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巧算谷垛体积
亮亮是个肯动脑、爱学习的好孩子。星期六,爸爸带亮亮去乡下的爷爷家玩,正好赶上收谷子的时候,整个打谷场上到处都是一堆一堆的稻谷垛。
亮亮感到很新鲜,拉着爸爸的手,绕着这些谷垛走了一圈又一圈,听爸爸讲小时候打谷子的故事。走到一个谷垛前,爸爸突然问:“亮亮,你看看,这个谷垛是什么形状的啊 ”“这个谷垛啊,上头尖,下面圆,好像是……”亮亮想了想,叫道,“对了,几何课上老师讲过,这种叫做圆锥体。”
爸爸接着又问“那你还记得圆锥体的体积计算公式吗 亮亮眨眨眼,说:“当然记得了,圆锥体的体积,等于π乘底面圆的半径的平方,再乘高,最后除以3。”
“不错不错”爸爸称赞道,又指着旁边另外一个谷垛,说,“那你知道这个谷垛的体积怎么计算吗 亮亮仔细一看,奇怪啊,别的谷垛的顶上都是尖的，这个谷垛的顶上怎么是平平的呢 这是什么形状啊 他只好说:“我没学过这种形状的体积公式。”
爸爸笑了,说:“傻小子,你都学过圆锥了。你看看,这个谷垛本来应该是个圆锥体的,可是现在,它的顶部被横着削了一刀,可削去的还是个圆锥啊。”“啊,我明白了!”亮亮说,“那就是大圆锥的体积减去小圆锥的体积了,对不对 ”
“哈哈，儒子可教!这种形状叫做圆台,计算它的体积,就是通过圆锥体积相减得到的。”
1．圆锥的特征
【知识点归纳】
圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面．
2．圆锥的体积
【知识点归纳】
圆锥体积＝×底面积×高，用字母表示：
V＝Sh＝πr2h，（S表示底面积，h表示高）声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发
例题1．如图是一个等腰直角三角形，将这个三角形以直角边AB为轴旋转一周，得到一个圆锥．圆锥的高和底面直径分别是多少厘米？
【分析】如果以直角边AB为轴旋转一周，得到的是一个高为5cm，底面半径为5cm的圆锥，这个圆锥的底面直径是5×2＝10（cm）．
【解答】解：如果以直角边AB为轴旋转一周，
得到的是一个高为5cm，底面半径为5cm的圆锥，
这个圆锥的底面直径是：
5×2＝10（cm）
答：圆锥的高是5cm，底面直径是10cm．
直角三形绕一直角边旋转一周可得到一个以旋转的直角边为旋转轴，另一直角边为底面半径的圆锥．
练习1
1．如图，在直角三角形ABC中，以AC所在的直线为轴旋转一周．
（1）可以得到一个什么图形？这个图形的高是多少？
（2）它的底面周长是多少？
2．如今自带帐篷旅游越来越受人们欢迎。如图，一种近似圆锥形帐篷的底面直径是5m，高是2.4m，这种圆锥形帐篷占地面积是多少？
3．将一个圆锥形纸筒沿一边剪开并展开（如图），已知圆锥的底面半径是5cm，它的底面周长是多少厘米？底面积是多少平方厘米？
例题2．如图1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。
（1）圆锥内漏完水需要多少时间？
（2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水。
（2）
【分析】（1）根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。
（2）因为等底等等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。
【解答】解：（1）3.14×32×6÷1.57
＝3.14×9×6÷1.57
＝56.52÷1.57
＝36（分钟）
答：圆锥内漏完水需要36分钟。
（2）6×＝2（厘米）
答：圆柱容器内水深2厘米。
作图如下：
此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
练习2：
1.一个圆柱形铁块的底面半径是10cm，高是3cm，把它熔铸成一个底面积是 628cm2的圆锥形铁块，圆锥的高是多少厘米？
2.把一个底面周长是6.28dm，高是6dm的圆柱形钢材，熔铸改造成了一个圆锥，这个圆锥的底面积是15.7dm ，它的高是多少分米？
3.．工地上有一堆沙子，其形状近似于一个圆锥（如图）。这堆沙子的体积大约是多少？
例题3．如图，一个圆锥的底面半径是5cm，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积增加了60cm2．这个圆锥的体积是多少立方厘米？
【分析】根据题意可知，把这个圆锥从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积增加了60cm2．表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高，据此可以求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答．
【解答】解：圆锥的高：
60÷2×2÷（5×2）
＝60÷10
＝6（厘米）
3.14×52×6
＝3.14×25×6
＝157（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是157立方厘米．
此题考查的目的是理解掌握圆锥的特征，以及圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是根据切面的面积求出高．
练习3：
把一根底面直径为12dm、高为5dm的圆柱形钢材，熔铸成一个高是12dm的圆锥，熔铸成的这个圆锥的底面积是多少平方分米？
有一只底面半径20厘米的圆柱形水桶，里面有一个底面半径是10厘米的圆锥全部浸入水中。把圆锥从水中捞出后，桶里的水下降2厘米，圆锥的高是多少厘米？
