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2024年中考数学复习专题讲义：整式的乘法与因式分解
知识点讲解
1、整式的运算
(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。去括号法则：同号得正，异号得负。
(2)整式的乘除运算
①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。
⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。
(3)添括号法则：同号得正，异号得负。
2、因式分解
定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
专题练习
一、选择题
1．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，，m，n为正整数，则为（　　）
A． B． C． D．
3．若展开后不含的一次项，则的值是（　　）
A．3 B．1 C． D．0
4．多项式与多项式的公因式是(　　)
A． B． C． D．
5．下列从左到右的变形为因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．5
7．若能用完全平方公式因式分解，则的值为（　　）
A． B． C．或11 D．13或
8．若，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题
9．　 　．
10．因式分解：　 　.
11．如果成立，则的值为　 　．
12．若，则　 　．
13．若，则　 　．
三、解答题
14．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
15． 因式分解：
（1）
（2）
16．已知，整式，整式．
（1）若，求a的值；
（2）若可以分解为，请将进行因式分解．
17．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2题由图1外阴影部分排成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
（1）请直接用含和的代数式表示　 　，　 　；写出利用图形的面积关系所得到的公式：　 　（用式子表达）．
（2）请依据（1）得到的公式计算：．
（3）请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
18．阅读下列文字与例题，并解答。
将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法。例如：以下式子的分解因式的方法叉称为分组分解法。
（1）试用“分组分解法”分解因式：
（2）已知四个实数a，b，c，d满足 。并且 ， ， ， 同时成立。
①当k=1时，求a+c的值；
②当k≠0时，用含a的代数式分别表示b、c、d。
参考答案
1．B
2．B
3．C
4．A
5．C
6．A
7．C
8．C
9．
10．
11．1
12．
13．49
14．（1）解：原式=-8ab+2b3；
（2）解：原式=3x-2y；
（3）解：原式=4m2+4m+1；
（4）解：原式=x2-（2y-3）2=x2-4y2+12y-9。
15．（1）解：
；
（2）解：
．
16．（1）解：∵整式，整式，
∴，
整理得，
∴3+a=4，
解得a=1；
（2）解：∵可以分解为，
∴，
∴，
∴3-a=-5，
解得a=8，
∴A+B-16=．
17．（1）；；
（2）解：
；
（3）证明：设两个相邻的奇数为（n为自然数），
则
；
所以任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数
18．（1）x2﹣y2+xz﹣yz=（x+y）（x﹣y）+z（x﹣y）
=（x﹣y）（x+y+z）；
（2）①当k=1 时，得a2+ac=12，c2+ac=24，
（a2+ac）+（c2+ac）=a（a+c）+c（a+c）=（a+c）（a+c）=（a+c）2=12+24=36，
∴a+c=±6；
②∵当k≠0时，由a2+ac=12k，b2+bc=12k，得（a2+ac）﹣（b2+bc）=0，
即a2﹣b2+ac﹣bc=0，∴（a﹣b）（a+b+c）=0，
∵a≠b，∴a+b+c=0，∴b=﹣a﹣c．
由c2+ac=24k，d2+ad=24k，得（c2+ac）﹣（d2+ad）=0，即c2﹣d2+ac﹣ad=0，
∴（c﹣d）（c+d+a）=0，∵c≠d，∴c+d+a=0，∴d=﹣a﹣c，
∴b=d=﹣a﹣c，
又∵（a2+ac）×2=c2+ac=24k，∴2a（a+c）﹣c（c+a）=0，
即（a+c）（2a﹣c）=0，∴a+c=0或2a﹣c=0，
∴c=﹣a，或c=2a，又k≠0，则c=2a，
∴c=2a，b=d=﹣3a．

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