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六年级数学上册
重难点易错题之讲练测
第八单元 数学广角—数与形（知识梳理+能力百分练）
1、数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法,可以帮助理解计算方法,进行计算。
2、运用数形结合方法,可以探究数学规律,借此解决数学问题。
一、选择题（共16分）
1．用小棒按照如下方式摆图形，摆n个八边形需要（ ）根小棒。
A．8n B．8n－1 C．7n＋1 D．8（n－1）
2．照这样的规律接着画下去，第6个图形有（ ）个。
……
A．32 B．28 C．36 D．64
3．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是（ ）。
A．82 B． C． D．
4．已知：3×9＝27，3×99＝297，3×999＝2997，3×9999＝29997，那么：3×999999＝（ ）。
A．299997 B．3000007 C．2999997 D．29999997
5．如图，首先将平行四边形纸片剪成2个完全一样的等边三角形，然后将其中一个等边三角形剪成4个完全相同的小等边三角形，再把小等边三角形剪成4个完全相同的等边三角形，如此循环下去。剪4次后剪出（ ）个三角形。
A．11 B．13 C．15 D．17
6．如图，用同样的小棒摆正方形，照这样的摆法，摆第n个图形需要小棒（ ）根。
A．4n B．4n＋1 C．4n－1 D．3n＋1
7．如图，每个小三角形的边长是1cm，照这样的规律画下去，图⑧的周长是（ ）cm。
A．20 B．16 C．10 D．8
8．＋＋＋＋＋…＋＝（ ）。
A． B．1 C． D．无法计算
二、填空题（共16分）
9．找规律，如下图（单位：厘米），30个等腰梯形拼出的图形是( )，周长是( )厘米。
……
10．2000多年前，古希腊毕达哥拉斯学派曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类（如图），由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数。按照这样的规律，第9个图形有( )个小石子。
11．某机器有依次排列的5盏灯，每盏灯可发出红色的光（用■表示），不同位置上的灯光表示一个具体的数，下面是四种情况所表示的数。
根据。上面的规律，算出下面两种情况所表示的数。（直接填结果）
( )；( )。
12．按规律填数：1，3，7，13，21，31，( )，( )。
13．摆一摆，找规律。
……
摆第7个图形需要( )根小棒，摆第( )个图形需要31根小棒。
14．用小棒按下图的方式搭图形。按这样搭下去，第8个图形需要( )根小棒，搭第n个图形需要( )根小棒。
15．将一些小圆球如下图摆放，第9幅图中共有( )个小圆球。

16．4个边长为1cm小正方形组成图形。下面这一列图形由重叠而成。按这样的方式重叠，第（5）个图形的周长是( )cm。
三、判断题（共8分）
17．…＝1。( )
18．用小棒按下图搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用3n根小棒。( )
19．根据33×4＝132，333×4＝1332，3333×4＝13332，可知33333×4＝133332。( )
20．。( )
四、计算题（共12分）
21．（6分）计算。

22．（6分）你能有何发现？并用你的发现计算下面这道题。

五、作图题（共12分）
23．（6分）在方框里画○，应该怎样画？
24．（6分）按照图形的变化规律，接着画下去。
六、解答题（共36分）
25．（6分）观察下面的图形和表格：
三角形个数 1 2 3 4 …
小棒的根数 3 5 7 9 …
如果要摆100个三角形，需多少根小棒？要摆n个三角形呢？
26．（6分）如图，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDEF六个字母，其中A与D相对，B与E相对，C与F相对。现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向。沿着图中方格滚动。当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母？
