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专题9-约数个数与约数和定理
小升初数学思维拓展数论问题专项训练
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、约数个数与约数和定理。
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×pk那么：
n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）
n的所有约数和：f（n）=（p10+p11+p12+…p1a1）（p20+p21+p22+…p2a2）…（pk0+pk1+pk2+…pkak）
【典例一】类似6、28、496、的数称之为完美数，因为这些数的所有因数的和正好等于它本身的2倍，如．则完美数496有　　个因数．
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，然后把496分解质因数，解答可得出答案．
【解答】解：
（个
答：完美数496有10个因数．
故选：．
此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共有个约数．
【典例二】要将30个苹果放入篮子里．如果每次放入的个数相同，在若干次后能够刚好放完，一共有　　种拿法．
【分析】如果每次放入的个数相同，且若干次后能够刚好放完，说明每次放的个数是30的因数，那么30有几个因数，就有几种拿法，然后求出30的因数的个数，去掉30这个因数即可．
【解答】解：
（种
（种
答：一共有7种拿法．
故答案为：7．
此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共有个约数．
【典例三】因数和是指一个数所有因数的和，例如“6”的因数和是．
（1）24的因数和是多少？
（2）一个自然数有5个因数，求因数和最小是多少？
（3）一个数的因数和是78，求这个数是多少？
【分析】（1）把24分解质因数，求和即可；
（2）一个自然数有5个因数，因数的个数是奇数个，所以它是完全平方数，这个自然数只能是某个质数的4次方，这个自然数最小是据此解答；
（3）把78分解质因数，
【解答】解：60；31；45
（1），所以因数和为：；
（2）5不能分解质因数了，这个自然数只能是某个质数的次方，这个数最小是，因此因数和最小为：；
（3），分解各个因数，看是否能组成各个数的形式相乘；
经试验，，，，不合题意舍去；
，可以得出符合要求，
所以这个数为：；
此题是数论中的约数个数问题以及因数和公式的逆运用，关键是知道因数和公式是什么，即（简单地说就是每个质因数从0次方加到它的最高次方，然后连乘）．
一．选择题（共4小题）
1．《西游记》中孙悟空跟普提祖师学筋斗云和七十二般变化，其中72的因数一共有　　个。
A．10个 B．11个 C．14个 D．12个
2．、、是各不相同的自然数，且，那么的因数至少有　　个．
A．2 B．3 C．4
3．48有　　个因数。
A．8 B．10 C．12 D．16
4．已知，那么的全部因数的个数有　　
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
二．填空题（共11小题）
5．已知，则300一共有 　　个不同的因数。
6．一个数的因数有　　个．
7．有一个自然数含有10个不同的约数，但质约数只有2和3．那么，这个自然数最大是　　．
8．自然数有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为196，有　 　个因数．
9．、两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数为36，已知有12个约数，有9个约数．那么的最小值是　　．
10．64的因数共有　 　个，它所有因数的和是　 　．
11．24和60的公约数共有　 　个，把其中最大的公约数分解质因数是　 　．
12．有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是　 　．
13．实验小学五年级（2）班有48名同学，要分为人数相等的活动小组（每组不能是1人或48人），共有　　种不同的分法．
14．某自然数是3和4的倍数，包括1和它本身在内共有10个因数，那么这个自然数是　　。
15．有一个三位数，它的所有约数的和等于它的2倍减去1．这个三位数可以是　　．
三．计算题（共2小题）
16．已知，则300一共有多少个不同的因数？
17．100以内恰有6个因数的数有多少个？
四．解答题（共4小题）
18．有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。
19．一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
20．求240的全部因数的个数？
21．求的因数的个数
参考答案
一．选择题（共4小题）
1．【答案】
【分析】根据求一个数因数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数因数的个数。
【解答】解：
（个
答：其中72的因数一共有12个。
故选：。
此题主要考查一个合数的因数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的因数共有个因数。
