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旋转杂技表演
“咚咚哐、咚咚哐，”随着阵阵锣鼓声,几何城中在进行晚会。在高大的舞台上,竖立着一根根又高又大的柱子,柱子旁边有各种各样的图形“各位观众,你们好!”主持小姐走到舞台前,用清脆的声音向大家说,“旋转杂技表演现在开始!”
话音刚落,在舞台的中央,排出了一列被隐藏了半边的图形:怎么全是半个图形呀 ”有的观众议论。
“咚咚哐!”又一阵锣鼓声响,随着动听的音乐,舞台上的半个图形,全部都旋转起来奇迹出现了,原来,台上的半个图形,一旋转,就变成了美丽的立体图了:“真好看啊!”大家情不自禁地鼓起掌来“你们看,长方形绕它的一条边旋转周,就成为圆柱了。”“直角三角形绕一条直角边旋转一周,就形成了圆锥!”“哈哈!旋转杂技真有趣啊!”“圆的一半以直径为轴旋转一周就成球形了。”“还有花瓶啊，”大家边议论边欣赏,台上台下一片欢腾。
1．圆柱的特征
【知识点归纳】
圆柱就是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的．它的底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面．
2．圆柱的展开图
【知识点归纳】
圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高．
3．圆柱的侧面积、表面积和体积
【知识点归纳】
圆柱的侧面积＝底面的周长×高，用字母表示：
S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh
圆柱的底面积＝πr2
圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，用字母表示：
S表＝2πr2+2πrh
圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示：
V＝πr2h．
例1：水运是世界上最省力的木材运输方法，伐木工人将采伐的木材并排捆扎在一起，利用木材的浮力和水流的动力运输木材，从而节约成本。如图，把8根直径约为1米的圆木用铁丝紧紧地并排捆扎在一起，像这样前、后各捆1圈一共要用铁丝多少米？（接头处忽略不计）
【分析】由图可知铁丝紧紧地捆绑一圈，最左边和最右边各一个半圆，上面的铁丝是7个直径，下面的铁丝是7个直径，所以总的长度实际上是由一个圆的周长加上14个直径的长度，前、后各捆1圈是2圈，再乘2即可得解。
【解答】解：3.14×1＝3.14（米）
[3.14+1×（7+7）]×2
＝（3.14+14）×2
＝17.14×2
＝34.28（米）
答：像这样前、后各捆1圈一共要用铁丝34.28米。
此题考查了学生的观察能力以及求圆的周长的方法。
练习1：
1．今天是红红的生日，同学们送给她一个大蛋糕，蛋糕是圆柱形的．服务员阿姨说要配上十字形的丝带才漂亮．你知道至少要多长的丝带才合适吗？（打结处要10 dm）
2．转动长方形ABCD．形成右边的两个圆柱，说一说它们分别是以长方形的哪条边为轴旋转形成的？底面半径和高分别是多少？
一个圆柱形饮料罐的底面直径是8cm，高是12cm，把12罐这种饮料放在长方体箱子里，放两层，从内部量这个箱子的长、宽、高分别是多少？你能写出两种不同的答案吗？
例题2：有一个圆柱形无盖铁皮水桶，底面半径是2dm，高是4dm．用这个铁皮水桶装了一些水，水的高度是桶高的．
（1）做这个水桶需要铁皮多少平方分米？
（2）把这些水倒入下面这个长方体玻璃鱼缸中，水面的高度是多少分米？（得数保留一位小数）
【分析】（1）做一个圆柱形无盖铁皮水桶，需要多少平方分米铁皮，只需要计算侧面积加一个底的面积即可，底面积等于3.14乘半径的平方，侧面积等于底面周长乘高，然后相加即可；
（2）桶内水的高度占桶高度的，求这个桶盛多少升水就是求这个桶的容积是多少，用底面积乘水高再乘列式计算即可算出有多少立方分米水，因为把这些水倒入下面这个长方体玻璃鱼缸中，再根据长方体体积÷底面积＝高，据此解答解答．
【解答】解：
