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专题6-位值原则
小升初数学思维拓展数论问题专项训练
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、位置原则：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同．也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”．例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等．这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。
2、通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”．就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等．写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等。
3、用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数．例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6．根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数。
4、通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”，就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等．写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等。
【典例一】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数（这个数也叫原数的反序数），新数比原数大8802．则原来的四位数是　　．
【分析】设原四位数为，，， 为的整数，，那么，，，且没有被借位，因此；
因为需要借位，所以十位数运算：，，符合等式的只有，．从而求出这个四位数．
【解答】解：设原四位数为则：
，
，
新数比原数大，则，所以，
是千位数最小是1，是个位数，最大是9，所以：，，
十位要借位，，所以，，
故原数为1099．
故答案为：1099．
对于这类问题，一般采取设数法解答．
【典例二】一个三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？
【分析】根据题意，我们可用表示原来的三位数，变化后的新三位数则为，即得，然后再据此求出、的数值，即可得出答案．
【解答】解：①因得8，则知5向其前位借了1，即，所以；
②因，即，所以；
综上得，，即．
答：原数是675．
此题可以用“竖式迷”的方式进行解答，很简单．
【典例三】一个三位数，各个数位上的数字都不相同，且个位数字十位数字百位数字的积是72，若把十位数字和个位数字交换后得到一个新数，这个新数和原来的数的差是百位数字的6倍，则原来的三位数是多少？
【答案】原来的这个三位数是346。
【分析】此题可通过字母代替数的方法解决，设个位数为，十位数为，百位数为，则：，，所以，，因为各个数位上的数字都不相同，所以72只有两种划分：①2、4、9；②3、4、6。这两种情况，又要满足比答，且，又因为、、都是10以内的数字，推出、、的值，进而求出这三个数。
【解答】解：设个位数为，十位数为，百位数为，则：
，
化简为：
因为各个数位上的数字都不相同，
所以72只有两种划分：①2、4、9；②3、4、6。这两种情况，又要满足比大，且
又因为、、都是10以内的数字，
所以，，。
所以这个数为346。
答：原来的这个三位数是346。
解决此类问题，一班采取用字母代替数的方法解决，根据题目特点，灵活设出这个数，然后根据位置关系，列出等式，通过推理，解决问题。
一．选择题（共3小题）
1．一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有　　个
A．3 B．4 C．5 D．6
2．表示一个三位数，，那么是　　的倍数．
A．321 B．111 C．101 D．121
3．一个两位数是4的倍数，各个数位上的数字的和是9，这样的两位数有　　个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共13小题）
4．如果，那么　　．
5．一个两位数，十位上的数字是，个位上的数字是3，表示这个两位数的式子是　 　．
