资源简介

六年级数学上册
重难点易错题之讲练测
第五单元 圆（知识梳理+能力百分练）
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心，一般用字母О表示，它到圆上任意一点的距离都相等；
半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示，把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径；
直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示，直径是一个圆内最长的线段。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。直径的长度是半径的2倍。
3、圆规画圆的步骤。
(1)把圆规的两只脚分开，定好两只脚之间的距离；
(2)把带针尖的脚固定在一个点上；
(3)把装铅笔的脚绕着这个点旋转1圈，就画出了一个圆。
4、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。任意一个圆的周长与它的直径的比值都是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母w表示。圆的周长计算公式C=Πd=2Πr。
5、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。圆的面积计算公式：S=Πr2。
6、环形的面积：S环=Π(R2-r2)
7、圆上任意两点之间的部分叫做弧。
8、扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。在扇形中，顶点在圆心的角叫做圆心角。
一、选择题（共16分）
1．在一块长10分米，宽5分米的长方形铁板上，最多能截取（ ）个直径是2分米的圆形铁板。
A．8 B．9 C．10 D．12
2．把一个半圆平均分成8份，然后剪开拼成一个近似的长方形，这个转化过程中，（ ）。

A．周长和面积都变了 B．周长不变，面积变了
C．周长变了，面积没变 D．周长和面积都没变
3．大、小两圆的半径分别是10厘米和6厘米，则大、小两圆的面积比是（ ） 。
A．5∶3 B．10∶6 C．25∶9 D．无法确定
4．我国空间站的运行高度离地面约400千米，已知地球的半径约为6400千米，那么我国空间站运行的圆形轨道长度是（ ）。
A．20096 B．21352 C．40192 D．42704
5．下面三个正方形的边长都是4厘米，三个正方形中阴影部分的面积相比较，（ ）。

A．图①最大 B．图②最大 C．图③最大 D．同样大
6．如图，两个大圆的面积相等，关于两个图形中阴影部分的说法正确的是（ ）。
A．周长相等，面积也相等。 B．周长不相等，面积相等。
C．周长相等，面积不相等。 D．周长不相等，面积也不相等。
7．一个圆环的内圆直径是18cm，环宽2cm，它的面积是（ ）。
A．12.56 B．5338 C．59.66 D．125.6
8．一个正方形与这个正方形中最大的圆的周长的比是（ ）。
A．2∶π B．4∶π C． D．
二、填空题（共16分）
9．大圆半径是小圆半径的2倍，那么大圆的面积是小圆面积的( )倍。
10．如图，正方形的内部有一个四分之一圆（涂色部分），已知正方形的面积是20平方厘米，涂色部分的面积是( )平方厘米。

11．下图是丽丽用圆规画的心形祝福卡设计图，她想在“心形”边线处贴上一圈金丝线。现有35 cm长的金丝线，贴一圈( )。（填“够用”或“不够用”）
12．钟面上长度为8厘米的分针，经过小时，它扫过的面积是( )平方厘米，它的针尖经过的路程是( )厘米。
13．一个圆形水池的半径是10米，如果在水池周围栽树，每两棵树之间的距离是1.57米，可以栽( )棵树。
14．时针从“12”开始，顺时针旋转( )°到“3”；分针从“6”开始，顺时针旋转150°到“( )”。
15．把一个圆平均分成若干份，正好可以拼成宽为4cm的长方形，这个长方形的长是( )cm，原来圆的面积是( )cm2。
16．一个长方形的周长是120厘米，长和宽比是3∶2。这个长方形的面积是( )平方厘米，从这个长方形中剪一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米。
三、判断题（共8分）
17．直径是圆里最长的线段，半径是圆内最短的线段。( )
18．半径是2cm的圆，它的周长和面积相等。( )
19．下图内圆半径是3dm，外圆半径是5dm，这个环形的面积可以用3.14×（52－32）来计算。( )

