资源简介

一、单元学习主题
本单元是“图形的性质”领域“三角形”主题中的“勾股定理”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出“图形的性质”是初中数学的核心内容之一,通过建立几何模型,发展学生分析问题的能力、抽象概括能力、符号表达能力,在学习这部分内容的过程中,强化数形结合、化归等思想方法,提升空间观念和几何直观;通过合情推理和演绎推理,体会几何的基本思想和思维模式.组织学生观察直角三角形对应的数量关系时,引导学生用数学的眼光观察现实世界;在经历命题的发现和证明过程中,增强推理能力,会用数学的思维思考现实世界;引导学生经历确立几何命题的过程,体会命题中条件和结论的表示,感悟数学表达的准确性和严谨性,会借助图形分析问题、解决问题,会用数学的语言表达现实世界.而勾股定理更是搭建起了几何图形与数量关系的一座桥梁,是平面几何也是数学中最重要的定理之一.
2.本单元教学内容分析
人教版教材八年级下册第十七章“勾股定理”,本章包括两个小节:17.1勾股定理;17.2勾股定理的逆定理.
“勾股定理”揭示了直角三角形三边之间的数量关系,即在直角三角形中,已知任意两边长,就可以求出第三条边长,其探究从特殊的等腰直角三角形出发,到网格中的直角三角形,再到一般的直角三角形,体现了从特殊到一般的探究过程和研究方法.证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积,并以此引导学生发现证明勾股定理的不同思路.
“勾股定理的逆定理”是利用边长关系来判定三角形是直角三角形的一种方法.勾股定理和它的逆定理是互为逆定理的关系,两个定理的题设和结论正好相反,从勾股定理到它的逆定理,经历从直觉上升到严密的逻辑推理证明,认识逆命题与逆定理的不同.
三、单元学情分析
学生在前面的学习中已经认识了三角形的三边关系,初步认识到通过对几何图形分析其几何特征从而得到数量关系.勾股定理是关于直角三角形三边关系的一个特殊的结论,在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系,进而得出三边之间的关系,但是要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形,并提出合理的猜想,对此,学生有较大困难,并且学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理也存在较大困难.因此在教学中需要引导学生对直角三角形这个几何图形的几何特征90°的直角的理解.同样,对于勾股定理的逆定理也是要先引导学生认识代数式a2+b2=c2的代数特征,再得出几何结论.
四、单元学习目标
1.经历从特殊到一般的过程探索勾股定理,发展学生的几何直观与逻辑推理能力.
2经历实验测量、猜想、证明等探索勾股定理的逆定理的过程,体会“同一法”证明数学命题的基本思想.
3.能够运用勾股定理得到无理数,经历由形到数再到形的过程,体会数形结合思想.
4.能够运用勾股定理及其逆定理解决相关实际问题,发展学生分析问题、解决问题的能力,用数学的思维思考现实世界.
5.经历探究勾股定理逆命题为真命题的过程,知道互逆命题与互逆定理.
6.在探究勾股定理的过程中,理解赵爽弦图的意义,了解勾股定理的相关史料,知道我们古代在研究勾股定理上的杰出成就,培养学生的民族自豪感.
五、单元学习内容及学习方法概览
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时作业严格按照新课程标准设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获的思想.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
第1课时　勾股定理
课时目标
1.经历从特殊到一般的过程,探索勾股定理,发展学生的几何直观与逻辑推理能力.
2.在探究勾股定理的过程中,理解赵爽弦图的意义,了解勾股定理的相关史料,知道我们古代在研究勾股定理上的杰出成就,培养学生的民族自豪感.
学习重点
　　探索并证明勾股定理.
学习难点
　　通过构图的方式证明勾股定理.
课时活动设计
复习引入
我们是如何研究三角形的 等腰三角形的“等边对等角”;等边三角形的“三个角相等,三条边相等”;直角三角形的边角之间是不是也会存在某种确定的数量关系呢
设计意图:对已有三角形知识的梳理过程,为研究直角三角形的直角与三边关系找到知识生长点,明确知识主线,为从几何图形到几何特征再到数量关系埋下伏笔,同时引出课题.
国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议,被誉为数学界的“奥运会”,2002年在北京召开了第24届国际数学家大会,下图是大会会徽的图案,你见过这个图案吗 它由哪些我们学习过的基本图形组成 这个图案有什么特别的含义
设计意图:本节课是本章的起始课,重视引言教学,从国际数学家大会的会徽说起,设置悬念.
相传2 500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.三个正方形A,B,C的面积有什么关系 等腰直角三角形的三边a,b,c之间有什么关系
设计意图:从最特殊的等腰直角三角形入手,通过观察正方形面积关系得到三边关系.
在网格中的直角三角形,以它的三边为边长分别作正方形A,B,C,并分别计算它们的面积,面积有怎样的关系 直角三角形的三边有怎样的关系 (每个小方格的边长都是1个单位长度)
设计意图:经历从特殊到一般的过程,体会直角三角形的三边满足的关系,同时在探究的过程中体会面积的割补法,为无网格下描述直角三角形三边关系奠定基础,提供思路.
根据前面的探究,请你猜想直角三角形的三边有怎样的关系
设计意图:从网格验证到脱离网格,再次经历从特殊到一般的过程,能用文字语言和符号语言两种方式描述直角三角形的三边关系,发展学生的归纳概括能力和语言表达能力,感悟用数量关系刻画几何图形.
将式子a2+b2=c2变形为(a-b)2+2ab=c2和(a+b)2=c2+2ab,完善变形过程,并构造几何图形,利用几何图形的面积关系解释上面等式.
设计意图:挖掘代数式的代数特征,通过代数特征构造几何图形,获得几何结论.
历史上所有的文明古国对勾股定理都有研究,我国有记载的最早勾股定理的证明,是3世纪我国汉代数学家赵爽在他所著的《周髀算经》中,用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的.
我国数学家赵爽对勾股定理的证明见人教版八年级下册P23~P24.如图,每个直角三角形的面积叫朱实,中间的正方形面积叫黄实,大正方形的面积叫弦实,下图叫弦图.
设计意图:通过对赵爽弦图的解释,了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明作出的贡献,增强民族自豪感,同时,这种证明思路与自己的证明思路不谋而合,增强学生学习数学的自信心.
初步应用
例1　求出下列直角三角形中未知边的长度.
解:左图.由勾股定理,得x2=62+82,
即x2=100.
因为x>0,所以x=10.
右图.因为x2+52=132,
所以x2=132-52,即x2=144.
因为x>0,所以x=12.
例2　公元3世纪初,中国古代数学家赵爽著《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”.如图,设勾a=3,弦c=5,则小正方形ABCD的面积是(　A　)
A.1　　　　　　B.2　　　　　　C.3　　　　　　D.4
例3　求下列图中表示边的未知数x,y,z的值.
解:①x2=81+144,解得x=15.
②y2=169-144,解得y=5.
③z2=625-576,解得z=7.
设计意图:进一步加强对所学知识的掌握,加强学生解决数学问题的信心,提升学生对知识灵巧运用的能力.
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1.教材第24页练习第1题,第28页习题17.1复习巩固第3题,综合运用第7,8题.
2.相关练习.
第1课时　勾股定理
1.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
2.勾股定理的证明:
(1)赵爽弦图.
(2)其他.
例1　例2　例3
教学反思

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