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专题5-整数的裂项和拆分
小升初数学思维拓展数论问题专项训练
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、整数的列项与分拆：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆．整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想．在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等．
【典例一】用一架天平和11个重量均为整数克的砝码，可以直接称出的所有整数克数的重量（称时砝码只能放在天平的一边），在这些砝码中，最重的一个为　　
A．1024 B．979 C．201 D．256
【分析】要表示连续的自然数，这些数应是，，，，即是，据此解答．
【解答】解：据以上分析知，，所以最重的一个应为979克．
故选：．
本题考查了学生对连续自然数的表示方法．
【典例二】已知、、、、、六人分别看了5、5、6、6、8、10场演出，每场演出票价不变．成人票的票价是儿童票的2倍，且均为整数元，已知这六人买演出票共支出了1026元．求成人票单价是多少元？
【答案】38元。
【分析】假设全部是成人场或儿童场，分别求出票价，从而确定票价的区间范围；然后将1026分解质因数，从而解答出本题．
【解答】解：（场，
当全部是成人场，那么成人票价为；当全部是儿童场时，那么成人票价为，成人票价就在之间．
，成人票的价格只能是27或是38，才能整除1026，儿童票价是整数，那么成人票价只能是38元，儿童票价是19元，
，，
成人场数应该是（场，
则儿童场是（场，
（元；
因此成人票价是38元．
答：成人票单价是38元．
本题主要考查了学生解决生活中实际问题的能力，要求学生熟练掌握这类题的解题方法，会利用分解质因数的相关知识解题．
【典例三】聪聪和明明同算两数之和，聪聪得685，计算正确；明明得280，计算错误，明明所以算错的原因是将其中一个加数末尾的0漏掉了．你知道两个加数各是多少？
【分析】将其中一个加数末尾的0漏掉了，也就是把这个数缩小了10倍，那就意味着这个数只加上了它的，另外漏掉了，那么明明比聪聪少的部分就占这个数的，那么一个数的是405，这个数就是，另一个数就为．
【解答】解：一个加数是：
，
，
，
；
另一个加数是：
．
答：两个加数分别是450、235．
此题解答的关键是弄清“将其中一个加数末尾的0漏掉了”，也就是把这个数缩小了10倍，这是解答的突破口．
一．选择题（共8小题）
1．桌子上摆了36枚棋子，要求将这些棋子任意分成偶数堆，使每堆的棋子数目相同，那么可以有　　种分法．
A．4 B．5 C．6 D．7
2．一辆小货车每次能运2吨苹果，一辆大货车每次能运3吨苹果，一共要运13吨苹果，下面　　方案能刚好一次运完。
A．安排2辆大货车和4辆小货车 B．安排3辆大货车和2辆小货车
C．安排4辆大货车和1辆小货车
3．一种钢笔有6支装和10支装两种不同的包装。李老师要买56支钢笔当作书法比赛的奖品，一共有多少种不同的买法？　　
A．2 B．3 C．4 D．5
4．把6件相同的礼物全部分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同方法一共有　　种．
A．6 B．8 C．10 D．12
5．、都是质数，的和小于50，且是7的倍数，如果又是奇数，那么 可能是　　
A．10、38、94 B．10、26 94 C．38、66、94
6．下面选项中　　可以是4个连续自然数之和
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
7．有三个箱子，如果两箱两箱的称它们的重量，分别是15千克、23千克、26千克，那么其中最重的箱子重　　千克．
A．18 B．9 C．15 D．17
8．新华书店将若干种畅销书共214本放在一个展台上出售．圆小会整理书籍时发现每种畅销书摆放的数目都不相同，并且每种书的数目不超过26本，不少于15本，那么展台上的畅销书最少有多少种？　　
A．7 B．8 C．9 D．10
二．填空题（共8小题）
9．假定你的计算器的一个键“4”坏了，你怎样计算？用算式表示计算过程是　 　．