（1）3.14×22+3.14×2×2×4
＝12.56+50.24
＝62.8（平方分米）
答：做这个水桶需要铁皮62.8平方分米．
（2）3.14×22×（4×）÷（6×3）
＝37.68÷18
≈2.1（分米）
答：水面的高度是2.1分米．
本题考查了圆柱体的表面积和体积及长方体体积的计算方法的灵活运用．
练习2
1．用一张长16.56厘米的长方形纸制作一个圆柱，且按图中所示充分利用纸张。利用纸张做好的圆柱底面半径是多少厘米，高是多少厘米？
2.一个圆柱的侧面展开后是一个边长为25.12分米的正方形，这个圆柱的一个底面积是多少平方分米？
3．少先队队鼓是一个圆柱形的，侧面由铝皮围成，上下底面是羊皮，做一个这样的队鼓至少需要铝皮和羊皮多少平方分米？
例题3：一个底面半径是20cm、高是30cm的圆柱形鱼缸里装有一些水，向鱼缸里放入一块鹅卵石（完全浸入水中），水面上升了1.5cm。这块鹅卵石的体积是多少立方厘米？
【分析】根据题意可知：把鹅卵石放入鱼缸中完全浸没，上升部分水的体积就等于鹅卵石的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×202×1.5
＝3.14×400×1.5
＝1256×1.5
＝1884（立方厘米）
答：这块鹅卵石的体积是1884立方厘米。
此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
练习三：
1.一个底面直径为10cm的圆柱形容器中装有一部分水，水中浸没着一个底面直径为6cm、高为10cm的圆锥形铅锤，把铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了多少厘米？
2.一个圆柱形玻璃缸，底面直径20厘米，把一个钢球放入水中，缸内水面上升了3厘米，求这个钢球的体积。
3．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10厘米，高是12厘米，一块石头全浸没在水里，量得水深9.5厘米，将石头取出后，水深是7.5厘米，这块石头的积体积是多少？
例题4：如图，一个醋瓶，底面直径为8cm，瓶里醋深12cm，把瓶盖盖紧后倒置（瓶口向下），无醋部分高10cm。你能算出醋瓶的容积是多少毫升吗？（醋瓶的厚度忽略不计）
【分析】据图可知，右边空白部分的体积等于左边空白部分的体积，所以醋瓶的容积就等于左边醋的体积加上右边空白部分的体积，据此解答。
【解答】解：8÷2＝4（厘米）
3.14×42×12+3.14×42×10
＝3.14×42×（12+10）
＝3.14×16×22
＝50.24×22
＝1105.28（立方厘米）
1105.28立方厘米＝1105.28毫升
答：醋瓶的容积是1105.28毫升。
解答本题需熟练掌握圆柱体体积公式，分析出醋瓶的容积就等于左边醋的体积加上右边空白部分的体积是关键。
练习4：
1.一辆载重6吨的卡车，车厢内装有1000根空心钢管，每根钢管的外半径是3cm，内半径是2cm，长是50cm，这辆卡车超载了吗？（每立方厘米钢重7.8克）
两个底面积相等的圆柱，一个高为3.5分米，体积为56立方分米。另一个高为5分米，另一个圆柱的体积是多少立方分米？
3．把一块长3.14dm，宽2dm，高3dm的长方体铁块熔铸成一个底面直径是2dm的圆柱形铁块，这个圆柱形铁块的高是多少分米？
阿基米德与圆柱容球
阿基米德是古希腊伟大的百科式科学家、数学家、物理学家、哲学家,他为数学和物理的发展做出了巨大的贡献,对社会进步和人类发展有着不可磨灭的影响。阿基米德是举世公认的伟大的数学家,他在数学上有着极为光辉的成就,留下的几何著作，堪称希腊数学的顶峰。他一生热爱科学,热爱自己的国家,最终献出了生命,并留下了“圆柱容球”的故事。
公元前212年,古罗马军队攻陷叙拉古城,阿基米德被杀害了。传说阿基米德在生命的最后时刻,仍然在潜心研究画在地上的几何图形,这足以证明阿基米德对科学的热爱。
统率罗马大军的马塞拉斯将军得知阿基米德被杀的消息后,为阿基米德举行了隆重的葬礼,并在墓地上立了一块碑,在上面刻着“圆柱容球”的几何图形。
练习1：