20．一个扇形的圆心角不变，半径越大，弧就越长。( )
四、计算题（共12分）
21．（6分）求阴影部分的面积。（单位：cm）
22．（6分）求出涂色部分的面积。（单位：cm）
五、作图题（共6分）
23．（6分）以点0为圆心，在长方形中画出最大的圆，并画出整个图形的所有对称轴。
六、解答题（共42分）
24．（6分）公园有一个圆形花坛，量得它的周长是50.24米，要在花坛的四周铺一条宽1米的小路，这条小路的面积是多少平方米？另在小路的外围围一圈栏杆，需要栏杆多少米？
25．（6分）一个圆形花坛的直径是12米，现沿花坛的周围修一条宽为1米的小路，小路的面积是多少平方米？（只列综合算式不计算）
26．（6分）下图是某公园的一块草坪，已知每平方米草皮5元。
（1）绕着这块草地走1圈的路程是多少米？
（2）若草坪种满这种草皮则需要多少钱？
27．（6分）一个半径为20米的圆形喷水池，在它周围修一条宽1米的环形花带，如果每平方米植花25棵，每棵成本为4元，这条环形花带共需投资多少元？
28．（6分）“节能低碳，绿色出行”，李老师骑自行车上班，他家到学校的路程是4.5千米，自行车车轮儿的外直径约是0.75米（28型自行车），平均每分钟转100圈。照这样的速度，李老师到学校需要骑这辆自行车约多少分钟？（取3）
29．（6分）海边公园中心有一个圆形喷水池，半径是10米，要在水池周围修一条2米宽的小路，小路的面积是多少平方米？
30．（6分）一个圆形喷泉周长是50.24米，现计划在喷泉的外围铺一条2米宽的环形鹅卵石路，如果每平方米需用鹅卵石50千克，一共需多少千克鹅卵石？
参考答案
1．C
【分析】根据题意，先确定长方形的长可以截取几个圆，宽可以截取几个圆，即长、宽里面各有几个2分米，用除法计算，再把长、宽可以截取的圆的个数相乘即可求解。
【详解】10÷2＝5（个）
5÷2＝2（个） 1（分米）
5×2＝10（个）
即最多能截取10个直径是2分米的圆形铁板。
故答案为：C
掌握求长方形里最多截取圆的个数的方法是解题的关键。
2．D
【分析】将一个半圆平均分成8份，剪开拼成一个近似长方形，两者面积相等；将半圆的半径记作r，半圆的周长是＝，此时长方形的宽等于半圆的半径r，长方形的长等于与半圆半径相同的圆的周长一半的一半，是＝，所以长方形的周长是＝，所以半圆的周长与剪拼成的近似长方形的周长相等，因此在转化的过程中周长和面积都没变。
【详解】将一个半圆平均分成8份，剪开拼成一个近似长方形，因此两者面积相等；
半圆的周长：＝
长方形的长：＝
所以长方形的周长：＝
所以半圆的周长与剪拼成的近似长方形的周长相等。
故答案为：D
本题考查了长方形的周长公式以及半圆的周长公式。
3．C
【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，据此分别求出大、小两圆的面积，进而求出它们的比。
【详解】102π∶62π
＝100π∶36π
＝100∶36
＝（100÷4）∶（36÷4）
＝25∶9
则大、小两圆的面积比是25∶9。
故答案为：C
本题考查圆的面积，结合比的意义是解题的关键。
4．D
【分析】根据地球的半径约为6400千米，空间站的运行高度离地面约400千米，可知空间站运行的圆形轨道的半径：6400＋400＝6800千米；根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。
【详解】空间站运行的圆形轨道半径：6400＋400＝6800（千米）
空间站运行的圆形轨道长度：2×3.14×6800
＝6.28×6800
＝42704（千米）
故答案为：D
本题主要考查圆的半径和圆周长公式的灵活运用，主要是熟记公式。
5．D
【分析】利用圆的面积公式：S＝r2，分别计算各阴影部分的面积，比较即可得出结论。
【详解】图①：3.14×42÷4
＝3.14×4×（4÷4）
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
图②：3.14×（4÷2）2
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
图③：3.14×（4÷2÷2）2×4
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
所以三个图形的阴影部分面积相等。
故答案为：D
本题主要考查阴影部分的面积，关键利用圆的面积公式计算。
6．A
【分析】根据图可知：第一个图片阴影部分周长等于两个小圆的周长加上大圆的周长的一半，通过割补法，阴影部分的面积正好等于大圆的面积的一半；