6．一个两位数，十位上的数是个位上数的，把它各数位上的数字互换所得到的数比原数大18，原来两位数是　 　．
7．一个九位数，各个数位上的数字之和是15，其中万位上的数字是亿位上的3倍，这个九位数最大应该是 　　，最小应该是 　　。
8．一个三位数，百位上是5，如果把百位上的5放到个位上去，新的三位数比原三位数少135，原三位数是　 　．
9．一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，如果把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到的新两位数比原来的两位数大18，原来的两位数是　 　．
10．一个四位数，千位上的数字是4，如果把4调到个位，那么这个新的四位数就比原来少1107，原来这个四位数是　 　．
11．有一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍．如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数比原数少27．这个两位数是　　．
12．如果把自然数6写在某个自然数的右端，得到一个新的自然数，新的自然数比原来增加了60，新的自然数是　 　．
13．一个四位数，在它的最高位前面写上1，所得的新数是原数的9倍。原来的四位数是 　 　。
14．是一个两位数，交换十位与个位的数字后得一新的两位数．已知，那么，符合条件的共有　　个．
15．一个六位的自然数，它的个位数字是6，如果把这个个位数字移到其余各位数字的最前面，所得的数正好是原数的4倍，那么，原数是　 　．
16．一个两位数，个位与十位上的数字交换位置后，所得的两位数比原来少54，原来的两位数最大是　 　．
三．解答题（共14小题）
17．将某个17位数各位数字的排列顺序颠倒，再将得到的新数与原来的数相加．试说明，所得的和中至少有一个数字是偶数．
18．一个三位数，三个数位上的数字之和是19，百位上的数字与个位上的数字的和是14，十位上的数字比百位上的数字少1，这个三位数是多少？
19．李阿姨2012年的纯收入是一个五位数，最低位上的数字是8，最高位上的数字是3，个位上的数字是十位上数字的2倍，前三位上的数字之和与后三位上的数字之和都是19，李阿姨2012年的纯收入是多少？（单位：元）
20．有一个四位数，它的个位和十位都是0，如果划掉个位的0，用原来的四位数减去这个三位数，它们的差是2340，那么原来这个四位数是多少？
21．一个三位数，末尾添上一个0后，就比原来大1008，这个三位数是多少？
22．将九个数组成三个三位数的和是1665，三个加数中的十位上的数字之和是多少？
23．某校的学生总数是一个三位数，平均每个班30人．统计员提供的学生总数比实际人数多90人．原来，他在记录时粗心的将这个三位数的百位与十位上的数字对调了．这个学校学生总数最多多少人？
24．15世纪意大利航海家哥伦布发现了美洲大陆，表示这一年的四个数字的和是16，十位数字比个位数字的4倍还多1．请你算一算哥伦布是哪一年发现美洲大陆的．
25．一个六位数，个位上的数字是7，十位上的数字是9，任意相邻三个数字之和是24，这个数是多少？
26．一个两位数，个位上的数是十位上的数的4倍，如果把十位上的数和个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大54．求原来的两位数．
27．将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大7992，那么所有符合这样条件的四位数中原数最大的是多少？
28．有一个四位数，4个数位上的数字之和是10，并且个位上的数字是百位上的2倍．
（1）你能写出4个这样的四位数吗？
（2）把（1）中的4个数按照从大到小的顺序排列起来．
29．有一个两位数，如果在它的左边添上“6”，就得到甲数；如果在它的右边添上“6”，就得到乙数．已知乙数比甲数少216，求这个两位数．
30．科学家贝尔在19世纪年）的某年发明了电话，该年份的各个数字之和是22，且个位数字比十位数字少1，你知道这是哪一年吗？
参考答案
一．选择题（共3小题）
1．【答案】
【分析】设：原两位数的十位数为，个位数为，则原两位数值为，交换后两位数的个位数为，十位数为，数值为，、为小于10的正整数．因为交换后的两位数比原来小27，所以：，进而得出．然后对、进行取值，解决问题．
【解答】解：设原两位数的十位数为，个位数为，由题意得：
，
则，，
因为、为小于10的正整数，
所以，8，7，6，5，4；
对应的，5，4，3，2，1
所以，85，74，63，52，41共有6个．
答：满足条件的两位数共有6个．
故选：。