10．34吨的货物，用载重2吨和5吨的两种货车来运，要求每次每辆货车都必须装满，求若干次后恰好运完34吨货物没有剩余．
方案一：2吨的货车需要　 　辆，5吨的货车需要　 　辆才刚好运完；
方案二：2吨的货车需要　 　辆，5吨的货车需要　 　辆才刚好运完．
11．五名选手参加数学竞赛，他们的总分为462分，各人得分是不相等的自然数，其中得分最高的为96分，那么得分最低的选手至少得　 　分．
12．右图是一个靶盘，靶盘上标出了射中某区域的得分数，要想恰好得到100分，至少要射击的次数是　 　次．
13．两个正方形的边长之和为20厘米，面积相差200平方厘米，这两个正方形的面积分别是　 　平方厘米和　 　平方厘米．
14．重阳节那天，延龄茶庄请来25位老人品茶，这25位老人的年龄恰好是25个连续自然数，并且年龄之和恰好是2000．那么年龄最大的老人　 　岁．
15．在一次打靶射击中，某个运动员打出的环数只有8、9、10三种，在作了多于11次的射击后，所得总环数为100，则该运动员射击的次数为　 　，环数为8、9、10的次数分别为　 　、　 　、　 　．
16．把22盆花摆在4个窗台上，每个窗台上摆放的花盆的个数都不相同．放花盆最多的窗台上要放　 　盆花．
三．解答题（共14小题）
17．公园里有大、小两种游船，每条小船可坐2人，每条大船可坐5人．现在有28个小朋友去划船，可以怎样租船（要求每条船都坐满），有多少种不同的选择？
18．六年级某班同学48人到公园划船，公园有大小船若干只，如果每只小船座满3人，每只大船座满5人，那么需要小船、大船各几只？
19．用5米和2米两种规格的排水管，铺设一段47米长的排水管道．两种不同规格的排水管有多少种不同的铺法？（不能有废料）
20．老师把31颗棋子分别装在5只袋子里，无论小朋友向老师要几颗（不超过31颗）棋子，老师只要拿出其中的1只或几只袋子，里面就刚好是小朋友要的棋子数．这5只袋子里分别装了多少颗棋子？
21．有、、、四位科学家，把他们两两的年龄相加的结果为99岁、113岁、125岁、130岁、144岁、其中有两人的年龄未加，那么这两位科学家中年龄较大者的岁数是多少？
22．欢欢参加了全校数学竞赛，取得了较好的成绩，欢欢说：我的名次和我得的分数的乘积是288，你知道欢欢的名次和分数各是多少吗？
23．用大、小卡车从蔬菜基地往城里运29吨蔬菜，卡车每次运5吨，小卡车每次运3吨，大、小卡车各用多少辆能正好一次运完？
24．田丽中学108位师生参加野营活动，车队在三种车，分别是限坐8人、4人和10人．要求每种车都要求坐满，你能设计出三种以上不同的坐车方案？
25．有23名同学去乘船，现在有限乘2人和限乘3人的两种船可供选择．每条船不能有空位，有多少种不同的安排方法？
26．一种蛋糕有两种包装，一种每袋4个，另一种每袋装6个．幼儿园王阿姨要给40个小朋友每人买1个蛋糕，一共有多少种不同的买法？（先列表，再回答问题）
27．一个自然数，各个数位上的数字之和是17，而且各个数位上的数字都不相同，符合条件的最小数是多少？最大数是多少？
28．把11个小球分别放在三个盒子里，每个盒子里的小球个数都不相同，放小球最多的盒子里至少要放多少个小球？
29．某次射箭比赛中，所用的箭靶上画有4个同心圆环，从外到内，分别标上8、12、14、18，如图，每个圆环内的数是射中此圆环时可得到的分数．运动员林得胜射中10支箭，每个圆环都有箭射中，共得110分．问：每个圆环各被射中几支箭？（在下面写出所有可能出现的情况的答案，分析过程可不写．
30．妈妈在周一和周五分别买了一次水果，请你按下面的要求把两次买水果的千克数填在下表中．
周一 妈妈花了30元 买了两种水果 葡萄 8元千克 香蕉 6元千克 苹果 5元千克 梨 4元千克
周五 妈妈花了40元 买了7千克水果 葡萄 8元千克 香蕉 6元千克 苹果 5元千克 梨 4元千克
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】根据题意得，36能够被哪些偶数整除，即可得出几种分法．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
所以要求将36枚棋子任意分成偶数堆，使每堆的棋子数目相同，那么可以有6种分法；
故选：．
解答本题的关键是理解题意，找出哪些偶数能够整除36即可．
2．【答案】