第二个图片阴影部分周长等于两个小圆的周长加上大圆的周长的一半；同样通过割补法，阴影部分的面积正好等于大圆的面积的一半；由此即可比较。
【详解】根据分析得，两个图形中阴影部分的周长相等，面积也相等。
故答案为：A
本题主要考查含有圆的图形的阴影部分周长和面积的计算方法，通过割补法，巧妙求解阴影部分的周长和面积。
7．D
【分析】此题实际上是求圆环的面积，圆环的面积＝π（R2－r2），根据内圆直径和环宽，可以求出外圆半径是：18÷2＋2＝11cm，据此代入数据即可解答。
【详解】18÷2＝9（cm）
9＋2＝11（cm）
3.14×（112－92）
＝3.14×（121－81）
＝3.14×40
＝125.6（cm2）
它的面积是125.6cm2。
故答案为：D
此题考查圆环的面积公式的计算应用，关键是求出外圆的半径。
8．B
【分析】正方形中最大的圆的半径是正方形的边长的一半，设正方形的边长为a，则正方形的周长为4a，圆的周长为a，写出对应的比，化简即可。
【详解】设正方形的边长为a，则正方形的周长为4a，圆的周长为a
所以正方形周长与正方形中最大圆的周长的比是：4a∶a＝4∶
故答案为：B
关键是知道正方形中最大的圆的半径是正方形的边长的一半，再利用正方形的周长公式与圆的周长公式解决问题。
9．4
【分析】假设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r，根据圆的面积公式S＝πr2，分别表示出大圆和小圆的面积，再用大圆的面积除以小圆的面积即可求解。
【详解】假设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r，
小圆的面积为：πr2，
大圆的面积为：π×（2r）2
＝π×4 r2
＝4πr2
4πr2÷（πr2）＝4
那么大圆的面积是小圆面积的4倍。
灵活掌握圆的面积公式是解答本题的关键。
10．15.7
【分析】正方形边长＝四分之一圆的半径，正方形面积＝边长×边长＝边长2；涂色部分的面积＝πr2÷4，据此列式计算。
【详解】3.14×20÷4＝15.7（平方厘米）
涂色部分的面积是15.7平方厘米。
关键是理解正方形和四分之一圆之间的关系，掌握并灵活运用正方形和扇形面积公式。
11．不够用
【分析】这个心形刚好可以拼成两个完整的圆，求出一个圆的周长，乘2即可，圆的周长＝2πr，据此求出心形周长，与金丝线长度比较即可。
【详解】2×3.14×3×2
＝18.84×2
＝37.68（cm）
37.68＞35
现有35 cm长的金丝线，贴一圈不够用。
关键是掌握并灵活运用圆的周长公式。
12．
【分析】分针1小时绕钟面旋转一周，分针小时扫过的面积是以分针长度为半径圆的面积的，针尖经过的路程是以分针长度为半径圆的周长的，利用“”和“”分别求出分针扫过的面积和针尖经过的路程，据此解答。
【详解】
＝
＝（平方厘米）
＝
＝（厘米）
所以，它扫过的面积是平方厘米，它的针尖经过的路程是厘米。
熟练掌握圆的周长和面积的计算公式是解答题目的关键。
13．40
【分析】先根据“”求出圆形水池的周长，在封闭图形上面植树，棵数等于间隔数，根据“棵数＝总长÷间距”求出植树棵数，据此解答。
【详解】2×3.14×10÷1.57
＝6.28×10÷1.57
＝62.8÷1.57
＝40（棵）
所以，可以栽40棵树。
掌握圆的周长计算公式和植树问题的解题方法是解答题目的关键。
14． 90 11
【分析】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆心角是：360°÷12＝30°，每两个相邻数字间的夹角是30°，即指针从一个数字走到下一个数字时，绕中心轴旋转了30°，钟面上时针从“12”开始，旋转了3个数字，即顺时针旋转3×30°＝90°，此时指向数字“3”；分针从“6”开始，顺时针旋转150°÷30°＝5个数字，据此解答。
【详解】360°÷12＝30°
3×30°＝90°
时针从“12”开始，顺时针旋转90°到“3”；
150°÷30°＝5（个）
6＋5＝11
分针从“6”开始，顺时针旋转150°到“11”。
关键是弄清在钟面上指针从一个数字走到下一个数，绕中心旋转了多少度。
15． 12.56 50.24
【分析】已知把一个圆剪拼成一个近似的长方形，那么长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径；根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。
【详解】2×3.14×4÷2＝12.56（cm）
3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（cm2）