1．【答案】见试题解答内容
【分析】通过观察，捆扎这个盒子至少用去4个底面直径和4个高长度的和，再加上打结用去丝带的长度10分米，由此得解．
【解答】解：6×4+4×4+10
＝24+16+10
＝50（分米）
答：至少要50分米的丝带才合适．
此题要求学生要有空间想象力，能够想到底面和背面也有和我们现在看到的一样多的丝带．
:2．【答案】见试题解答内容
【分析】根据面动成体，转动长方形ABCD，以AB或CD边为轴旋转一周，得到的圆柱高为0.5厘米，底面半径为1厘米，生成圆柱①；以AD或BC为轴旋转一周得到的圆柱高为1厘米，底面半径为0.5厘米，生成圆柱②．
【解答】解：圆柱①是长方形ABCD以AB或CD边为轴旋转一周得到的，底面半径为1厘米，圆柱高为0.5厘米．
圆柱②是长方形ABCD以AD或BC边为轴旋转一周得到的，底面半径为0.5厘米，圆柱高为1厘米．
一个长方形绕长（或宽）为旋转轴转动一周，将得到一个以长（或宽）为高宽（或长）为底面半径的圆柱．
3．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，可以把圆柱形的饮料罐横放，一排6罐，放2层，这样箱子的长等于圆柱底面直径6倍，箱子的宽等于圆柱的高，箱子的高等于圆柱底面直径的2倍；还可以竖放，一排6罐，放2层，这样箱子的长等于这个圆柱底面直径的6倍，宽等于圆柱的底面直径，高等于圆柱高的2倍；据此解答．
【解答】解：方法一：可以把圆柱形的饮料罐横放，一排6罐，放2层，这样箱子的长等于圆柱底面直径6倍，箱子的宽等于圆柱的高，箱子的高等于圆柱底面直径的2倍；
箱子的长是8×6＝48（厘米），宽是12厘米，高是8×2＝16（厘米）；
方法二：可以竖放，一排6罐，放2层，这样箱子的长等于这个圆柱底面直径的6倍，宽等于圆柱的底面直径，高等于圆柱高的2倍；
箱子的长是8×6＝48（厘米），宽是8厘米，高是12×2＝24（厘米）；
答：从内部量这个箱子的长、宽、高分别是48厘米、12厘米、16厘米或48厘米、8厘米、24厘米．
此题考查的目的是理解掌握圆柱的特征，并且能够根据圆柱的特征解决有关的实际问题．
练习2：
1．【答案】2厘米，8厘米。
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，这张长方形纸的长也就是圆柱的底面周长与底面直径的和，长方形纸的宽等于圆柱的高，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式求出圆柱的底面半径，进而求出高。
【解答】解：设圆柱的底面半径为r厘米。
2πr+2r＝16.56
8.28r＝16.56
r＝2
2×2＝4（厘米）
4×2＝8（厘米）
答：利用纸张做好的圆柱底面半径是2厘米，高是8厘米。
此题考查的底面是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式及应用，关键是熟记公式。
2．【答案】785立方厘米。
【分析】根据题意可知，把这个圆柱形钢材截去10厘米长的一段后，表面积减少了314平方厘米，表面积减少的是高为10厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，据此可以求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：314÷10÷3.14÷2
＝31.4÷3.14÷2
＝5（厘米）
3.14×52×10
＝3.14×25×10
＝78.5×10
＝785（立方厘米）
答：体积减少了785立方厘米。
此题主要考查圆柱的侧面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是先求出圆柱的底面半径。
3．【答案】48.984平方分米；56.52平方分米。
【分析】求铝皮的面积，就是求这个圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，列式计算。
求羊皮的面积，就是求这个圆柱两个底面积之和，根据圆的面积公式：S＝πr2，列式计算。