27．（6分）农夫将苹果树种在正方形果园里。为了保护苹果树不被风吹，他在苹果树的周围种了一些针叶树。在下图中，你可以看到农夫种植苹果树的列数n和苹果树数量及针叶树数量的规律。
（1）请你分别用含有n的式子表示苹果树和针叶树的数量。
（2）当农夫种的苹果树列数为多少时，苹果树的数量会等于针叶树的数量？
28．（6分）已知规律如下图，
问：2013正下方是多少？
29．（6分）有下面一串分数：；，，；，，，，；，，，，，，……
（1）是第几个分数？
（2）第400个分数是几分之几？
30．（6分）计算32÷74的商，并求出商的小数点后第50位上的数是几？第100位上的数是几？第2003位上的数是几？
参考答案
1．C
【分析】根据图示发现：摆1个八边形需要小棒：8根；摆2个八边形需要小棒（8＋7）根；摆3个八边形需要小棒（8＋7＋7）根；……摆n个八边形需要小棒的根数是8＋7（n－1）。据此解答。
【详解】8＋7（n－1）
＝8＋7n－7
＝（7n＋1）根
摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。
故答案为：C
本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
2．B
【分析】分析题意，找出图形变化的规律：灰色小正方形的个数＝小正方形的总个数－白色小正方形的个数，小正方形的总个数和白色小正方形的个数分别利用正方形的面积公式计算求出，据此解答。
【详解】第1个图形有：32－12＝9－1＝8（个）
第2个图形有：42－22＝16－4＝12（个）
第3个图形有：52－32＝25－9＝16（个）
所以第6个图形有：82－62＝64－36＝28（个）
故答案为：B
数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
3．C
【分析】先计算1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1的结果，再分别计算各个选项中算式的结果，依此即可求解。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1
＝（1＋9）＋（3＋7）＋（5＋5）＋＋3＋1
＝10＋10＋10＋3＋1
＝20＋10＋3＋1
＝30＋3＋1
＝33＋1
＝34
A．82＝64，64≠34，不符合题意；
B．42＝16，16≠34，不符合题意；
C．52＋32
＝25＋9
＝34
34＝34，符合题意；
D．52－32
＝25－9
＝16
16≠34，不符合题意。
与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是52＋32。
故答案为：C
本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。
4．C
【分析】根据已知的算式可得积的规律：固定数字不变的是2、7；如果第二个因数9的个数是n个，那么在积的数字“2”和“7”的之间就排n－1个9；据此解答。
【详解】根据分析可得，
3×999999＝2999997；
故答案为：C。
主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。
5．A
【分析】根据题意，下一次剪会在上一个等边三角形的基础上剪分开，所以：
第1次剪，分成2个完全相同的等边三角形，共（1＋1）2个三角形；
第2次剪，将其中一个等边三角形分成4个完全相同的等边三角形，共（1＋4）5个三角形；
第3次剪，将把小等边三角形分成4个完全相同的等边三角形，共（1＋3＋4）8个三角形；
第4次剪，再将把小等边三角形分成4个完全相同的等边三角形，共（1＋3＋3＋4）11个三角形；
【详解】根据分析，第1次剪，共（1＋1）2个三角形；
第2次剪，共（1＋4）5个三角形；
第3次剪，共（1＋3＋4）8个三角形；
第4次剪，共（1＋3＋3＋4）11个三角形；
故答案为：A
此题考查了数与形的知识，关键要有一定想象力与规律总结能力。
6．D
