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知识点一：概率初步
1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．
(2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．
3．事件的分类
(1)随机事件：
①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．
②随机事件一般用大写字母，，，…表示．
③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．
(2)必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．
(3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．
4．古典概型
如果一个试验具有如下性质：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
称这样的为古典概率模型，简称古典概型．
5．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率，其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
6．频率与概率
(1)随机事件的频率
在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现,称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率.
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率.
由概率的定义可知：
(1)对于任意事件，都有；
(2)必然事件的概率为1，即；
(3)不可能事件的概率为0，即.
7．互斥事件
一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：，图示：.
8．对立事件
一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且，图示：.
9．互斥事件与相互独立事件的区别与联系
相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生， 即
概率公式 事件与相互独立等价于 事件与互斥， 则
知识点二：统计初步
1．统计的相关概念
全面调查(普查)、抽样调查
①全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查
②总体：调查对象的全体
③个体：组成总体的每一个调查对象
④抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法
⑤样本：从总体中抽取的那部分个体
⑥样本量：样本中包含的个体数
⑦样本数据：调查样本获得的变量值
2．简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
最常用的简单随机抽样方法是抽签法.
抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．
3．系统抽样
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
①先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；
②确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝，如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除；
③在第1段用简单随机抽样方法确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用系统抽样．
4．分层抽样
(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的．
5．统计图表
名称 概念
频数、 频率 将一批数据按要求分为若干个组,各组内数据的个数,叫作该组的频数.每组频数除以全体数据个数的商叫作该组的频率.频率反映该组数据在样本中所占比例的大小
样本的频率分布 根据随机所抽样本的大小,分别计算某一事件出现的频率,这些频率的分布规律(取值状况)就叫作样本的频率分布
极差 若一组数据的最小值为a,最大值为b,则b-a的差就叫作极差
组距 把所有数据分成若干组,每个小组的两个端点之间的距离称为组距
频率直方图的制作步骤：
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)
(2)决定组距与组数
组距是指每个小组的两个端点之间的距离.为方便起见一般取等长组距，并且组距的选择应力求“取整”.极差、组距、组数有如下关系：
若为整数，则=组数；若不为整数，则[]+1=组数。
(3)将数据分组：通常对组内数据所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间。
(4)列频率分布表：统计各组数据的频数，计算频率，填入表格中，完成频率分布表。
(5)画频率直方图：画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高）表示频率与组距的比值。
在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1．
6．样本的均值和标准差
(1)众数，中位数，平均数
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)　．
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
(2)样本方差，样本标准差
标准差
s＝，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数．标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是样本标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．
考点一 随机试验
1．下列说法正确的是（ ）
A．随机现象至少有两种可能结果 B．随机现象必然会发生
C．样本空间所包含的样本点是有限的 D．射击一个目标除了命中和末命中外还有其他结果
【答案】A
【解析】对于A，随机现象有两种或两种以上可能的结果，故A正确；对于B，随机现象是指可能产生的结果，不是必然发生，故B错误；对于C，样本空间所包含的样本点可能是无限的，比如在某一区间内取一个实数，则有无数种可能，故C错误；对于D，射击一个目标只有命中和末命中两种情况，故D错误，故选：A.
2．采用抽签法从含有3个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，则所有可能的样本为______.
【答案】，，
【解析】从总体中任取两个个体即可组成样本，即所有可能的样本为，，，故答案为：，，.
3．下列四个命题中真命题的个数为（ ）个
①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；
②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；
③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；
④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于①，一批产品的次品率即出现次品的概率，它表示的是产品中出现次品的可能性的大小，并非表示件产品中必有件次品，故①不是真命题；对于②，抛次硬币，结果次出现正面，可知出现正面的频率是，而非概率，故②不是真命题；对于③，随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化，是事件的一种固有属性，而随机事件发生的频率，会发生变化，随着试验次数的增加，频率会稳定于概率，但频率只是概率的近似值，并不表示概率就是频率，故③不是真命题；对于④，掷骰子次，得点数为的结果有次，即次试验中，“出现点”这一事件发生了次，则出现点的频率为，故④为真命题，综上所述，真命题个数为个，故选：A.
4． 写出从集合任取两个元素构成子集的样本空间．
【答案】
【解析】从集合任取两个元素，则构成子集的样本空间.
考点二 古典概型
5．下列试验是古典概型的为 ．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两枚骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
【答案】①②④
【解析】因为古典概型需要满足基本事件是有限个，且每个基本事件的概率相等，据此①②④均符合要求，③不满足等可能的要求，因为降雨受多方面因素影响，故答案为：①②④.