【解答】解：6×3.14×2.6
＝18.84×2.6
＝48.984（平方分米）
3.14×（6÷2）2×2
＝3.14×9×2
＝28.26×2
＝56.52（平方分米）
答：做一个这样的队鼓至少需要铝皮48.984平方分米，羊皮56.52平方分米。
本题解题关键是熟练掌握圆柱的侧面积与底面积的计算方法。
练习3：
1．【答案】2厘米。
【分析】根据题意可知，把圆锥形铁块从圆柱形玻璃容器中取出后，水面下降的高等于圆锥的体积除以圆柱的底面积。根据圆锥的体积公式：Vr2h，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×（10÷2）2×6÷[3.14×（10÷2）2]
＝3.14×25×6÷[3.14×25]
＝157÷78.5
＝2（厘米）
答：容器中水面高度将下降2厘米。
此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，圆的面积公式及应用，关键是熟记公式。
2．【答案】942立方厘米。
【分析】分析题意，水面上升部分是圆柱体，它的底面直径是20厘米，高是3厘米，并且水面上升部分的体积就是钢球的体积。据此，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出钢球体积。
【解答】解：3.14×（20÷2）2×3
＝3.14×100×3
＝314×3
＝942（立方厘米）
答：这个钢球的体积是942立方厘米。
此题考查了不规则物体的体积计算，可以转换成圆柱体积进行计算，圆柱的体积＝底面积×高。
3．【答案】157cm3。
【分析】根据题意可知，取出石头后，下降的水的体积就是石头的体积，先求出圆柱的底面半径，然后用圆柱的底面积×下降的水位高度＝下降的水的体积，也是石头的体积，据此列式解答。
【解答】解：10÷2＝5（cm）
3.14×5 ×（9.5﹣7.5）
＝3.14×5 ×2
＝3.14×25×2
＝78.5×2
＝157（cm3）
答：这块石头的体积是157cm3。
本题考查了圆柱的体积公式的灵活运用。
练习4：
1．【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据圆柱的体积公式：V＝Sh，求出1000根空心钢管的体积，然后这些钢管的体积乘每立方厘米钢材的质量求出总质量．然后与6吨进行比较，如果小于等于6吨就不超重，如果大于6吨就超重．
【解答】解：3.14×（32﹣22）×50×1000×7.8
＝3.14×（9﹣4）×50×1000×7.8
＝3.14×5×50×1000×7.8
＝785000×7.8
＝6123000（克），
6123000克＝6.123吨，
6.123吨＞6吨，
答：这辆卡车超载了．
此题主要考查圆柱的体积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式．
2．【答案】80立方分米。
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，那么S＝V÷h，把数据代入公式解答。
【解答】解：56÷3.5×5
＝16×5
＝80（立方分米）
答：另一个圆柱的体积是80立方分米。
此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
3．【答案】6分米。
【分析】要求熔铸成的圆柱形的高，先要计算出长方体的体积，运用长方体的体积＝长×宽×高求出长方体的体积，因为在熔铸过程中，体积不发生变化，即熔铸成的圆柱的体积＝长方体体积，然后根据圆柱的体积÷底面积＝高，代入数据，求出问题。
【解答】解：3.14×2×3＝18.84（立方分米）
18.84÷[3.14×]
＝18.84÷3.14
＝6（分米）
答：这个圆柱形铁块的高是6分米。
做这种类型的题，理清思路，应抓住不变量，利用圆柱和高及底面积之间的关系，代入数据即可求出结论。

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