对于位置原则问题，一般采取设未知数的方法，推出关系式，进行取值，解决问题．
2．【分析】根据位值原则，把表示为，计算得出．
【解答】解：，
，
；
故选：．
此题考查了学生用字母表示数以及对位值原则问题的解答能力．
3．【分析】根据“一个两位数是4的倍数，”可得：这个数一定能是偶数，那么个位数字可能：0、2、4、6、8，那么相对应的十位数字是：9、7、5、3、1；然后再验证90、72、54、36、18是不是4的倍数即可得出答案．
【解答】解：这个两位数一定能是偶数，那么个位数字可能：0、2、4、6、8，那么相对应的十位数字是：9、7、5、3、1；
这个两位数可能是：90、72、54、36、18，
其中90、54、18不是4的倍数，所以只有72、36是4的倍数；
故选：．
本题关键是根据能被2整除的数的特征，先确定个位数字，再根据各个数位上的数字的和是9确定十位数字，进而验证得出答案．
二．填空题（共13小题）
4．【分析】由题意，，因此，所以，即，所以，由、属于1至10中的数字，推出，，解决问题．
【解答】解：，
，
即，所以，、属于1至10中的数字）．
因此，；
所以，是15；
故答案为：15．
由题意推出，是解答此题的突破口．
5．【分析】十位上的数字就表示有几个10，所以十位上数字是，就是；个位上的数字表示有几个1，个位上数字是3，表示3；把它们相加即可．
【解答】解：十位数字为，个位数字为3的意义是个10与1个3的和．
也就是：．
故答案为：．
两位数十位数字个位数字，由此求解．
6．【分析】此题可用设未知数的方法解答，设个位上是，十位上是，由题意得：，解此方程，求出个位数字，进而求出十位数字，解决问题．
【解答】解：设个位上是，十位上是，由题意得：
，
，
，
；
十位数字是：，
这个两位数是：．
故答案为：46．
解决此类问题，一般要用到设未知数的方法，设出各位上的数字，解决问题．
7．【答案】330090000，100030029。
【分析】根据数位知识可知，一个数高位上数越小，这个数的值就越小，高位上的数越大，这个数的值就越大；这个数的各个数位上的数字之和是15，又知万位上的数字是亿位上的3倍，九位数亿位数是最高位，要想使这个数最大，则可使这个数的亿位为3，则万位就是9，千万位为，其余数位为0，即330090000；要想使这个数最小，则可使这个数的亿位为1，万位就是3，还剩，就把9放在个位上，2放在十位上，其余数位为0，即100030029。
【解答】解：九位数亿位数是最高位，要想使这个数最大，可使这个数的亿位为3，则万位就是，千万位为，其余数位为0，即330090000；
要想使这个数最小，则可使这个数的亿位为1，万位就是3，还剩，，就把9放在个位上，2放在十位上，其余数位为0，即100030029。
答：这个九位数最大应该是330090000，最小应该是100030029。
故答案为：330090000，100030029。
明确一个数高位上数越小，这个数的值就越小，高位上的数越大，这个数的值就越大的规律是完成本题的关键。
8．【分析】根据题意，设这个三位数是，即，如果把百位上的5放到个位上去，新的三位数是，即；又因为新的三位数比原三位数少135，即，可以求出与的关系式，又因为与是一位数，然后再进一步解答即可．
【解答】解：设这个三位数是，新的三位数是；
根据题意可得：
，
，
；
因为与是一位数，所以，当，，符合题意；
所以，原来是三位数是：540．
故答案为：540．
根据题意，设出这个三位数，然后根据两次变化，列出方程，然后再进一步解答即可．
9．【分析】设原数的十位数为，则个位数为，由题意可得：，解方程即可．
【解答】解：设十位数是，个位数是
；
个位数为：；
答：原来的数是35．
故答案为：35．
对于这类问题，一般采取设未知数的方法，通过解方程，解决问题．
10．【分析】设这个四位数除千位上的数字是4外的其他三位数字是，则原数为，变化后的数字为，根据“这个新的四位数就比原来少1107”由此列方程为：
．
【解答】解：设这个四位数除千位上的数字是4外的其他三位数字是，得：
原来的四位数是4321．
故答案为：4321．
此题解答的关键在于设剩下的剩下的三位数是，考查了整体数学思想的运用．
11．【答案】
【分析】本题可列方程进行推理解答：设这个两位数个位上数字为，十位上的数字为，则这个两位数就是；如果把这两个数字对调位置，组成一个新的两位数就是，则据这时新数比原数少27可得方程，然后解方程得解．
【解答】解：设这个两位数个位上数字为，十位上的数字为，由题意得：
答：原来的两位数是63．
故答案为：
完成本题的关键是通过设未知数，据题意列出等量关系式进行分析推理．
12．【分析】在一个数后面写上6，相当于原数扩大10倍，再加6；得到的新数应该是原数的10倍且多6，也就是说现在的数比原数增加了倍且多6，先从增加的数里减去6，再运用除法意义即可求得原数，再加上60即得新的自然数．