【分析】观察图形可知：1个小正方形需要1＋1×3根小棒，2个小正方形需要1＋2×3根小棒，3个小正方形需要1＋3×3根小棒……，由此找出规律解答即可。
【详解】因为1个小正方形需要1＋1×3根小棒，2个小正方形需要1＋2×3根小棒，
3个小正方形需要1＋3×3根小棒……所以n个小正方形需要（3n＋1）根小棒。
故答案为：D
根据题干中特殊的例子，推理得出这组图形的一般规律，是解决此类问题的关键。
7．C
【分析】根据图示，图形①有3条边长是1cm的边；图形②有4条边长是1cm的边；图形③有5条边长是1cm的边；……所以第n个图形有（n＋2）条边长是1cm的边，据此解答即可。
【详解】8＋2＝10（厘米）
所以图⑧的周长是10厘米。
故答案为：C
本题考查了数与形结合的规律知识，结合题意分析解答即可。
8．C
【分析】＝1－，＝－，＝－，…，根据分数的加减法的关系和性质，将＋＋＋＋＋…＋进行简算即可。
【详解】＋＋＋＋＋…＋
＝1－＋－＋－＋－＋－＋…－
＝1－
＝
故答案为：C
本题考查了分数加减法的灵活应用，仔细观察，合理变形是解决本题的关键。
9． 平行四边形 92
【分析】1个是等腰梯形，2个等腰梯形拼出的图形是平行四边形，3个等腰梯形拼出的图形是等腰梯形，4个等腰梯形拼出的图形是平行四边形，5个等腰梯形拼出的图形是等腰梯形……奇数个等腰梯形拼出的图形是等腰梯形，偶数个等腰梯形拼出的图形是平行四边形；上底与下底的和是3厘米，1个等腰梯形的周长是5厘米，2个等腰梯形的周长是（5＋3）厘米，3个等腰梯形的周长是（5＋3×2）厘米，4个等腰梯形的周长是（5＋3×3）厘米，5个等腰梯形的周长是（5＋3×4）厘米……每增加一个等腰梯形就增加一个上下底的和，那么n个等腰梯形的周长是[5＋3×（n－1）]厘米，最后求出n＝30时式子的值，据此解答。
【详解】1＋2＝3（厘米）
1＋1＋1＋2＝5（厘米）
n个等腰梯形的周长为：5＋3×（n－1）
＝5＋3n－3
＝3n＋5－3
＝（3n＋2）厘米
当n＝30时。
3n＋2
＝3×30＋2
＝90＋2
＝92（厘米）
所以，30个等腰梯形拼出的图形是平行四边形，周长是92厘米。
本题主要考查数形结合思想的应用，观察图形找出梯形个数与组成图形周长的变化规律是解答题目的关键。
10．45
【分析】通过观察可看出，三角形石子的排列规律是：后一堆是在前一堆的下方添了连续的自然数个石子。三角形数的排列是：1，3，6，10 规律是1，1＋2，1＋2＋3，1＋2＋3＋4 。 照此规律可求得第9个三角形数。
【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9
＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋5
＝10＋10＋10＋10＋5
＝40＋5
＝45（个）
则第9个图形有45个小石子。
本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
11． 28 11
【分析】根据题意可知，因为表示1，表示2，表示1＋2＋4，所以表示4；因为表示1＋4＋16，所以表示16；据此可知，每个正方形表示前一个正方形的2倍，所以表示8。据此推出和即可。
【详解】根据分析可知，
表示4，
表示8，
表示16，
所以表示4＋8＋16＝28
表示1＋2＋8＝11
本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
12． 43 57
【分析】根据题意可知，1＝1，3＝1＋2，7＝1＋2＋4，13＝1＋2＋4＋6，21＝1＋2＋4＋6＋8，31＝1＋2＋4＋6＋8＋10，据此可知下一个数比31多加12，也就是43，再下一个数比43多加14，以此类推。
【详解】31＋12＝43
43＋14＝57
1，3，7，13，21，31，43，57。
通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。
13． 22 10
【分析】观察图形可知，第一个图形需要4根小棒，第一个图形需要7根小棒，第三个图形需要10根小棒，第四个图形需要13根小棒，则每增加一个正方形需要增加3根小棒，则摆n个图形需要（3n＋1）根小棒。
【详解】摆第7个图形需要小棒的根数：
3n＋1＝3×7＋1
＝21＋1
＝22