【分析】根据题意，分别算出每个选项中的方案一共能运多少吨，然后再与总重量13吨进行比较，看是否等于13吨，如果刚好等于13，则说明能刚好一次运完；反之，则不能刚好一次运完。由此解答即可。
【解答】解：．（吨，因为，所以不符题意；
．（吨，因为，符合题意；
．（吨，因为，所以不符题意；
故选：。
此题考查方案的选择和最优化问题。根据每个选项进行判断即可。
3．【答案】
【分析】把56分成6的倍数与10的倍数的和，找出正好是56支的全部可能，从而解决问题。
【解答】解：
，买6盒6支装的和2盒10支装的；
，买1盒6支装的和5盒10支装的。
答：一共有2种不同的买法。
故选：。
本题主要考查了整数的拆分，把56分成6的倍数和10的倍数相加的和是解答的关键。
4．【分析】由，分成三类讨论：
①对于，不同的分法为：1、1、4；1、4、1；4、1、1（共3种）；
②对于，不同的分法为：1、2、3；1、3、2；2、3、1；2、1、3；3、1、2；3、2、1（共6种）；
③对于，只有2、2、2这1种分法．
【解答】解：因为，①
，②
，③
对于第①种情况，有3种分法，
对于第②种情况，有6种分法，
对于第③种情况，有1种分法，
综上，共有（种；
答：分礼物的不同方法一共有10种．
故选：．
此题属于计数问题，计数问题题型的固定思考思维：先考虑分类（加法原理），再考虑分步（乘法原理），合理使用排列组合．
5．【分析】因为和都是质数，又是奇数，所以、中必然有一个为2．又因为小于50，且是7的倍数，假设为2，所以可以是5，19，47．那么或38或94．
【解答】解：在小于50的数中，符合条件的7的倍数有7，21，49，根据题意，、中必然有一个为2．
假设为2，则分别为5，19，47．
那么，或，或．
所以符合答案的只有．
故选：．
此题解答的关键是根据“、都是质数，又是奇数”推出、中必然有一个为2这一条件．
6．【答案】
【分析】设4个连续自然数分别是，，，，则根据题意，用各个选项的数减去，再除以4，如果结果是整数，则可以写成4个连续自然数的和，由此进行解答即可。
【解答】解：设4个连续自然数分别是，，，，则4个自然数的和为：
所以2018可以是4个连续自然数之和。
故选：。
解答本题的关键是求出所给的数与6的差，再判断是不是4的倍数即可。
7．【分析】根据题意明白，三箱两两称重，三次重量，实际是各称了两次，求总重量：，再去掉每次称两箱的重量就是余下那箱的重量，都算出来后，找最重的即可．
【解答】解：三箱总重量：（千克），
第一次两箱称余下那箱重：（千克），
第二次两箱称余下那箱重：（千克），
第三次两箱称余下那箱重：（千克），
答：最重的箱子重17千克．
故选：．
此题关键是明白两两称实际上每一箱都称了两次，根据三次重量和除以2就能求出三箱总重量，然后根据题意求出即可．
8．【分析】因为214因为，最少是8种；，最少是14种，因此展台上的畅销书有种．
【解答】解：因为，最少是8种；
，最少是14种，
因此展台上的畅销书有种；
想要书种类尽量少，需要每种书的数量尽量多，
，
各种书的数量为：26，25，24，23，22，21，20，19，18，16，共10种，
故选：．
此题应向极端考虑，找出两端，确定展台上的畅销书有几种．
二．填空题（共8小题）
9．【分析】把49化为两个不含数字4的数，再依据乘法分配律解答．，是根据乘法分配律进行的计算，写出它的形式即可．答案不唯一．
【解答】解：，所以算式可以写成：
，
故答案为：．
本题考查的是整数的裂项与拆分，运用了乘法分配律的公式，把各个运算定律都记住，并灵活运用．
10．【分析】载重5吨的车不能超过：（辆，小车不能超过：（辆，要求每次每辆货车都必须装满，所以根据运送货物的吨数以及每辆车的载重量合理的安排即可．
【解答】解：
派车方案 载重5吨的辆数 载重2吨的辆数 运沙吨数
① 6 2 34
② 4 7 34
③ 2 12 34
由此可知，方案一：2吨的货车需要2辆，5吨的货车需要6辆才刚好运完；
方案二：2吨的货车需要7辆，5吨的货车需要4辆才刚好运完．
故答案为：2，6，7，4．
解答此题关键是明确要把34拆成2、5倍数的和．
11．【分析】要使分最低的选手得分最少，就要使前4名的得分尽量多，又由于各人得分是不相等的自然数，得分最高的为96分，依此类推可得出向下的得分为95、94、93，由此用总分去掉4个人的分数得出结论．
【解答】解：，
（分；
答：得分最低的选手至少得84分．
故答案为：84．
