资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“二次根式”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《义务教育课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.“数与式”是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.课标的内容要求:了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算.数与式的教学,教师应把握数与式的整体性,一方面,通过负数、有理数和实数的认识,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象,知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达,进而体会实数与数轴上的点一一对应的数形结合的意义,会进行实数的运算;另一方面,通过代数式和代数式运算的教学,让学生进一步理解字母表示数的意义,通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.在教学过程中,要关注数学知识与实际的结合,让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律,经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念;要关注基于代数的逻辑推理,能在比较复杂的情境中,提升学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力.
2.本单元教学内容分析
人教新课标版教材八年级下册第十六章“二次根式”,本章包括三个小节:16.1二次根式;16.2二次根式的乘除;16.3二次根式的加减.
我们知道,因为字母符号表示数,所以可以将字母和数(实际上都是符号)一起进行各种各样的运算,而且在运算上满足运算律.前面已经学习了单项式、多项式和分式等概念和运算,从中可以发现,式的运算在本质上就是对符号运用运算律所进行的形式运算.例如,两个多项式相乘,就是利用分配律把它化归为单项式乘积的和来运算,而单项式的乘积则是用乘法的交换律、结合律和指数运算法则来计算.本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算.通过本章学习,学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构,并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备.
在“实数”一章中,学生已经学方根、算术平方根的概念,以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系,求非负数的平方根和算术平方根的方法.在此基础上,本章将进一步研究二次根式的概念、性质和运算,目的是以二次根式这一类典型的“式”为载体,进一步学习对数字、符号进行运算的方法,体会通过符号运算所得结果的一般性,进而培养符号意识和运算能力.
本章重点是二次根式的运算和运算法则;难点是在理解二次根式的性质和运算法则的基础上,养成良好的运算习惯.实际上,运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关,这也是在整个“数与代数”领域中需要注意的问题.关于本章中如何加强符号意识、运算能力的培养问题,我们在后面的教学建议中再来讨论.
三、单元学情分析
在“数与代数”中,二次根式是重要内容之一.前面学生较系统地学习了有理数及其运算;学方根和算术平方根、立方根的概念、用根号表示数的平方根、立方根;知道了开方与乘方互为逆运算,会用平方运算和立方运算求某些非负数的平方根以及某些数的立方根;了解了无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点是一一对应的,并对有理数的运算性质和运算法则在实数运算中仍然成立有所体验.通过本章学习,学生将加深对二次根式概念的认识,通过学习二次根式的四则运算法则,对实数的四则运算有进一步的了解.因此,教学时应充分注意在“实数”一章的基础上进行,并加深对平方根和算术平方根的概念、无理数和实数的概念以及运算等的理解和应用.
四、单元学习目标
1.了解二次根式的概念,知道被开方数必须是非负数的理由.
2.了解最简二次根式的概念.
3.理解二次根式的性质:≥0(a≥0);()2=a(a≥0);=a(a≥0).
4.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算.
5.了解代数式的概念,进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
五、单元学习内容及学习方法概览
第1课时　二次根式的概念
课时目标
1.理解二次根式的概念,弄清其被开方数是非负数这一要求.
2.理解二次根式的非负性,会求使二次根式有意义的条件.
3.能初步运用二次根式的概念和性质解决简单实际问题.
4.提出问题,根据问题归纳形成二次根式的概念,应用概念解决实际问题.
5.培养观察、发现、分析问题的能力,增强学生科学研究的意识.
学习重点
　 二次根式的概念.
学习难点
　 二次根式有意义的条件.
课时活动设计
复习引入
1.回顾平方根和算术平方根的概念.
2.若正方形的面积为S,则正方形的边长为 　.
设计意图:使学生回顾平方根和算术数平方根的知识点,为本节课的学习做准备.
自主探究
1.用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:
(1)面积为3的正方形的边长为 　,面积为S的正方形的边长为 　.
(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为 　m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2,如果用含有h的式子表示t,那么t为 　.
师生活动:教师提出问题,学生独立完成.
(1)所填的式子分别表示什么意义 又有什么特点
师生活动:老师引导,学生讨论各式的意义,概括出总特征:都是非负数的算术平方根.
(2)什么叫二次根式 成立的条件是什么
师生活动:学生发言交流,得出答案,教师展示答案,并引导学生进行猜想.
2.当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义 呢
老师提问:
(1)x2≥0与x3≥0是否一定成立 为什么
(2)式子一定成立吗
(3)若有意义,则x的取值范围是什么
师生活动:教师引导学生讨论,知道二次根式的被开方数必须是非负数.
设计意图:让学生以填空的形式初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,为概括二次根式作铺垫.
知识归纳
1.一般地,我们把形如 (a≥0)　的式子叫做二次根式,“”称为　二次根号　.
2.(a≥0)既是一个二次根式,又表示非负数a的　算术平方根　,所以具有“双重非负性”,即:a　≥0　,　≥0　.
3.判断一个式子是否为二次根式,应该从两个方面进行考虑:①是否带有“”;②被开方数是否为非负数.
设计意图:结合上个环节的学习过程,通过自主思考,引导学生观察、发现规律,并进行归纳总结,提高学生“发现知识”的能力.
例题精讲
例1　当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义
解:由x-2≥0,得x≥2.
当x≥2时,在实数范围内有意义.
例2　下列各式中,哪些是二次根式 哪些不是二次根式
(1);(2)(a<0);(3)(x≤3);(4);(5).
解:(1)(3)(5)是二次根式,(2)(4)不是二次根式.
例3　求使下列式子在实数范围内有意义的x的取值范围.
(1);(2);(3).
解:(1)由题意,得4-3x>0,解得x<.∴当x<时,在实数范围内有意义;
(2)由题意,得解得x≤3,且x≠2.∴当x≤3,且x≠2时,在实数范围内有意义;
(3)由题意,得解得x≥-5,且x≠0.∴当x≥-5,且x≠0时,在实数范围内有意义.
例4　先观察下列等式,再回答问题.
=2,=3,=4,…
(1)类比上述式子,再写出几个同类型的式子;
(2)你能看出其中的规律吗 用字母表示这一规律.
解:(1)答案不唯一.例如:=5,=6;(2)=n(n>1,且n为正整数).
设计意图:巩固所学知识,加深学生对二次根式的被开方数为非负数的理解,提高学生知识的综合运用能力.
学以致用
1.教材第3页练习第1,2题.
2.要使式子+有意义,则x应该满足　x≥2,且x≠3　.
3.△ABC三边的长分别为a,b,c,其中a和b满足b2-4b+4+=0,求c的取值范围.
解:依题意,得(b-2)2+=0,∴b=2,a=5.又∵a,b,c为三角形的三边长,∴5-2设计意图:辨析二次根式的概念,确定二次根式有意义的条件,考查学生灵活运用的能力,开阔学生的视野,训练学生的思维.
课堂小结
1.二次根式的概念及其与算术平方根的关系.
2.二次根式的非负性及应用.
设计意图:学生共同总结,互相取长补短,老师给予表扬,最后进行总结,再一次突出本节课的学习重点,掌握解题方法.
.
1.教材第5页习题16.1复习巩固第1,3题,综合运用第5,7题.
2.相关练习.
第1课时　二次根式的概念
　　　二次根式的概念.
例1　例2　例3　例4
教学反思

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