2．【分析】首先、、肯定是的因数，而且互不相等，所以有三个；然后再考查1，1肯定是的因数，问题是会不会与上面的三个重复，首先，这个很明显；然后，如果，则，这与题干相矛盾，所以也不等于1；同样地，也不等于1；也就是说1、、、是互不相等的，至少有四个数是的因数．
【解答】解：根据分析可知：的因数至少有1、（或的积）、、；共4个；
答：的因数至少有4个．
故选：．
根据找一个的因数的方法和筛选法进行解答即可．
3．【答案】
【分析】先把48分解质因数，然后根据求一个数因数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数因数的个数，解答可得出答案。
【解答】解：
共有：
（个
答：数48有10个因数。
故选：。
此题主要考查一个合数的因数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的因数共有个因数。
4．【分析】由求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，由此即可得出答案．
【解答】解：因为，
所以有的约数的个数是：（个；
故选：．
此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数．
二．填空题（共11小题）
5．【答案】18。
【分析】已知，可以写成：，由此利用求因数个数的定理即可求得它的因数个数。
【解答】解：
所以300的因数个数为：
（个
答：300一共有18个不同的因数。
故答案为：18。
此题主要考查一个合数的因数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的因数共有个因数。
6．【分析】根据，即1个3、2个4、3个5相乘，所以的因数的个数是（个
【解答】解：因为，所以的因数的个数为：
（个
故答案为：24．
本题主要考查求一个数的因数的个数．注意：求一个数的因数的个数的方法：先把这个数分解质因数，得到，则全部因数的个数为．其中为质因数，为这个质因数的个数．
7．
【分析】首先把10分成两个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使3的个数最多，算出乘积比较得出答案．
【解答】解：因为，
所以一个自然数有10个不同的约数，则这个自然数最大：；
故答案为：162．
此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数．
8．【分析】因为最小的因数是1，最大的因数是它本身，最小的两个因数之和，则组成加法算式的另一个因数是；这说明是3的整倍数．另一个因数，196不能被3整除，说明另一个因数不是3的倍数．又另一个因数是除外最大的因数，那么另一个因数是，由此得出，求出的值即可解决问题．
【解答】解：因为最小的因数是1，且最小的两个因数之和是4，所以除了1之外最小的因数是：，
由此可知：是3的倍数，
因为最大的因数是它本身，且最大的两个因数之和是196，因为196不是3的倍数，所以除了本身之外的最大的因数不是3的倍数，所以这个最大的因数是：，
所以：，
，
，
，
所以147的因数有1、3、7、21、49、147，共有6个．
故答案为：6．
根据题干，抓住最小的因数是1和最小的两个因数之和是4，得出是3的倍数，从而根据能被3整除的特点，判断出除了它本身以外的最大的因数是，是解决本题的关键．
9．
【分析】因为有9个约数，根据完全平方数的约数个数是奇数个的特点，可知是一个完全平方数；又因为、两数都只含有质因数3和2，所以是；再根据、的最大公约数是36，说明是的倍数，由此即可得出的最小值是，由此即可解答．
【解答】解：是；
又因为、的最大公约数是36，说明是的倍数，
则的最小值是，
所以，
故答案为：108．
抓住的约数个数是9，得出是一个含有质因数2和3的完全平方数，求得是36是解决本题的关键．
10．【分析】根据一个数的因数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，依次列出所有因数，据此解答即可．
【解答】解：64的因数有1、2、4、8、16、32、64共7个，它们的和为．
故答案为：7，127．
此题考查了找一个数因数的方法，应注意理解和应用．
11．【分析】先把24和60分解质因数，求出最大公因数，最大公因数的因数，就是24和60的公约数；然后再把最大的公约数分解质因数即可．
【解答】解：
24和60的最大的公约数是：
所以，24和60的公约数有：1、12、2、6、3、4，共6个．
其中最大的公约数是12，分解质因数是：．
故答案为：6；．
本题主要考查分解质因数和求两个数的最大公约数，注意掌握求两个数的最大公约数的方法，以及分解质因数及求一个数因数的方法．
12．【分析】先把最小公倍数是2800分解质因数，，根据“一个有9个约数，”它的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数；又可知这个数的质因数的指数加1的积是：；所以这个数是；同理，根据“一个有10个约数，”可知这个数的质因数的指数加1的积是：，所以这个数是，据此解答．
【解答】解：，
设第一个数是，第二个数是，
因为它的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数；则它的质因数的指数加1的积是：
；
所以这个数是：；
同理，的质因数的指数加1的积是：
，
