资源简介

5.3.2　命题、定理、证明
第1课时　命题
课时目标
1.掌握命题的概念,并能分清命题的组成.
2.通过探究、交流等形式,使学生在思考中获得知识体验.
3.在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质.
学习重点
知道命题的含义,会区分命题的条件和结论.
学习难点
能区分命题的条件和结论,会把一些简单命题改写成“如果……那么……”的形式.
课时活动设计
情境引入
“鸟是动物.”“鸟是动物吗 ”
思考一下两个句子在叙述上有什么区别
设计意图:通过创设情境,为引出新课埋下伏笔.
探究新知
探究1:下面的语句中,哪些语句对事情作出了判断,哪些没有 与同伴进行交流.
(1)任何一个三角形一定有一个角是直角.
(2)对顶角相等.
(3)无论n为怎样的自然数,式子n2-n+11的值都是质数.
(4)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
(5)你喜欢数学吗
(6)作线段AB=CD.
学生经过思考,自主探究,与同伴交流,借助语文的经验,可以得到正确的结论.
教师指出:判断一件事情的语句,叫做命题.例如,上面的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断,都是命题.
如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.
探究2:观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特征吗
(1)如果两个三角形的三条边相等,那么这两个三角形的周长相等;
(2)如果两个数的绝对值相等,那么这两个数也相等;
(3)如果一个数的平方等于9,那么这个数是3.
解:都是“如果……那么……”的形式.
探究3:观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗
命题1:如果一个数能被4整除,那么它也能被2整除.
命题2:如果两个角互补,那么它们是邻补角.
解:命题1是正确的命题,命题2是错误的命题.
真命题:如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题.
假命题:题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.
设计意图:通过分析、思考、自主探究,引出命题、真假命题的概念,引申出命题的结构特征.
归纳总结
命题概念:判断一件事情的语句,叫做命题.
命题的组成:题设和结论.
命题的分类:
真命题:如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题.
假命题:题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.
设计意图:对本节知识进行了梳理,使学生熟悉命题的概念、组成和分类,培养学生的语言表达能力.
典例精讲
例　下列句子哪些是命题 是命题的,指出是真命题还是假命题.
(1)猪有四只脚;
(2)内错角相等;
(3)画一条直线;
(4)四边形是正方形;
(5)你的课后作业做完了吗
(6)同位角相等,两直线平行;
(7)同角的补角相等;
(8)垂直于同一条直线的两直线平行;
(9)过点P画线段MN的垂线;
(10)x>2.
解:命题有(1)(2)(4)(6)(7)(8);真命题有(1)(6)(7)(8).
设计意图:通过例题,熟悉新知,让学生感受数学的严谨性.
巩固训练
1.下列句子中,不是命题的是(　C　)
A.三角形的内角和等于180°　　　　B.对顶角相等
C.过一点作已知直线的垂线 D.两点确定一条直线
2.下列句子中,哪些是命题 哪些不是命题
(1)正数大于一切负数吗
(2)两点之间线段最短.
(3)不是无理数.
(4)作一条直线和已知直线平行.
解:(2)(3)是命题;(1)(4)不是命题.
3.下列命题:
①两点确定一条直线;②两点之间,线段最短;③对顶角相等;④内错角相等;
其中真命题的个数是(　C　)
A.1个　　　　　　　B.2个　　　　　　　C.3个　　　　　　　D.4个
4.下列命题是真命题的是(　D　)
A.相等的角是对顶角
B.如果一个数能被3整除,那么它也能被6整除
C.同旁内角互补
D.同位角相等,两直线平行
设计意图:这个环节是巩固本课知识点,在这部分的设计中,主要是发挥学生作为教学主体的主动性,让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦.
课堂小结
1.今天我们学习的内容是
2.我们学到了哪些呢
设计意图:通过小结,使学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
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1.教材第21页练习第1,2题,第24页习题5.3第12题.
2.相关练习.
第1课时　命题
　　　 1.命题.
2.命题的组成.
3.真命题;
假命题.
教学反思

