资源简介

2.3.1空间向量的分解与坐标表示（1）
一、课程标准
了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
二、教学目标
通过复习平面向量的坐标运算，类比得出空间向量加减运算和数乘运算的坐标表示，掌握判断两空间向量平行的方法，了解定比分点公式。
三、内容与学情分析
本节课是高中数学选择性必修第二册《第2章空间向量与立体几何》的第三节内容的第一课. 本节内容主要是通过类比平面向量基本定理，得到空间向量基本定理。由于学生已经有了平面向量和立体几何初步的知识基础，因而不难将平面向量基本定理推广到空间中，但是仍需一步步进行，并比较两者的不同。在推广的过程中，用到了一维向量基本定理（向量共线定理）和二维向量基本定理（平面向量基本定理），得到了三维向量基本定理（空间向量基本定理）。
四、教学重难点
重点：空间向量加减运算和数乘运算的坐标表示，了解空间向量基本定理及其意义。
难点：两空间向量平行的判定，空间向量基本定理的推导过程。
五、教学过程设计
（一）复习引入
回顾所学知识，思考并回答以下问题：
1.平面上任意两个向量是否共线？
小结：平面上任意两个向量a，b(b≠0)，则a//b存在唯一实数k，使得a=kb.
2.空间中任意两个向量是否共面？
小结：共面向量的定义.
3.空间中任意三个向量是否共面？
小结：空间中，如果两个向量e1，e2不共线，那么任意向量p与向量e1，e2共面存在唯一的有序实数组（x,y），使得p=xe1+ye2.
（二）新知探究
1.（1）若向量b≠0，向量a与b共线，则存在唯一实数k，使得a=kb——共线向量基本定理（一维）.
（2）若e1，e2是平面内两个不共线向量，p是平面内任意一个向量，则存在唯一的有序实数组（x,y），使得p=xe1+ye2——平面向量基本定理（二维）.
结合上面两个定理，你能给出空间（三维）中的一个类似定理吗？
由刚刚的讨论中可以小结出：若e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，p是空间中任意一个向量，则存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p=xe1+ye2+ze3——空间向量基本定理（三维）.
归纳、猜想得到的数学结论未必是正确的，必须经过严格的数学证明，才能说明其正确性.你能证明上述结论吗？
（三）典例解析
例1．如图2.3-3，斜三棱柱ABC-A’B’C’中，设=a，=b，=c，在AC’和BC上分别取点M和N，使，.
求证：与向量a和c共面.
（思考：若例1条件不变，点A’,B,M,N是否共面？）
例2．如图2.3-5，在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，G为△A’BD的重心.设=a，=b，=c，以a，b，c为一组基，求在这组基下的坐标.
（四）课堂练习
课本P75 练习1,2,3
练习1. 已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，当（其中x+y+z=1）时，点P是否与A,B,C共面？
练习2. 已知a,b,c是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ）
A .2a，a-b，a+2b B. 2b，b-a，b+2a
a，2b，b-c D. c，a+c，a-c
练习3. 如图，在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，M是 A’B’C’D’的对角线的交点，N是棱BC的中点.设=a，=b，=c，若以a，b，c为一组基，求在这组基下的坐标.
（五）课堂小结
本节课的收获有哪些？（使用希沃白板5思维导图总结）
（六）布置作业
习题2.3第2、4、8题
（七）板书设计
空间向量共面定理 空间向量基本定理 希沃课件投影区域 （例题解答过程板书）
六、教学反思
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