这个长方形的长是12.56cm，原来圆的面积是50.24cm2。
本题考查圆的面积公式推导过程的应用，明确把一个圆剪拼成一个近似长方形时，长方形的长、宽与圆的周长、半径的关系是解题的关键。
16． 864 452.16
【分析】（1）已知长方形的周长是120厘米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长方形的长、宽之和＝周长÷2，又已知长和宽比是3∶2，即长占3份，宽占2份，一共是（3＋2）份；用长、宽之和除以（3＋2）份，求出一份数，再用一份数分别乘长、宽的份数，即可求出长方形的长、宽；然后根据长方形的面积＝长×宽，求出这个长方形的面积。
（2）从这个长方形中剪一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可求出这个圆的面积。
【详解】（1）长、宽之和：120÷2＝60（厘米）
一份数：
60÷（3＋2）
＝60÷5
＝12（厘米）
长：12×3＝36（厘米）
宽：12×2＝24（厘米）
长方形的面积：36×24＝864（平方厘米）
（2）圆的面积：
3.14×（24÷2）2
＝3.14×144
＝452.16（平方厘米）
这个长方形的面积是864平方厘米；从这个长方形中剪一个最大的圆，圆的面积是452.16平方厘米。
（1）先根据长方形的周长公式求出长、宽之和，再把长、宽的比看作份数，求出一份数，进而求出长方形的长、宽，然后根据长方形的面积公式解答。
（2）明确长方形内最大的圆的直径等于长方形的宽，然后根据圆的面积公式解答。
17．×
【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径．通过直径的定义可知，在一个圆中，圆内最长的线段是直径；圆内还有比半径更短的线段，并不存在最短的线段。据此解答。
【详解】在圆中，只有经过圆心并且两端在圆上的线段才是最长的，通过直径的定义可知：在一个圆中，圆内最长的线段是直径；圆内不存在最短的线段。所以原题说法错误。
故答案为：×
此题的解题关键是理解掌握圆的概念及特征。
18．×
【分析】围成圆的曲线的长度叫作圆的周长“”，围成圆的平面的大小叫作圆的面积“”，圆的周长和面积的意义不同，单位不同，二者不能比较大小，据此解答。
【详解】2×3.14×2
＝6.28×2
＝12.56（cm）
3.14×22＝12.56（cm2）
所以，圆的周长是12.56cm，面积是12.56cm2，二者单位不相同，所以它的周长和面积不能比较大小。
故答案为：×
本题主要考查圆的周长和面积，计量单位不相同时，二者不能比较大小。
19．√
【分析】根据圆环面积＝π（R2－r2），进行分析。
【详解】3.14×（52－32）
＝3.14×（25－9）
＝3.14×16
＝50.24（dm2）
这个环形的面积可以用3.14×（52－32）来计算，说法正确。
故答案为：√
关键是掌握并灵活运用圆环面积公式。
20．√
【分析】根据弧长＝2πr×，可知弧长不仅与半径长度有关，还与它所对的圆心角的度数大小有关。一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一（0除外），积也扩大到原来几倍或缩小到原来的几分之一；据此解答。
【详解】根据分析可知，一个扇形的圆心角不变，半径越大，弧就越长。此说法正确。
故答案为：√
此题考查了弧长公式的灵活应用。
21．3.44cm2
【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。
【详解】正方形的面积：4×4＝16（cm2）
圆的面积：
3.14×42×
＝3.14×16×
＝12.56（cm2）
阴影部分的面积：
16－12.56＝3.44（cm2）
阴影部分的面积是3.44cm2。
22．3.14cm2
【分析】观察图形可知，涂色部分的面积＝左边正方形的面积＋圆的面积－空白三角形的面积；
其中正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算求解。
【详解】正方形的面积：
2×2＝4（cm2）
圆的面积：
×3.14×22
＝×3.14×4
＝3.14（cm2）
三角形的面积：
4×2÷2＝4（cm2）
涂色部分的面积：
4＋3.14－4＝3.14（cm2）
涂色部分的面积是3.14cm2。
23．见详解
【分析】长方形有2条对称轴，分别是两组对边中点所在的直线，长方形中最大的圆是以宽为直径的圆，由此以长方形两条对称轴的交点为圆心，以宽为直径画圆，由此即可解决问题。