【解答】解：
答：新的自然数是66．
故答案为：66．
明确：在一个数后面写上6，就是说现在的数比原数增加了倍且多6，是解答本题的关键．
13．【答案】1250。
【分析】四位数的最高位上加1，四位数就加了10000，由此可得，（9﹣1）个原数是10000。原数即可求。
【解答】解：10000÷（9﹣1）
＝10000÷8
＝1250
答：原来的四位数是1250。
故答案为：1250。
明确四位数前添1，就相当于四位数加了10000是解决本题的关键。
14．【分析】根据位置原则表示出：，又因为已知，所以，再根据写出符合条件的数即可．
【解答】解：由题意得：
，
所以是11的倍数，又因为是两位数，所以，
，所以原数为：29、38、47、56、65、74、83、92．
答：符合条件的共有8个．
故答案为：8．
位值原则的解答思路是：一般情况下先用字母表示出已知的数，然后根据数量关系列出方程解答，需要注意的是：．
15．【分析】个位数字移到其余各位数字的最前面，即原来的个位变为十万位，原来的十万位变为万位，由此可设这个数前五位是，则原来是，现在是．根据题意可得：，解此方程求出后，即能求得原数是多少．
【解答】解：设前五位是，则原来是，现在是，可得：
，
，
，
所以这个数是153846．
答：原数为153846．
故答案为：153846．
根据数位知识设前五位为，并根据题意列出等量关系式是完成本题的关键．
16．【分析】设原两位数的十位数为，个位数为，则原两位数值为，交换后两位数的个位数为，十位数为，数值为，、为小于10的正整数．因为交换后的两位数比原来小54，所以：，进而得出．然后对、进行取值，解决问题．
【解答】解：设原两位数的十位数为，个位数为，由题意得：
则，，
因为、为小于10的正整数，
所以，8，7；
对应的，2，1；
所以，82，71共有3个；
最大的是93．
答：原来的两位数最大是93．
故答案为：93．
对于位置原则问题，一般采取设未知数的方法，推出关系式，进行取值，解决问题．
三．解答题（共14小题）
17．【分析】先假设和的各位数字全是奇数，设这个17位数为，则为奇数，的和小于10，于是十位不向前进位，从而去掉前后各两个两位数字所得的13位数仍具有题述性质，依此类推6次后，得到一位数，它与自身相加的和的个位数字必是偶数，矛盾．即开始的假设不正确，所以和中至少有一个数字是偶数．
【解答】解：设这个17位数为（中间有13位）；
假设和的各位数字全是奇数，则：
则为奇数，的和小于10，于是十位不向前进位；
从而去掉前后各两个两位数字所得的13位数仍具有题述性质；
同理依此类推6次后，得到一位数（最中间的数），
它与自身相加的和的个位数字必是偶数，这与假设矛盾；
所以所得的和中至少有一个数字是偶数．
解决本题关键是明确：奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，所以一个数加上它本身得到的数是偶数．
18．【分析】设十位上的数为，则百位数为，个位数为，题目中的相等关系是：个位上的数字十位上的数字百位上的数字，依据相等关系列出方程求解．
【解答】解：设十位上的数为，则百位数为，个位数为，依题意得：
则百位数为：，
个位数为：
所以这个三位数是658
答：这个三位数是658．
此题的关键是用代数式表示个、十、百位上的数．
19．【分析】由个位上的数字是十位的2倍，即可求出十位上的数字是；，百位数字是7，则千位上是，千位上是9，然后再进一步解答．
【解答】解：根据题意可得：个位数字是8，万位数字是3；
十位数字：
百位数字：
千位数字：
此数写作：39748．
答：李阿姨2012年的纯收入是39748元．
本题是考查整数的写法，关键是弄清每位上的数字．
20．【分析】原来这个四位数划掉个位的0后，原来这个四位数缩小了10倍，成为一个三位数，这时原来的四位数比这个三位数多了9倍，又因为它们的差是2340，故就是原来这个四位数．
【解答】解：
答：原来这个四位数是2600．
此题属于差倍问题，求出原来的四位数比这个三位数多了9倍，是解答此题的关键．
21．【分析】一个三位数，末尾添上一个0后，就扩大了10倍，原来的数就增加了9倍，正好增加了1008．那么，原来的数是，计算即可．
【解答】解：，
，
．
答：这个三位数是112．
此题解答的关键是理解：一个三位数，末尾添上一个0后，就比原来大9倍．
22．【分析】三个三位数的和是1665，我们从个位开始分析：个位数字是5，因为在中找不到三个不同的数字相加等于5的情况，故个位数字相加要向十位进1；又因为十位数字是6，去掉进位的1，应是5，结合前面分析，十位数字之和应为15．
【解答】解：三位数的和是1665，个位数字是5，因为在中找不到三个不同的数字相加等于5的情况，故个位数字相加要向十位进1；又因为十位数字是6，去掉进位的1，应是5，十位数字之和应为15．