解答此题只要注意题目中蕴含的条件：总和已知，结合最高分与得分不相同两个条件，利用顺数数的方法即可解决问题．
12．【分析】由几个数的和为，，；由此可以看出．
【解答】解：当射中52一次，射中24两次时，，射击次数最少．
答：至少要射击的次数是3次．
故答案为：3．
此题考查了整数的裂项与拆分．
13．【分析】可以设两个正方形边长分别为和，由“面积相差200平方厘米”可知（平方厘米），即（平方厘米）；又根据“两个正方形的边长之和为20厘米”，可知（厘米），结合前面式子，得（厘米）；从而求出与的值，进一步求出面积．
【解答】解：设两个正方形边长分别为和，
（平方厘米），
即（平方厘米），
因为（厘米），①
所以（厘米）；②
①②得（厘米），因此（厘米），（厘米）；
所以，（平方厘米），（平方厘米）；
答：这两个正方形的面积分别是25平方厘米和225平方厘米；
故答案为：25，225．
此题运用了用字母表示数的方法，通过推导，得出字母代表的数值，进一步解决问题．
14．【分析】这25位老人的年龄恰好是25个连续自然数，并且年龄之和恰好是2000，用2000除以25则得到年龄在中间的老人的岁数，年龄最大的老人比他大12，年龄最小的比他小12，因此得解．
【解答】解：（岁，
（岁，
答：那么年龄最大的老人92岁；
故答案为：92．
正确理解25个连续自然数是解决此题的关键．即25个数依次大1，中间的数字比最大数字小12，比最小数字大12，中间数字是它们的和平分25份．利用整数的拆分使问题简单化．
15．【分析】首先设环数为8，9，10的次数分别为，，，然后根据题意得：，，又由，即可求得该运动员射击的次数，然后由，，是正整数，则可求得环数为8、9、10的次数分别是多少．
【解答】解：设环数为8，9，10的次数分别为，，，
所以，，
因为若，
则，
故．
所以该运动员射击的次数为：12．
当时，，，
当时，，，
当时，，．
故环数为8、9、10的次数分别为：10，0，2或9，2，1或8，4，0．
故答案为：12；10，0，2或9，2，1或8，4，0．
此题考查了方程与不等式的综合应用．解题的关键是分类讨论思想的应用．
16．【分析】因为要把22盆花摆在4个窗台上，要使其中的一个窗台放的花最多，而每个窗台上摆放的花盆的个数都不相同，那么其中的三个窗台分别放1盆、2盆和3盆，剩下盆放在一个窗台上即可．
【解答】解：因为，
所以放花盆最多的窗台上要放16盆花；
答：放花盆最多的窗台上要放16盆花；
故答案为：16．
关键是根据题意把22进行裂项，写成4个不同的符合要求的数的和．
三．解答题（共14小题）
17．【分析】因为，所以可以租2条大船和9条小船，也可以租4条大船和4条小船，可以租14条小船；据此解答．
【解答】解：因为
所以可以租2条大船和9条小船
也可以租4条大船和4条小船
可以租14条小船．
答：可以租2条大船和9条小船，也可以租4条大船和4条小船，可以租14条小船；有3种不同的选择．
关键是根据题意将28裂项，写成，再解答即可．
18．【分析】因为，而每只小船座满3人，每只大船座满5人，所以需要小船、大船各6只．
【解答】解：因为，而每只小船座满3人，每只大船座满5人，
所以需要小船、大船各6只；
答：需要小船、大船各6只．
关键是根据每种船坐满时的人数，将48进行裂项：即．
19．【分析】因为，由此得出两种不同规格的排水管的不同的铺法．
【解答】解：因为，
所以有4种不同的铺法；
答：两种不同规格的排水管有4种不同的铺法．
关键是根据题意将47进行裂项，写成两个乘积的和的形式．
20．【分析】因为，而1、2、4、8、16，这几个数中任意1个、2个、3个数的和可以组成连续的不超过31的自然数，由此得出答案．
【解答】解：因为，，
所以这5只袋子里分别装了1，2，4，8，16颗棋子；
答：这5只袋子里分别装了1，2，4，8，16颗棋子．
解答此题的关键是，将31分成几个数相加，并且这几个数中任意1个、2个、3个数的和可以组成连续的不超过31的自然数．
21．【分析】设四人的年龄分别是、、、，其中、两人的年龄未加，而（每个括号表示两人的年龄和），注意到五个年龄中只有，因此得到，这样就可以求出．由此知、同奇偶，、必一奇一偶，故四人年龄中必有三人同奇偶，由此即可求出、、，也就求出了这两人年龄较大的岁数．
【解答】解：设四人是、、、，其中、两人的年龄未加，
于是必有（每个括号表示两人年龄和），
注意到五个年龄中只有，
故剩下的125必是、的年龄和，即有，
所以．