3．一个底面周长是36厘米的正方体容器中，盛有6厘米深的水。把一个高是6厘米的圆锥形铁块完全没入容器里的水中，现在容器里的水深7厘米。这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？
哥德巴赫猜想
200多年前，德国的数学家哥德巴赫发现每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和，数学家欧拉表示同意，这个猜想被称为“哥德巴赫猜想”，人们把这个猜想比喻为“数学皇冠上的明珠”，1966年，我国数学家陈景润在“哥德巴赫猜想”的研究上取得了更加显著的进展，轰动的国内外数学界。
练习1：
1．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直角三角形ABC中，以AC所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，这个图形的高是原三角形的高，即3cm；
（2）圆锥的底面是个圆，底面半径是原三角形的底，是2cm，所以底面周长是2×2×3.14＝12.56厘米．
【解答】解：（1）可以得到一个圆锥，这个图形的高是3cm．
（2）2×2×3.14
＝4×3.14
＝12.56（cm）
答：它的底面周长是12.56厘米．
解答此题的关键是掌握圆锥的特征和面动成体的规律．
2．【答案】19.625平方米。
【分析】根据题意，求的是圆锥的底面积，运用圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。
【解答】解：3.14×（5÷2）2
＝3.14×6.25
＝19.625（平方米）
答：这种圆锥形帐篷占地面积是19.625平方米。
此题主要考查圆的面积计算公式的灵活运用，结合题意分析解答即可。
3．【答案】底面周长是31.4厘米，底面积是78.5平方厘米。
【分析】首先根据C＝2πr，求出底面周长，然后根据S＝πr2求出底面积。
【解答】解：3.14×5×2＝31.4（厘米）
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
答：它的底面周长是31.4厘米，底面积是78.5平方厘米。
此题主要考查利用公式计算圆锥的底面周长和面积，关键是熟练掌握圆的周长和面积公式。
练习2：
1．【答案】4.5厘米。
【分析】先根据圆柱的体积公式求出这个铁块的体积，再利用圆锥的高＝体积×3÷底面积即可解答。
【解答】解：3.14×102×3×3÷628
＝3.14×100×9÷628
＝4.5（厘米）
答：圆锥的高是4.5厘米。
此题考查了圆锥的体积公式的灵活应用，抓住熔铸前后的体积不变是解决本题的关键。
2．【答案】3.6分米。
【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出圆柱体积，就是圆锥体积，再根据圆锥高＝圆锥体积×3÷底面积，即可解答。
【解答】解：[3.14×（6.28÷3.14÷2）2×6]×3÷15.7
＝[3.14×1×6]×3÷15.7
＝18.84×3÷15.7
＝56.52÷15.7
＝3.6（分米）
答：它的高是3.6分米。
本题考查的是圆锥体积和圆柱体积，熟记公式是解答关键。
3．【答案】14.13立方米。
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：×3.14×（6÷2）2×1.5
＝×3.14×9×1.5
＝14.13（立方米）
答：这堆沙子的体积大约是14.13立方米。
此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
练习3：
1．【答案】141.3平方分米。
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝Sh，那么S＝V÷÷h，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×（12÷2）2×5÷÷12
＝3.14×36×5×3÷12
＝565.2×3÷12
＝1695.6÷12
＝141.3（平方分米）
答：熔铸成的这个圆锥的底面积是141.3平方分米。
此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
2．【答案】1.2厘米。
【分析】根据题意可知，把圆锥从容器内捞出后，下降部分水的体积就等于这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，那么h＝÷πr2，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×202×÷（3.14×102）
＝62.8×2÷÷（3.14×100）
＝125.6×3÷314
＝376.8÷314
＝1.2（厘米）
答：圆锥的高是1.2厘米。
此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
3．【答案】40.5平方厘米。
【分析】根据题意可知，把铁块放入容器中，上升部分水的体积就等于铁块的体积，根据正方形的周长公式：C＝4a，那么a＝C÷4，据此求出底面边长，长方体的体积公式：V＝abh，圆锥的体积公式：V＝Sh，那么S＝V÷÷h，把数据代入公式解答。
【解答】解：36÷4＝9（厘米）
9×9×（7﹣6）÷÷6
＝81×1×3÷6
＝243÷6
＝40.5（平方厘米）
答：这个圆锥形铁块的底面积是40.5平方厘米。
此题主要考查正方形的周长公式、长方体的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

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