6．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，概率为，故选：C.
7．为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】从蓝、白、红、黑、绿5种颜色的口罩中选3只不同颜色的口罩，基本事件列举如下：（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），（蓝红黑），（蓝红绿），（蓝黑绿），（白红黑），（白红绿），（白黑绿），（红黑绿），共有10个基本事件，其中蓝、白口罩同时被选中的基本事件有（蓝白红），（蓝白黑），（蓝白绿），共含3个基本事件，所以蓝、白口罩同时被选中的概率为，故选：A.
8．从男生A、B、C和女生D、E五人中选出两人参加数学竞赛，写出事件“至少有一个女生”对应的样本空间．
【答案】
【解析】解：至少有一个女生包含的基本事件有，所以事件“至少有一个女生”对应的样本空间为.
9．已知集合，在集合A中可重复的依次取出三个数，则这3个数能够成为一个三角形三条边的概率是 .
【答案】
【解析】集合，在中可重复的依次取出三个数，，，基本事件有共有8个，“以，，为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数，分别为：，所以 “以，，为边长恰好构成三角形”的概率：，故答案为：.
10．抛掷两颗骰子，求：
(1)点数之和是4的概率；
(2)点数之和小于4的概率；
(3)点数差的绝对值为3的概率．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】解：（1）抛掷两颗骰子，基本事件的总数，点数之和为4包含的基本事件有：（1，3），（2，2），（3，1），共3个，所以点数之和为4的概率；
（2）点数之和小于4的包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），共3个，所以点数之和小于4的概率；
（3）点数差的绝对值为3的基本事件有：（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3），共6个，所以点数差的绝对值为3的概率.
考点三 概率的性质
11．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球” B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球” D．“都是红球”与“都是黑球”
【答案】D
【解析】从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果为：1红1黑 2红 2黑，对于A：“至少有1个红球”包括1红1黑 2红，与“都是黑球”是对立事件，不符合；对于B：“恰好有1个红球”和恰好有1个黑球”是同一个事件，不符合题意；对于C：“至少有1个黑球”包括1红1黑 2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑 2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意；对于D：“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，符合题意；故选：D.
12．已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ）
A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品
C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品
【答案】D
【解析】对于A项，恰好有1件次品和恰好有两件次品互为互斥事件，但不是对立事件；对于B项，至少有1件次品和全是次品可以同时发生，不是对立事件；对于C项，至少有1件正品和至少有1件次品可以同时发生，不是对立事件；对于D项，至少有1件次品即存在次品，与全是正品互为对立事件，故选：D.
13．已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则 .
【答案】
【解析】因为事件A、B互斥，，所以，又它们都不发生的概率为，所以，解得，所以，故答案为：.
14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，记事件两人下成和棋，事件乙获胜，事件甲获胜，则事件和事件为互斥事件，且事件与事件互为对立事件，所以，甲获胜的概率为，故选：C.
15．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因随机事件，互斥，则，依题意及概率的性质得，即，解得，所以实数的取值范围是，故选：C.
16．有3个两两互斥的事件A，B，C，已知事件是必然事件，事件A发生的概率是事件B发生的概率的2倍，事件C发生的概率比事件B发生的概率大0.2.分别求事件A，B，C发生的概率.
【答案】，，
【解析】解：设，则，，由题意知，解得，所以，，.
考点四 抽样方法
17．某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．其他抽样
【答案】C
【解析】由题意员工来自三个不同的部门，因此采取分层抽样方法较合适，故选：C．
18．关于简单随机抽样的特点,有以下几种说法,其中不正确的是　(　　)
A．要求总体中的个体数有限
B．从总体中逐个抽取
C．这是一种不放回抽样
D．每个个体被抽到的机会不一样,与先后顺序有关
【答案】D
【解析】简单随机抽样，除具有A、B、C三个特点外，还具有的特点：是等可能抽样，各个个体被抽取的机会相等，与先后顺序无关，选：D.
19．现要完成3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行卫生检查；②科技报告厅有座椅32排，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了观众，抽取32位进行座谈；③某中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了解教职工对校务公开方面的意见，抽取一个容量为20的样本进行调查（　　）
A．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样
B．①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样
C．①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样
D．①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样
【答案】A
【解析】对于①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样；②总体中的个体数较多，而且容易分成均衡的若干部分，选32人刚好32排，每排选一人，宜用系统抽样；③总体是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样，故选：A．
20．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是（　　 ）
A．6,4,8 B．6，6，6 C．5，6，7 D．4，6，8
【答案】A
【解析】某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一年级抽取人数是：186，高二年级抽取人数是：184，高三年级抽取人数是：188，故选：A．
21．从编号1，2，3，…，99的99个零件中，抽取一个样本容量为11的样本，按系统抽样的方法分为11组，若第一组中抽取的零件编号为3，则第三组中抽取的零件编号为 ．
【答案】21
【解析】因为有99个零件，分11组，所以每组有9个，因为第一组中抽取的零件编号为3，所以第三组抽取的零件编号为，故答案为：21.