第2课时　定理、证明
课时目标
1.通过探究、交流等形式,理解和掌握定理的概念,了解证明(演绎推理)的概念.
2.通过例题的讲解,了解证明的基本步骤和书写格式.
3.能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题.
4.通过对问题的解决,使学生有成就感,培养学生的探索精神和学习数学的兴趣.
学习重点
理解并掌握定理的概念,了解证明(演绎推理)的概念.
学习难点
了解证明的基本步骤和书写格式,并能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题.
课时活动设计
情境引入
考考你的眼力!观察几副“神奇”的图案,并结合问题思考、回答.
第一幅图:横向的线都是互相平行的吗
解:这些横向的线都是互相平行的!
第二幅图:你能看到几个黑色的点
解:其实一个黑色的点都没有!
第三幅图:这两条线段哪条长
解:其实这两条线段一样长!
因此,判断一个结论是否正确,仅靠观察、猜想、试验还不够,必须要有根有据的推理过程才能确定.
设计意图:创设情境,激发学生学习的兴趣和求知欲.
回顾旧知
1.下列语句中,哪些是命题 哪些不是
(1)经过直线AB外一点P,作AB的平行线.
(2)经过直线AB外一点P,可以作一条直线与AB平行吗
(3)经过直线AB外一点P,有且只有一条直线与这条直线平行.
(4)若|a|=-a,则a<0.
解:(1)不是.(2)不是.(3)是.(4)是.
2.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式:
(1)互补的两个角不可能都是锐角;
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.
解:(1)如果两个角互补,那么这两个角不可能都是锐角.
(2)如果两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线平行.
3.判断下列命题的真假.
(1)如果两个数的和为0,这两个数互为相反数;
(2)如果这两个角互补,两个角是邻补角.
(3)内错角相等,两直线平行.
(4)相等的角是对顶角.
解:(1)真命题.(2)假命题.(3)真命题.(4)假命题.
设计意图:通过对学习过的知识回顾,可以激发学生们的学习兴趣,将学生的注意力转移到课堂上来.
探究新知
探究1:定理的概念.
交流:论证几何,源于希腊数学家欧几里得的《原本》,这部著作可以说是数学史上第一座理论丰碑,它确立了数学中公理化的演绎范式.
这种范式要求学科中每个真命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论;所有推理的原始共同出发点是一些基本的定义和基本事实.
如:“对顶角相等”“同角的补角相等”等.
其中“对顶角相等”是从“基本事实”出发,“同角的补角相等”是从“其他真命题”出发.
探究2:证明的概念.
思考:如何判断命题是真命题呢
探究3:请你试着证明“内错角相等,两直线平行”.
已知:如图,直线c与直线a,b相交,且∠1=∠2.
求证:a∥b.
分析:①已知∠1=∠2;②∠1=∠3(对顶角相等);③学过的判断平行的依据“同位角相等,两直线平行”.
证明:∵∠1=∠2(已知),
又∵∠1=∠3(对顶角相等),
∴∠2=∠3(等量代换).
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
设计意图:1.以交流的方式讨论本节要学习的知识,让学生很轻松地进入学习的状态,从而总结得到定理的概念,由定理的概念引出思考,使内容更加连贯,从而引出证明的概念.
2.通过具体实例,让学生进一步了解证明,并熟悉证明的过程.
归纳总结
1.从基本事实或其他真命题出发,用推理方法判断为正确的,并被选作判断命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
2.从已知条件出发,依据定义、基本事实、已证定理,并按照逻辑规则,推导出结论,这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程,就是演绎证明,简称证明.
3.证明的一般步骤:
①理解题意:分清命题的条件(已知)、结论(求证);②根据前边的分析,写出已知、求证(如果问题与图形有关,要根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号);③分析因果关系,找出证明途径;④有条理地写出证明过程.
设计意图:培养学生的总结概括能力和语言表达能力.
典例精讲
例1　如图,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC.
求证:OE⊥OF.
分析:要证明的是OE⊥OF,只要能得到∠1+∠2=90°即可.
已知:①∠AOB+∠BOC=180°;
②OE平分∠AOB,即∠1=∠AOB;
③OF平分∠BOC,即∠2=∠BOC.
证明:∵OE平分∠AOB,OF平分∠BOC(已知),
∴∠1=∠AOB,∠2=∠BOC(角平分线的定义).
又∵∠AOB+∠BOC=180°(已知),
∴∠1+∠2=∠AOB+∠BOC=90°(等式性质).
∴OE⊥OF(垂直的定义).
例2　已知:如图,直线b∥c,a⊥b.
求证:a⊥c.
分析:关键是得到∠2等于90°.
证明:∵a⊥b(已知),
∴∠1=90°(垂直的定义).
∵b∥c(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
∴∠2=∠1=90°(等量代换).
∴a⊥c(垂直的定义).
设计意图:通过典型例题的分析和讲解,让学生进一步巩固对证明的认识和理解,并熟练掌握证明的过程.
巩固训练
1.如图,直线l1∥l2,l3⊥l4,有三个命题:①∠1+∠3=90°;②∠2+∠3=90°;③∠2=∠4.下列说法中,正确的是(　A　)
A.只有①正确　　B.只有②正确　　C.①和③正确　　D.①②③都正确
2.在下面的括号内,填上推理的依据.
如图,AB∥CD,CB∥DE,
求证:∠B+∠D=180°.
证明:∵AB∥CD,
∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵CB∥DE,
∴∠C+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠B+∠D=180°(等量代换).
设计意图:这个环节是巩固本课知识点,在这部分的设计中,主要是发挥学生作为教学主体的主动性,让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦.
课堂小结
1.今天我们学习的内容是
2.我们学到了哪些呢
设计意图:通过小结,使学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
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1.教材第22页练习第1,2题,第23,25页习题5.3第6,13(2)题.
2.相关练习.
第2课时　定理、证明
　 1.定理:从基本事实或其他真命题出发,用推理方法判断为正确的,并被选作判断命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
2.证明:从已知条件出发,依据定义、基本事实、已证定理,并按照逻辑规则,推导出结论,这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程,就是演绎证明,简称证明.
3.证明的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知)、结论(求证).
(2)根据前边的分析,写出已知、求证(如果问题与图形有关,要根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母和符号).
(3)分析因果关系,找出证明途径.
(4)有条理地写出证明过程.
教学反思

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