所以这个数是：；
答：这两个数分别是100和112．
故答案为：100，112．
此题是数论中的约数个数问题；即一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数．
13．
【分析】求共有几种不同的分法，即求48的约数的个数，根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，再减去2；据此解答．
【解答】解：，
所以48的约数有：（个，
（个；
故答案为：8．
此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共个约数．
14．【答案】48。
【分析】自然数是3和4的倍数，则必然是3和2的倍数。包括1和它本身在内共有10个因数，，结合约数和定理可知，这个自然数由（个和（个的积构成，即。
【解答】解：，
。
这个自然数为48。
故答案为：48。
本题考查约数个数与约数和定理，属于中档问题。
15．
【分析】首先因为它的所有约数的和等于它的2倍减去1，说明去掉约数1，约数和是2的倍数，只能从约数只含有2的考虑：2、4、8、16、32、，进一步找出里面的三位数有128、256、512三个，再进行验证得出答案即可．
【解答】解：因为它的所有约数的和等于它的2倍减去1，
所以约数和是一个奇数，
因此非2质因数的个数为偶数个；
假设这个三位数只有质因数2，即；
约数和为：
符合题意，此时满足条件的为：7、8、9，即这个三位数为128、256、512；
假设这个三位数除了质因数2外，还有因数，即，
约数和为：
所以，，
因为为质数，所以，不为0，
所以，
解得，，
综上所述，这个三位数没有非2质因数。
故答案为：128，256，512．
解答此题的关键，找出约数和是偶数的，要从每一个因数都是偶数考虑，利用极端的思想解决问题．
三．计算题（共2小题）
16．【答案】18个。
【分析】已知，可以写成：，由此利用求因数个数的定理即可求得它的因数个数。
【解答】解：
所以300的因数个数为：
（个
答：300一共有18个不同的因数。
此题主要考查一个合数的因数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的因数共有个因数。
17．【答案】16个。
【分析】一个合数恰有6个因数，这个数如果只有1种质因数，则这个数是5个相同的质因数相乘的积，这个数如果含有2种不同质因数，如和，则这个数是2个相乘的积再乘1个的积，这个数不可能含有3个或3个以上质因数。
【解答】解：
答：100以内恰有6个因数的数有12，18，20，28，32，44，45，50，52，63，68，75，76，92，98，99，共16个。
解答此题关键在于分析有6个因数的数，它的因数除了1和本身外，另外4个因数的构成情况，这4个因数第一种情况分别是质数和、、，第二种情况分别是质数、质数和、。
四．解答题（共4小题）
18．【答案】75。
【分析】约数是指这个数的所有的因数，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身；最小的两个约数中，一定有一个是1，则另一个是；最大的约数是第二大的约数的3倍，而最大的两个约数之和为100，则第二大的约数为，即可求出最大的约数，进而求出这个自然数。
【解答】解：根据分析可得：
最小的两个约数中一定有一个是1，因此另一个是，
最大的两个约数是：
所以最大的两个约数是25和75，这个自然数就是75。
答：这个自然数是75。
此题解答的关键是先求出最小的两个约数，根据最大的约数是第二大的约数的3倍，求出最大的两个约数，进而得出这个自然数。
19．【答案】98。
【分析】最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，然后根据数的奇偶性以及倍数关系推断即可。
【解答】解：最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为：，
由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，
如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数，
于是2是这个数第二小的约数，
而第三小的约数是：，
所以这个两位数是的倍数，
由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，
所以这个数只能是14或98，
其中有6个约数的是98。
答：此数为98。
解答本题的突破口是明确“任意一个非零的自然数都含有最小的因数1”，以此得出剩下两个较小因数的关系。
20．【分析】把240分解因数是：，因数共有：（个；据此解答．
【解答】解：，
因数共有：（个；
答：240的全部因数的个数是20个．
本题考查了约数个数定理，关键是知道求约数个数的定理，约数个数等于各质因数的指数加1的积．
21．【分析】根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，解答即可．
【解答】解：，
共有（个约数，
答：它的约因共有168个．
此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：（其中为合数，、、是质数），则的约数共有个约数．

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