考点五 统计图表
22．采用简单随机抽样抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70)
频数 2 3 x 5 y 2
已知样本数据在区间[20，40)内的频率为0.35，则样本数据在区间[50，60)内的频率为（ ）
A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20
【答案】D
【解析】由题意得，=0.35，解得x=4，则y=20-2-3-4-5-2=4，所求频率为=0.20，故选：D.
23．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20 000人中抽出200人做进一步调查，则月收入在[1 500，2 000)(单位：元)内的应抽取
人．
【答案】40
【解析】月收入在[1 500，2 000)内的频率为1－(0.000 2＋0.000 5×2＋0.000 3＋0.000 1)×500＝0.2，故应抽取200×0.2＝40(人)，故答案为：.
24．某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h），可以把这批电子元件分成第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：
使用 寿命
频数 30 20
频率 0.2 0.4
（1）求图2中A的值；
（2）补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；
（3）为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于内的产品中抽取5个作为样本，那么在内应抽取多少个？
【答案】（1）；（2）频率分布直方图答案见解析，阴影部分的面积为；（3）
【解析】（1）由题意可知，所以.
（2）
使用 寿命
频数 20 30 40 80 20 10
频率 0.1 0.15 0.2 0.4 0.1 0.05
补全后的频率分布直方图如图所示，
阴影部分的面积为.
（3）由分层抽样的性质，知在内应抽取.
考点六 样本的均值和标准差
25．某中学参加高中数学建模(应用)能力测试，高一年级有60人，高二年级有40人.高一的平均成绩为70分，高二的平均成绩为80分，则参加测试的100名学生的平均成绩为（ ）
A．72分 B．73分 C．74分 D．75分
【答案】C
【解析】由题意可得，参加测试的100名学生的平均成绩为，故选：C.
26．在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩(单位：分)分别为65，82，86，82，76，95．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是82 B．中位数是82 C．极差是30 D．平均数是82
【答案】D
【解析】A中，82出现的次数最多，所以众数是82，A正确；B中，把数据按大小排列为：65，76，82，82，86，95，中间两个数为82，82，所以中位数是82，B正确；C中，极差是95－65=30，C正确；D中，平均数，D错误，故选：D．
27．已知：，，…，的平均数为a．则，，…，的平均数是 .
【答案】
【解析】由题,所以，则，，…，的平均数:
，故答案为：．
28．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016
【答案】D
【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，剩余分数如下：9.4、9.4、9.6、9.4、9.7，平均值为；方差为，故选：D.知识点一：概率初步
1．随机试验
(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．
(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本点和样本空间
(1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．
(2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．
3．事件的分类
(1)随机事件：
①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．
②随机事件一般用大写字母，，，…表示．
③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．
(2)必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．
(3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．
4．古典概型
如果一个试验具有如下性质：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
称这样的为古典概率模型，简称古典概型．
5．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率，其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
6．频率与概率
(1)随机事件的频率
在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现,称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率.
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率.
由概率的定义可知：
(1)对于任意事件，都有；
(2)必然事件的概率为1，即；
(3)不可能事件的概率为0，即.
7．互斥事件
一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：，图示：.
8．对立事件
一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且，图示：.
9．互斥事件与相互独立事件的区别与联系
相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生， 即
概率公式 事件与相互独立等价于 事件与互斥， 则
知识点二：统计初步
1．统计的相关概念
全面调查(普查)、抽样调查
①全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查
②总体：调查对象的全体
③个体：组成总体的每一个调查对象
④抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法
⑤样本：从总体中抽取的那部分个体
⑥样本量：样本中包含的个体数
⑦样本数据：调查样本获得的变量值
2．简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
最常用的简单随机抽样方法是抽签法.
抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．
3．系统抽样
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
①先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；
②确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝，如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除；
③在第1段用简单随机抽样方法确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用系统抽样．
4．分层抽样
(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的．
5．统计图表
名称 概念
频数、 频率 将一批数据按要求分为若干个组,各组内数据的个数,叫作该组的频数.每组频数除以全体数据个数的商叫作该组的频率.频率反映该组数据在样本中所占比例的大小
样本的频率分布 根据随机所抽样本的大小,分别计算某一事件出现的频率,这些频率的分布规律(取值状况)就叫作样本的频率分布
极差 若一组数据的最小值为a,最大值为b,则b-a的差就叫作极差
组距 把所有数据分成若干组,每个小组的两个端点之间的距离称为组距
频率直方图的制作步骤：
(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)
(2)决定组距与组数
组距是指每个小组的两个端点之间的距离.为方便起见一般取等长组距，并且组距的选择应力求“取整”.极差、组距、组数有如下关系：
若为整数，则=组数；若不为整数，则[]+1=组数。
(3)将数据分组：通常对组内数据所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间。
(4)列频率分布表：统计各组数据的频数，计算频率，填入表格中，完成频率分布表。
(5)画频率直方图：画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高）表示频率与组距的比值。
在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1．
6．样本的均值和标准差
(1)众数，中位数，平均数
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或者最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)　．
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
(2)样本方差，样本标准差
标准差
s＝，其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是平均数．标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是样本标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．
考点一 随机试验
1．下列说法正确的是（ ）
A．随机现象至少有两种可能结果 B．随机现象必然会发生
C．样本空间所包含的样本点是有限的 D．射击一个目标除了命中和末命中外还有其他结果
2．采用抽签法从含有3个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，则所有可能的样本为______.
3．下列四个命题中真命题的个数为（ ）个
①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品；
②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是；
③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率；
④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为.
A． B． C． D．
4． 写出从集合任取两个元素构成子集的样本空间．
考点二 古典概型
5．下列试验是古典概型的为 ．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两枚骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
6．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．从男生A、B、C和女生D、E五人中选出两人参加数学竞赛，写出事件“至少有一个女生”对应的样本空间．
9．已知集合，在集合A中可重复的依次取出三个数，则这3个数能够成为一个三角形三条边的概率是 .
10．抛掷两颗骰子，求：
(1)点数之和是4的概率；
(2)点数之和小于4的概率；
(3)点数差的绝对值为3的概率．
考点三 概率的性质
11．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球” B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球” D．“都是红球”与“都是黑球”
12．已知件产品中有件正品，其余为次品.现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ）
A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品
C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品
13．已知事件与互斥，它们都不发生的概率为，且，则 .
14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
15．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．有3个两两互斥的事件A，B，C，已知事件是必然事件，事件A发生的概率是事件B发生的概率的2倍，事件C发生的概率比事件B发生的概率大0.2.分别求事件A，B，C发生的概率.
考点四 抽样方法
17．某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．其他抽样
18．关于简单随机抽样的特点,有以下几种说法,其中不正确的是　(　　)
A．要求总体中的个体数有限
B．从总体中逐个抽取
C．这是一种不放回抽样
D．每个个体被抽到的机会不一样,与先后顺序有关
19．现要完成3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行卫生检查；②科技报告厅有座椅32排，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了观众，抽取32位进行座谈；③某中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了解教职工对校务公开方面的意见，抽取一个容量为20的样本进行调查（　　）
A．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样
B．①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样
C．①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样
D．①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样
20．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是（　　 ）
A．6,4,8 B．6，6，6 C．5，6，7 D．4，6，8
21．从编号1，2，3，…，99的99个零件中，抽取一个样本容量为11的样本，按系统抽样的方法分为11组，若第一组中抽取的零件编号为3，则第三组中抽取的零件编号为 ．
考点五 统计图表
22．采用简单随机抽样抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70)
频数 2 3 x 5 y 2
已知样本数据在区间[20，40)内的频率为0.35，则样本数据在区间[50，60)内的频率为（ ）
A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20
23．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20 000人，并根据所得数据画出样本的频率直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20 000人中抽出200人做进一步调查，则月收入在[1 500，2 000)(单位：元)内的应抽取
人．
24．某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h），可以把这批电子元件分成第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：
使用 寿命
频数 30 20
频率 0.2 0.4
（1）求图2中A的值；
（2）补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；
（3）为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于内的产品中抽取5个作为样本，那么在内应抽取多少个？
考点六 样本的均值和标准差
25．某中学参加高中数学建模(应用)能力测试，高一年级有60人，高二年级有40人.高一的平均成绩为70分，高二的平均成绩为80分，则参加测试的100名学生的平均成绩为（ ）
A．72分 B．73分 C．74分 D．75分
26．在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩(单位：分)分别为65，82，86，82，76，95．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是82 B．中位数是82 C．极差是30 D．平均数是82
27．已知：，，…，的平均数为a．则，，…，的平均数是 .
28．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016

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