资源简介

2.2空间向量及其运算（1）
一、课程标准
经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念，经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
二、教学目标
1.理解空间向量的概念。
2.掌握空间向量的线性运算。
3.掌握共线向量定理及其应用。
三、内容与学情分析
本节课是高中数学选择性必修第二册《第2章空间向量与立体几何》的第2课《空间向量及其运算》第1课时，介绍空间向量的基本概念，空间向量的加减法，向量与实数相乘等部分内容。
本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分，一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始章节，是在学生学面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。
四、教学重难点
重点：空间向量的有关概念，掌握空间向量的线性运算，掌握共线向量定理，掌握共线向量定理及其应用。
难点：理解空间向量的概念，掌握共线向量定理及其应用。
五、教学过程设计
（一）情景引入
国庆期间，某游客从上海世博园（O）游览结束后乘车到外滩（A）观赏黄浦江，然后抵达东方明珠（B）游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
图1 图2
如果游客还要登上东方明珠顶端（D）俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
（二）新知探究
思考1：基本概念的类比
平面向量 空间向量
定义 既有大小又有方向的量
平移 自由向量，平移后不发 生改变
表示法 几何表示： 字母表示：，
向量的模 向量的大小，||
相等向量 方向相同且长度相等
相反向量 方向相反且长度相等
单位向量 长度为1的向量
零向量 长度为0的向量
思考2：线性运算法则的类比
平面向量 空间向量
加法运算 三角形法则或平行四边形法则
减法运算 三角形法则
数乘运算 （k为正数，负数，零）
思考3：运算律的类比
平面向量 空间向量
加法 交换律
加法 结合律
向量加法分配律和实数加法的分配律
结论1：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量；
结论2：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。
问题4：共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量。
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有o∥a。
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b
(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb。
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa
.
（三）典例解析
例1.如图2.2-1，在正方体中：
（1）向量，，与向量相等吗？
（2）向量，，与向量是相反向量吗？
例2.如图2.2-5，已知平行六面体
，化简下列各式：
（1）
（2）
例3．如图2.2-6，平行六面体中，点M在线段上，且，点N在线段上，且。
求证：M，N，三点在一条直线上。
（四）课堂练习
练1.如图，从长方体的八个顶点中任取两点作为向量的起点和终点：
（1）写出所有与相等的向量；
（2）写出的相反向量。
练2.已知平行六面体，化简下列各式：
（1）;（2）;
（3）
（五）课堂小结
1.空间向量的基本概念。
2.空间向量的线性运算法则及运算律。
3.运算律。
4.共线向量。
（1）定义；（2）方向向量；（3）共线定理
结论1：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量；
结论2：三个不共面的向量的和等于以这三个向量
为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量
（六）布置作业
课本70页 习题2.2第1-4题
（七）板书设计
空间向量及其运算 1.基本概念 2.线性运算法则 3.运算律 结论1：结论2： 4.共线向量 希沃白板投影 例1 训练1 例2 训练2 例3 训练3 范例书写 例3证明过程
六、教学反思
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