资源简介

18.2.2　菱形
第1课时　菱形的性质
课时目标
1.经历平行四边形的变化过程,观察菱形的本质属性,培养学生的数学抽象能力.
2.经历探索菱形性质的过程,掌握菱形的性质,培养学生的逻辑推理能力.
达成目标1的标志:能在平行四边形运动变化的过程中,发现特殊情况即邻边相等时,并能说出菱形的定义.
达成目标2的标志:学生通过动手操作,能猜想并证明菱形的性质.
学习重点
　　菱形的定义及性质.
学习难点
　　菱形性质的应用.
课时活动设计
回顾矩形与平行四边形的区别与联系 矩形的性质有哪些 矩形的性质与判定有什么联系 思考还有没有特殊的平行四边形 从哪方面入手研究
设计意图:引导学生回顾矩形与平行四边形的关系以及矩形的研究路径,为菱形的研究提供研究思路,让学生体会数学知识学习的一致性.
学生动手演示(几何画板)可变化的平行四边形,其他学生观察变化过程中的特例,特殊在哪里 这种特殊的四边形叫做菱形,你能试着给菱形下个定义吗
设计意图:学生通过观察平行四边形的运动变化,在运动变化过程中找到平行四边形的特例,让学生体会菱形与平行四边形的关系,通过分析、比较、交流,揭示事物的本质属性,最后得出定义.培养学生的数学抽象能力,学会用数学的语言表达现实世界.
探究菱形的性质:
问题1:请设计菱形的研究路径,并说一说你这样设计的依据.
问题2:思考菱形是特殊的平行四边形,那么菱形具有平行四边形的性质吗 你能列举一些这样的性质吗 菱形还有特殊的性质吗 应该从哪几个方面进行研究
问题3:请先根据菱形的定义画出标准的菱形,然后猜测边、角、对角线分别有哪些性质 并验证你的猜想.
问题4:你能证明你发现的结论吗 请画图,写出已知和求证,并证明.
猜想:1.菱形的四条边都相等;
2.菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
已知:如图,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD相交于点O.
求证:(1)AB=BC=CD=DA;(2)AC⊥BD;
(3)∠BAO=∠DAO=∠BCO=∠DCO,∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO.　
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AD=BC.
∵AB=AD,
∴AB=BC=CD=DA.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴BO=DO.
∵AB=AD,
∴AC⊥BD.
(3)∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=CO,BO=DO,∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC.
∵AB=BC=CD=DA,
∴∠BAO=∠DAO=∠BCO=∠DCO,∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO.　
设计意图:通过问题串的设计,让学生体会知识间研究路径与研究方法的相通之处,让学生学会学习、学会思考.通过动手操作,发展学生的直觉思维,增强主动探究的意识,在证明性质的过程中,培养学生合情推理与演绎推理的能力.
观察下面的图形,你能得到哪些结论 请找出其中相等的线段,相等的角,特殊的三角形以及全等的三角形.
设计意图:菱形的每条对角线将菱形分成的两个三角形是轴对称的等腰三角形,而两条对角线将菱形分成的四个三角形是全等的直角三角形,这一认知是后面更多探究和证明的思考依据.通过观察图形,发现结论,培养学生的图形思维及模型意识.
总结菱形性质的探索过程,你能用两种语言表达这些性质吗
1.文字语言:(1)菱形的四条边都相等;
(2)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
2.符号语言:(1)如图1,∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA.
(2)如图2,∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠BAO=∠DAO,∠BCO=∠DCO,∠ABO=∠CBO,∠ADO=∠CDO.
设计意图:引导学生反思研究菱形性质的过程,体会几何图形研究路径与研究方法的相通之处,体会发现、提出、证明一个几何命题的一般方法.让学生关注自己的思考过程和表达过程,以提高归纳概括的能力.
巩固练习,变式提高
独立完成教材第56页例3.说一说你是如何求出菱形的面积的 你能总结出一个求菱形面积的一般的方法吗 这个方法只适用于菱形吗 如果已知菱形的两条对角线的长度,你还能求出什么
例　如图,菱形花坛ABCD的边长为20 m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).
解:∵花坛ABCD的形状是菱形,
∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=×60°=30°.
在Rt△OAB中,AO=AB=×20=10,
BO===10,
∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m),BD=2BO=20≈34.64(m).
花坛的面积S菱形ABCD=4×S△OAB=AC·BD=200≈346.4(m2).
设计意图:本环节力求提高学生运用知识的能力和推理能力,培养学生的语言表达能力,加深学生对性质的理解.通过求菱形的面积,让学生总结出菱形的面积公式:菱形的面积=对角线乘积的一半,并探究发现这个公式适用于所有的对角线互相垂直的四边形.通过这一公式让学生联想到已知对角线可以求面积、边长、高等一系列的未知量.通过问题的引导培养学生的模型意识以及推理能力,发展学生的核心素养.
本节课我们研究了菱形的定义和性质,请同学们带着以下问题进行总结:
(1)在探寻菱形的定义及性质时,你经历了怎样的研究过程 这个过程中用到了哪些数学方法 积累了哪些活动经验
(2)请预测菱形后续还会研究哪些内容 怎样研究
设计意图:学生通过自主反思,可进一步加深对几何图形研究路径与研究方法的理解,明确科学的探究方法要经历观察—猜想—验证—证明—得出结论的过程.反思是数学活动的核心和动力,只有以反思为核心的数学教育,才能使学生真正深入数学学习过程中,才能使学生真正抓住数学思维的内在实质.
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1.教材第60页习题18.2复习巩固第5题,第61页综合应用第11题.
2.相关练习.
第1课时　菱形的性质
图形 边 角 对角线
对边平行 且相等 对角相等, 邻角互补 对角线 互相平分
具有平行四边形所有的性质
四条边相等 对角线互相 垂直,并且每 一条对角线 平分一组对角
教学反思

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