由此知、同奇偶，、必一奇一偶，
故四人年龄中必有三人同奇偶，
不妨令、、同奇偶，
于是与的值也是偶数，
即有：，或，
由前者求得：，，
由后者求得：，，
故合称的两人年龄较大的是66岁．
答：这两位科学家中年龄较大者的岁数是66岁．
解题的关键是正确理解题意，把握题目中的数量关系，然后列出方程组解决问题．
22．【分析】由于名次和得分的乘积是288，所以需要把288拆分成两个数的乘积的形式，然后结合“取得了较好的成绩，”这一条件确定名次和得分即可．
【解答】解：
因为欢欢取得了较好的成绩，所以名次只能是第3名，分数是96分．
答：欢欢是第3名，分数是96分．
本题关键是把288分解质因数，然后结合已知条件和实际情况确定名次和得分．
23．【分析】根据整数的拆分，尽量用大卡车，大车省钱；拆分成的两个数，一个能被5整除，另一个能被3整除，把29拆分为20和9，20是5的4倍，9是3的3倍，据此得解．
【解答】解：
（辆
（辆
答：大卡车用4辆，小卡车用3辆能正好一次运完．
此题根据整数能被5和3整除的特点，把29拆分为20和9时解决此题的关键．
24．【分析】车队有三种车，分别是限坐8人、4人和10人．要求每种车都要求坐满，每种车坐的总人数一定是8、4、10的倍数，将108分成3个数相加，这3个数分别是8、4、10的倍数即可．
【解答】解：；
所以，方案一：10人车2辆，8人车10辆，4人车2辆；
方案二：10人车4辆，8人车8辆，4人车1辆；
方案三：10人车6辆，8人车5辆，4人车2辆．
本题主要考查整数的裂项与拆分，将108分为8、4、10的倍数的和是解答本题的关键．
25．【分析】要使每条船不能有空位，那么就把23分解成2的倍数和3的倍数的和；由于2的倍数必须是偶数，而23是奇数，所以3的倍数必须是奇数，先确定3的倍数，然后得出2的倍数，从而求解．
【解答】解：列表如下：
3人船（条 1 3 5 7
2人船（条 10 7 4 1
通过列表可知，有4种不同的安排方法．
答：有4种不同的安排方法．
解题关键是弄清题意，从数字的特点入手，根据数据合理分析得出结论．
26．【分析】给40个小朋友每人买1个蛋糕，总共要买40个蛋糕，然后根据“一种每袋4个，另一种每袋装6个”列表即可．
【解答】解：（个
包装类型 袋数 袋数 袋数
4个装 1 4 7
6个装 6 3 2
（个
（个
（个
答：一共有3种不同的买法．
此题解答的关键在于不管哪种买法都要保证蛋糕总个数是40．
27．【分析】最小数，即取的数字尽量大，而且不相等：，符合条件的最小数是89；
最大数：即取的数字尽量小，而且不相等：，所以符合条件的最大数是743210．
【解答】解：，因此最小数为：89；
，因此最大数为：743210．
答：最小数是89，最大数是743210．
先对17进行拆分，然后求出最大数与最小数．
28．【分析】把11个小球分别放在三个盒子里，每个盒子里平均有：（个个小球，即最少的两个盒子里需要放个；那么放小球最多的盒子里至少要放个小球；据此解答．
【解答】解：（个个小球，
（个；
答：放小球最多的盒子里至少要放5个小球．
本题关键是明确最少的两个盒子里需要放6个．
29．【分析】根据“每个圆环都有箭射中，”说明至少有四箭分别射中8、12、14、18分，那么剩下的6箭所得分数为：，然后把58裂项拆分为：，再把6加到其他4个数里，使得到的这个数加6的和，能使另外的三个分值的3倍，只有合适，所以，据此可以得出每个圆环各被射中的次数．
【解答】解：由分析得出：
（8分）环 （12分）环 （14分）环 （18分）环
第1种情况各环射中支数 6 1 1 2
第2种情况各环射中支数 5 2 2 1
本题关键是求出6次射中的得分，难点是利用裂项拆分方法把58分解成6个得分的和．
30．【分析】根据题意，周一两种水果的总价是30，，，也就是可以买葡萄3千克，香蕉1千克或者苹果2千克，梨5千克；周五40元买7千克水果，香蕉5千克，苹果2千克，（元，据此解答即可．
【解答】解：根据分析，填表如下
周一 妈妈花了30元 买了两种水果 葡萄 8元千克 香蕉 6元千克 苹果 5元千克 梨 4元千克
3千克 1千克
周五 妈妈花了40元 买了7千克水果 葡萄 8元千克 香蕉 6元千克 苹果 5元千克 梨 4元千克
5千克 2千克
本题主要考查整数的裂项与拆分，注意答案不唯一．

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