3n＋1＝31
解：3n＋1－1＝31－1
3n＝30
3n÷3＝30÷3
n＝10
则摆第7个图形需要22根小棒；摆第10个图形需要31根小棒。
本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律完成题目是解题的关键。
14． 41 5n＋1
【分析】由图可知，第一个图形有6根小棒，第二个图形有11根小棒，第三个图形有16根小棒，由此可知，相邻两个图形之间小棒的个数的差为5，则搭第n个图形需要小棒的根数为：6＋5（n－1）＝（5n＋1）根。
【详解】第8个图形需要小棒的根数为：
5n＋1
＝5×8＋1
＝40＋1
＝41（根）
则第8个图形需要41根小棒，搭第n个图形需要（5n＋1）根小棒。
本题是一道关于图形变化规律型的，关键在于通过题中图形的变化情况，通过归纳与总结找出普遍规律求解即可。
15．81
【分析】由图可知，第1个图形有1个小圆球，第2个图形有（1＋3）个小圆球，第3个图形有（1＋3＋5）个小圆球，第4个图形有（1＋3＋5＋7）个小圆球……以此类推，第n个图形小圆球的个数等于从1开始连续n个奇数的和，从1开始连续n个奇数的和等于奇数个数的平方，据此解答。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝92＝81（个）
所以，第9幅图中共有81个小圆球。
本题主要考查数形结合思想的应用，找出小圆球个数的变化规律是解答题目的关键。
16．24
【分析】观察图形可知，第1个图形的周长为8cm，第2个图形的周长为12cm，第3个图形的周长为16cm，由此可知相邻的两个图形之间的周长的差为4，则第4个图形的周长为16＋4＝20cm，第5个图形的周长为20＋4＝24cm。
【详解】16＋4＝20（cm）
20＋4＝24（cm）
则第（5）个图形的周长是24cm。
本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
17．√
【分析】根据算式可知，后面一个数是前一个数的，如果把一条线段看作1，先取它的一半表示，再取余下的一半的一半表示，这样不断地取下去，最终相当于取了整条线段。所以…＝1，据此解答即可。
【详解】…＝1，说法正确；
故答案为：√。
本题采用了数形结合的思想，使题目形象化，再利用极限思想得到结果。
18．×
【分析】根据题图可知，每增加1个三角形小棒就增加2根，当搭n个三角形时，需要的小棒个数为3＋2（n－1）＝（2n＋1）根，据此解答即可。
【详解】用小棒搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用（2n＋1）根小棒，原题说法错误；
故答案为：×
明确每增加1个三角形就增加2根小棒是解答本题的关键，进而总结出规律。
19．√
【分析】根据观察知：第2个因数都是4，其结果最高位都是1、最低位都是2、中间都是3，3的个数比第一个因数中3的个数少1，据此解答。
【详解】33×4＝132
333×4＝1332
3333×4＝13332
可知：33333×4＝133332
故答案为：√
找出算式中各个因数的变化规律是解题的关键。
20．×
【分析】因为＝－；＝－；＝－；＝－；把原式中每个加数化成两个数的差，再加起来，加减抵消，进行简算即可。
【详解】
故答案为：×
考查了分数的拆项公式的运用。
21．68；
【分析】（1）先把第二组乘法中的34分解成17×2，然后交换分子19和整数17的位置，这样出现与第一组乘法相同的因数，根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算；
（2）观察算式，发现从第二个数开始，每个数是前一个数的；一个一个加下去发现：，，，……规律：等号右边分数的分子比分母只少1，只需加上最后一个分数，和就是1，再减去加上的这个分数，即是原题的结果。
【详解】（1）
（2）
22．；（发现见详解）
【分析】（1）小题，因为；；即每一个数字都等于两个连续自然数的倒数之差，且拆项后，刨出去第一个数字1，剩下的分数都能抵消。所以，可利用拆项的方法计算；
（2）小题，；；即从第二个分数起，每个分数都能拆成两个分数的和，且拆项后，从整个式子的第一个分数起，奇数个与它后面偶数个位置的分数都能凑成整数1，这样一来，使计算简便。