【详解】以长方形两条对称轴的交点为圆心，以宽为直径画圆可画出符合题意的图形如下：
抓住长方形对称轴的特点和长方形内最大圆的特点，确定这个圆的圆心为两条对称轴的交点，是解决本题的关键。
24．53.38平方米；56.52米
【分析】小路的形状是个圆环，根据“”求出花坛的半径，即内圆半径，内圆半径＋路宽＝外圆半径，根据“”求出小路的面积，最后利用“”求出栏杆的长度，据此解答。
【详解】50.24÷3.14÷2
＝16÷2
＝8（米）
8＋1＝9（米）
3.14×（92－82）
＝3.14×（81－64）
＝3.14×17
＝53.38（平方米）
2×3.14×9
＝6.28×9
＝56.52（米）
答：这条小路的面积是53.38平方米，需要栏杆56.52米。
熟练掌握并灵活运用圆环的面积和圆的周长公式是解答题目的关键。
25．3.14×[（12÷2＋1）2－（12÷2）2]
【分析】根据题意可知，小路的面积是环形面积，根据环形面积公式：S＝（R2－r2），把数据代入公式解答。
【详解】3.14×[（12÷2＋1）2－（12÷2）2]
＝3.14×[（6＋1）2－62]
＝3.14×[72－36]
＝3.14×[49－36]
＝3.14×13
＝40.82（平方米）
答：小路的面积是40.82平方米。
此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
26．（1）141.4米
（2）4285元
【分析】（1）半径为20÷2＝10m。绕着这块草地走1圈的路程＝圆的半径×π＋长方形的宽×2＋半径×2；
（2）若草坪种满这种草皮需要的总价＝单价×数量；其中，数量＝π×半径2÷2＋长×宽。
【详解】（1）3.14×10＋35×2＋20
＝31.4＋70＋20
＝101.4＋40
＝141.4（米）
答：绕着这块草地走1圈的路程是141.4米。
（2）3.14×102÷2＋20×35
＝314÷2＋700
＝157＋700
＝857（平方米）
857×5＝4285（元）
答：若草坪种满这种草皮则需要4285元钱。
本题考查圆的周长和面积，解答本题的关键是掌握圆的周长和面积计算公式。
27．12874元
【分析】根据求环形面积的公式，外圆面积－内圆面积＝环形面积，已知内圆半径是20米，环宽是1米，先求出外圆半径，再利用环形面积计算公式“”，求出环形花带的面积；用环形花带的面积乘每平方米植花的数量，得到植花的总数量，再乘每株的单价，即得到一共投资多少钱.
【详解】20＋1＝21（米）
3.14×（212－202）
＝3.14×（441－400）
＝3.14×41
＝128.74（平方米）
128.74×25×4＝12874（元）
答：这条环形花带共需投资12874元。
此题属于有关圆的应用题，解题本题的关键是掌握圆环面积的求解方法以及总价、单价、数量三者之间的关系。
28．20分钟
【分析】首先根据圆的周长公式： ，把数据代入公式求出自行车车轮的周长，用车轮的周长乘每分钟转的圈数，求出每分钟骑行的速度；然后根据“时间＝路程÷速度”，列式解答即可。
【详解】4.5千米＝4500米
4500÷（0.75×3×100）
＝4500÷（2.25×100）
＝4500÷225
＝20（分钟）
答：李老师到学校需要骑这辆自行车约20分钟。
此题主要考查圆的周长公式的灵活应用，以及路程、速度、时间三者之间的关系及应用。
29．138.16平方米
【分析】根据题意可知，小路的形状是个圆环，已知小圆的半径，确定大圆的半径，根据圆环的面积“”，列式解答即可。
【详解】10＋2＝12（米）
3.14×（122－102）
＝3.14×（144－100）
＝3.14×44
＝138.16（平方米）
答：小路的面积是138.16平方米。
关键是掌握并灵活运用圆环面积公式。
30．5652千克
【分析】先利用圆的周长公式求出内圆的半径为8米，环宽为2米，用内圆的半径加2米，求出外圆的半径，再根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），把数据代入公式求出这条路的面积，最后再乘每平方米用鹅卵石的质量即可。
【详解】50.24÷3.14÷2＝8（米）
8＋2＝10（米）
3.14×（102－82）×50
＝3.14×（100－64）×50
＝3.14×36×50
＝113.04×50
＝5652（千克）
答：一共需5652千克鹅卵石。
此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

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