、邻补角与对顶角
邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。
对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
注：对顶角相等。
如：∠1和∠2互为邻补角，∠2和∠3互为对顶角。
2、垂线
(1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
(2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
3、同位角、内错角、同旁内角
如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角。
4、平行线
(1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。
(2)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
(3)平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(4)平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
单元练习
一、选择题
1．如图，两条直线交于点O，若，则∠2的度数为（　　）
A．40° B．80° C．100° D．140°
2．由图案①通过平移后可以得到的图案是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，，，则点C到的距离为（　　）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
4．如图，下列说法不正确的是（　　）
A．与是同位角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
5．下列命题：①相等的角是对顶角；②邻补角是互补的角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
其中真命题的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，已知，那么下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，直线 ， ， ， ，则 （　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
8．如图所示，下列条件中能说明的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，两个一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，若，则的度数为　 　．
11．如图，已知的面积为25，，在直线上有一动点P，连接点C、P，则线段的最小值为：　 　．
12．如图，要使CDBE，需要添加的一个条件为：　 　．
13．如图，将三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF处.若EC=2BE=4，则BF的长为　 　．
14．一个小区大门的栏杆如图所示，垂直地面于，平行于地面，那么　 　度．
三、解答题
15．如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥OC于O，OE平分∠AOF，∠COE=15°，求∠BOD的度数．
16．如图，∠BAM=75°，∠BGE=75°，∠CHG=105°，则可推出 AM∥EF，AB∥CD.完成下面的推理过程（填空）.
解：∵∠BAM=75°，∠BGE=75°（已知），
∴∠BAM=∠BGE，
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）.
∵∠AGH=∠BGE（对顶角相等），
∴∠AGH=75°，
∴ ∥ （ ）.
17．如图，直线 AB，CD被直线 EF 所截，EG 平分∠AEF，∠2=∠3，试说明：AB∥CD.
18．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连结OF.
（1）判断ED是否平行于AB，请说明理由.
（2）若OD平分∠BOF，∠OFD=80°，求∠1的度数.
19．如图1，直线被直线所截，直线分别交直线于点A，点C，满足．将三角形按图1放置，点G在直线上（点G与点A不重合），点M在直线上，．
（1）求证．
（2）若，求的度数．
（3）如图2，的平分线交直线于点H．现将三角形沿直线平移，请直接写出与的数量关系．
参考答案
1．A
2．D
3．C
4．D
5．C
6．B
7．D
8．B
9．A
10．47°
11．5
12．或，（答案不唯一）
13．8
14．270
15．解：∵OF⊥OC 已知），
∴∠COF＝90°（垂直的定义），
∵OE 平分∠AOF（已知），
∴∠AOE＝∠EOF（角平分线的定义），
∵∠COE＝15°（已知），
∴∠AOE＝∠EOF＝∠COF－∠COE＝75°，
∴∠AOC＝∠AOE－∠COE＝60°，
∴∠BOD＝∠AOC＝60°（对顶角相等）
16．解：∵∠BAM=75°，∠BGE=75°（已知），
∴∠BAM=∠BGE，
∴AM∥EF（同位角相等，两直线平行）.
∵∠AGH=∠BGE（对顶角相等），
∴∠AGH=75°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
17．证明：∵EG平分∠AEF，
∴
∵
∴
∴.
18．（1）解：ED∥AB，理由如下：
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠1+∠DOB=180°-∠COD=90°，
∵∠1与∠D互余，
∴∠1+∠D=90°，
∴∠D=∠BOD，
∴AB∥ED；
（2）解：∵∠DFO=80°，DE∥AB，
∴∠BOF=180°-∠DFO=100°，
∵OD平分∠BOF，
∴∠BOD=∠BOF=50°，
∴∠1=90°-∠BOD=40°.
19．（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）如图，过作，而，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（3）如图，当在的右边时，由（2）得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
如图，当在的左边时，由（2）得：，
∴，
∵的平分线交直线于点H．
∴，
∴，
∴．

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