资源简介

2.3.1空间向量的分解与坐标表示（2）
一、课程标准
了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
二、教学目标
通过复习平面向量的坐标运算，类比得出空间向量加减运算和数乘运算的坐标表示，掌握判断两空间向量平行的方法，了解定比分点公式。
三、内容与学情分析
本节课是高中数学选择性必修第二册《第2章空间向量与立体几何》的第三节第一小节的第二课时.本节课是在学生学习了空间直角坐标系的建立和空间向量基本定理的基础上，提出空间中的一组标准正交基，进而进行正交分解，并得到对应的坐标表示.要求学生体会平面向量和空间向量的共性和差异，掌握空间向量的正交分解，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并意识到将向量作为一种研究几何问题的有效工具.课程标准对本节课内容提出具体要求，即掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
四、教学重难点
重点：空间向量的正交分解及坐标表示.
难点：空间向量的坐标表示.
五、教学过程设计
（一）复习引入
上节课学习了空间向量基本定理，请同学们一边回顾上节课学习的主要内容，一边思考以下几个问题：
①什么是空间向量基本定理？
②空间向量基本定理的用途是什么？
③用基底表示向量的时候，能否找到一组基底使得向量的分解更加简单？
（二）新知探究
1.如果找一个特殊的基底，其中基向量两两垂直、长度均为一，这样一组特殊的基称为标准正交基.
2.空间中每个向量p都可以分解为基向量的实数倍之和：，系数、y、z按顺序排成的实数组称为向量p的坐标，记为.
问题1：试猜想：在标准正交基下的坐标和空间直角坐标系中的坐标有什么关系？
问题2：如何证明这个猜想？反之也成立吗？
问题3：如果P、Q为空间直角坐标系中任意两点，向量的坐标如何表示呢？这个坐标唯一的吗？
问题4：如何求向量在三条坐标轴正方向上的投影？
问题5：以上投影又具有怎样的意义呢？
问题6：你能联系平面向量的知识，想出其他方法求投影的方法吗？
（三）典例解析
例1.在长方体中，已知，，.
建立适当的空间直角坐标系，并求的坐标.
(2)求的坐标.
例2.在标准正交基下，已知向量，，，求向量在上的投影.
（四）课堂练习
课本P77 练习1,2,3
练习1.在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标
练习2.如图，垂直于正方形所在的平面，M，N分别是，的中点，并且.建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标.
练习3. 在标准正交基下，已知向量，,求向量在和上的投影.
（五）课堂小结
本节课的收获有哪些？（使用希沃白板5思维导图总结）
（六）布置作业
习题2.3第2、4、8题
（七）板书设计
（标准正交基概念） （标准正交基下的坐标分解） （坐标与投影） 希沃课件投影区域 （例题解答过程板书）
六、教学反思
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