【详解】由分析得：
我的发现：
（1）即每一个数字都等于两个连续自然数的倒数之差，且拆项后，刨出去第一个数字1，剩下的分数都能抵消。
（2）即从第二个分数起，每个分数都能拆成两个分数的和，且拆项后，从整个式子的第一个分数起，奇数个与它后面偶数个位置的分数都能凑成整数1。
这两道题，一个是可以拆成分数之差；一个可以拆成分数之和。正是利用这种特殊的结构来达到简算的目的。
23．
【分析】通过观察可以发现：
第1个图形每行有2个○，有2行，则一共有2×2＝4个○；
第2个图形每行有3个○，有3行，则一共有3×3＝9个○；
第4个图形每行有4个○，有4行，则一共有4×4＝16个○；
……
第n个图形每行有n个○，有n行，则一共有n×n＝个○；
将具体数据代入算式即可求出n的值，进而解答此题。
【详解】第5个图形每行有5个○，有5行，则一共有5×5＝25个○，所以图形如下：
解决此题的关键是观察所给的图形，通过图形的变化找出规律，根据规律解决问题。
24．
【分析】通过观察图形的变化可知，四个方格中的图形按顺时针依次旋转，然后图形自身也在顺时针旋转，由此即可解答。
【详解】由分析可绘图如下：
此题主要考查学生对图形变化规律的认识与应用，仔细观察，分析出规律是解题的关键。
25．201根，（2n＋1）根
【详解】略
26．A
【分析】从开始到5，向左翻转了4次，各字母的位置不变；从5向下翻转4次到9，各字母的位置不变；从9向右翻转4次到中间转弯处，各字母的位置不变；从中间转弯处到下面转弯处，又翻转了4次，各字母的位置不变；从下面转弯处到21，向左翻转4次，各字母的位置不变。
【详解】整个滚动过程是向左滚动4次、向下滚动4次、向右滚动4次、向下滚动4次、向左滚动4次，因为每次都是沿正方体一个的一个侧面滚动，正方体有4个侧面，字母的位置不变，因此，当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母是A。
关键是明白正方体沿一个侧面向任何一方滚动4次，各字母的位置不变。此题动手可操作一下，既解决问题又锻炼了动手操作能力。
27．（1）n2；8n；（2）8
【分析】（1）观察图形可以发现，苹果树的数量为相应序号的平方，再求出各个图形中针叶树的棵树，用n表示出来即可；
（2）找出规律之后列出等式，解出方程即可。
【详解】（1）苹果树棵数：n2；针叶树棵数：8n
（2）n2＝8n
n（n－8）＝0
n1＝8，n2＝0
n＞0，n＝0不合题，舍去。
n＝8
答：当农夫种的苹果树列数为8时，苹果树的数量会等于针叶树的数量。
这是一道找规律的题目，需要明确苹果树的数量，针叶树的数量与苹果树的列数的关系。
28．2076
【分析】由题意可知：
第几行就有几个数字，第n行就有n个数字，那么前n行共有1+2+3+…+n=n（n+1）÷2个数字，而63×64÷2=2016，所以2013在第63行，那么前62行共有62×（62+1）÷2=1955，所以第63行第一个数字是1996，2013在第63行第60个数字，而第64行是从2017开始，那么第60个数字是2076，据此解答即可．解答本题的关键是正确理解其中的规律，进而找出2013所在的行，所在行中的第几个数字，确定下一行从几开始即可．
【详解】因为：
63×64÷2=2016
所以2013在第63行第60个数字
而第64行是从2017开始，那么第60个数字是2076
答：2013正下方是2076．
29．（1）第88个和第94个 （2）
【详解】略
30．3；4；3
【分析】用循环小数表示出这个商，然后看循环节有几个数字，这几个数字是依次不断重复出现的，把这几个数字看作一组。用数位除以每组的数字个数，求出商和余数，余数是几，说明最后一位数字就与每组中的第几个数字相同。
【详解】32÷74＝0.432432…
50÷3＝16……2
所以商的小数点后第50位上的数是3。
100÷3＝33……1
所以商的小数点后第100位上的数是4。
2003÷3＝667……2
所以商的小数点后第2003位上的数是3。
答：小数点后第50位上的数是3，第100位上的数是4，第2003位上的数是3。
本题考查循环小数、探索规律，解答本题的关键是找到循环节。

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