答：三个加数中的十位上的数字之和是15．根据题目特点，选择灵活方法，进行解答．
结合和是1665，根据数字特点，从个位开始分析，得出答案．
23．
【分析】设这所学校的学生的总数是三位数，因为平均每个班30人，那么三位数中数字只能为0．已知统计员提供的学生总数比实际人数多90人，即．从此算式中，可以推出、的值，确定出的数值，解决问题．
【解答】解：设这所学校的学生总数是三位数，
平均每个班30人，那么三位数中数字只能为0．
根据题意有：，
即，
，
则．
那么数字，时，最大：
，，．
平均每个班30人，
，不符合题意舍去，
当，时，，
，符合题意
答：这个学校学生总数最多780人．
此题考查了解题技巧，设出学生总数是三位数，通过推理得出只能为0，再根据题意，确定出、的值，求出这个三位数．
24．【分析】由“15世纪”可知四个数字中的前面两个数字为14，所以后面两位数和为，由“十位数字比个位数字的4倍还多1”，设个位数为，则十位数字为，列方程为，解方程求出个位数字，再求得十位数字，解决问题．
【解答】解：由“15世纪”可知四个数字中的前面两个数字为14．
设个位数为，则十位数字为，得：
十位数字为．
因此四个数字为1、4、9、2．
答：哥伦布是1492年发现美洲大陆的．
此题先推出四个数字中的前面两个数字为14，再根据位置原则求出个位与十位数字．
25．【分析】根据个位上的数字是7，十位上的数字是9，又知任意相邻三个数字之和是24，那么个位十位百位，所以百位上的数字为：，逐步推算，得出千位、万位、十万位上的数字，解决问题．
【解答】解：个位上的数字是7，十位上的数字是9，
所以百位上的数字为：，
千位上的数字为：，
万位上的数字为：，
十万位上的数字为：，
所以这个六位数是：897897．
答：这个数是897897．
仔细审题，找到问题的突破口，此题先从：个位十位百位，求出百位上的数字，进而求出其他为上的数字，解决问题．
26．【分析】设这个两位数十位上的数字是，则个位上的数字是，原来这个数可以表示为，对调个位与十位上数字的位置后，这个数就是，然后根据后来的两位数减去原来的两位数等于54，列出方程求解．
【解答】解：设这个两位数十位上的数字是，则个位上的数字是，
所以这个数就是28．
解决本题要注意一个两位数的值十位数字个位数字的运用，由此找出等量关系，进而求解．
27．
【分析】根据题意，设原四位数为，，，，，， 为的整数，，那么，然后再根据减法的计算方法进行分析解答．
【解答】解：设原四位数为，，，．，，， 为的整数，，必定大于，且和均不为0，千位数相减；因为不成立，因为，个位数相减，所以，此时只有一种组合，即，，此结果为固定；
再看和，从十位数看，，所以，则；
从百位数看，，所以，也支持；
要想原数最大，在、值已固定的情况下，则唯使、，最大即可，即；
所以，这个四位数最大是1999．
本题关键是设出这个四位数的每个数位上的数，然后再根据减法的计算方法进行分析解答．
28．
【分析】先根据个位上的数字是百位上的2倍，找出个位和百位上的数字，再根据4个数位的数字和是10进行求解．
【解答】解：（1）先确定个位和百位，个位上的数字是百位上的2倍，那么存在一下可能：
①个位上数字是2，百位是1，
，
剩下的两个数字的和是7，
可以是，，，；
这样的四位数有7102，6112，1162，2152，5122，3142，4132；
②个位上数字是4，百位上是2，
，
剩下的数字和是4，可以是：
，，，
这样的四位数有：4204，1234，3214，2224；
③个位上数字是6，百位上是3，
，只能是；
剩下的数字和是1，这样的四位数是1306．
④个位上是8，百位上是4，不成立；
从上面的四位数中找出四个即可，如：7102，6112，1162，2152．
（2）7102，6112，1162，2152从大到小排列如下：
．
本题先根据个位上的数字和百位上数字之间的关系，找出这个数的百位和个位数，再进一求解．
29．
【分析】本题可列方程进行推理解答：设这个两位数为，如果在它的左边添上“6”，就得到甲数，则甲数是；如果在它的右边添上“6”，就得到乙数，则乙数是，则据乙数比甲数少216可得方程，解方程得解．
【解答】解：设这个两位数为，由题意得：
答：这个两位数是42．
完成本题的关键是通过设未知数，据题意列出等量关系式进行分析推理．
30．【分析】由题意可知，该年份是一个四位数，前两位分别是1和8，后两位的和是，再由个位数字比十位数字少1可知个位是，十位是．
【解答】解：
答：这一年是1876年．
本题主要考查和差问题，求出个位数字与十位数字的和是解答本题的关键．

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