资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“函数”主题中的“一次函数”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.本章函数的教学是要通过对实际问题中变量的分析,建立两个变量之间变化的依赖关系,让学生理解利用函数表达变化关系的实际意义;要引导学生借助平面直角坐标系中的描点,理解函数图象与解析式的对应关系,理解函数与对应的方程、不等式的关系,增强几何直观;会用函数表达现实世界事物的简单规律,经历用数学的语言表达现实世界的过程,提升学习数学的兴趣,进一步发展应用意识.
关注数学知识与实际的结合,让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律,经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念;要关注基于代数的逻辑推理,基于图象的函数想象;能在比较复杂的情境中,提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力.
在教学中要重视数学概念中蕴含的思想,引导学生从“运动变化和联系对应”的角度认识函数.借助实际问题情境,引导学生由具体到抽象地认识函数,通过函数应用举例,体现数学建模思想.重视数形结合的研究方法,函数和数形结合的表示方法在数学发展中具有重要地位.由于有了它们,解析几何和微积分的产生也就自然地提到日程上了.
2.本单元教学内容分析
人教版教材八年级下册第十九章“一次函数”,本章包括三个小节:19.1函数;19.2一次函数;19.3课题学习选择方案.
本章主要内容包括:常量与变量的意义,函数的概念,函数的三种表示方法,一次函数的概念、图象、性质和应用举例,一次函数与二元一次方程等内容的关系,以及建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习.
关于这三节的地位与作用有如下的整体设计.
第1节是全章的基础部分.首先,“变量与函数”结合简单的实际问题,对事物的运动变化进行数量化讨论,先引出常量和变量的意义,再从描述变量之间对应关系的角度刻画了一般函数的基本特征,从而初步建立函数的概念,并给出函数的解析式的意义.其次,“函数的图象”,在已学的直角坐标系内容的基础上,以具体函数为例,介绍能形象化地表示函数的重要工具————函数的图象,归纳表示函数的三种方法,为今后继续研究各类具体的函数进行必要的准备.
第2节是全章的重点内容.首先,“正比例函数”以火车运行中“路程=平均速度×时间”为问题情境,引出正比例函数的概念、图象和增减变化规律.其次,“一次函数”以登山中气温随海拔而变化为问题情境,引出一次函数的概念,并对比正比例函数,研究一次函数的图象和增减变化规律.函数解析式与函数图象的相互联系与转化能发挥重要作用,这是“数形结合”的思想方法的体现,它对今后进一步研究其他类型的函数具有启示作用.最后,“一次函数与方程、不等式”从一次函数的角度,对一次方程和不等式进行再认识,揭示函数与以前学习的方程等内容之间的联系.
第3节是全章的拓展提高部分.作为探究性学习的内容,它以课题学习的形式呈现,通过对“怎样选取上网收费方式”和“怎样租车”两个典型问题的讨论,探求解决实际问题的最优方案,展示函数的应用价值,突出建立数学模型的思想方法和实际意义.也是实际应用的最好体现,更是提高学生学习数学兴趣的最好着眼点,是“学数学、用数学”的最好体现.
函数是数学中极为重要的基本概念,它对数学的发展有重大影响,是数学学习中的重要知识点.但是由于函数概念涉及运动变化,抽象性较强,因此初学者接受并理解它有一定难度,这是本章的难点.
“变化与对应”的思想体现在函数概念之中,用运动变化的眼光,以函数为工具,把抽象的数量关系和直观的函数图象结合起来,从“数”与“形”两方面动态地分析问题,从而全面地认识函数,是本章学习的突出特点.
三、单元学情分析
函数是重要的数学概念,它有广泛的应用,在义务教育阶段的数学课程中占重要地位.函数解析式属于代数式(式子中不含有加、减、乘、除、乘方和开方之外的运算)的函数,叫做代数函数.在本套教科书中有关代数函数的内容出现的先后顺序:第十九章一次函数(八年级下册),第二十二章二次函数(九年级上册),第二十六章反比例函数(九年级下册).学生在初中阶段对函数的认识是逐步深入的.多项式函数一般按照其中自变量(元)的个数和自变量的最高次数(指数)分类,这与方程的分类类似.按照课标,初中阶段所学习的多项式函数包括一次函数(含正比例函数)和二次函数,它们分别对应一次解析式、二次解析式.此外,还学习反比例函数、锐角三角函数,但锐角三角函数属于超越函数(三角运算不属于代数运算).
从知识的延续性可以看出本章的重要性,本年级的学生的认识水平还是以形象思维为主,抽象思维仍处于劣势水平.在小学阶段初步认识了两个量之间的比值一定成正比例关系,两个量乘积一定成反比例关系,比值、乘积仅限于正数,而本章函数研究的是两个任意实数之间的变化对应关系,学生学起来有一定的难度.
要从学生熟悉的生活情境选材,让学生体会函数是刻画现实的有力工具,体会函数的三种表示方法,认识到数形结合、数学建模的重要性,为后期的二次函数、反比例函数、锐角三角函数的学习做好知识方法的铺垫.可见,这章有着承上启下、至关重要的作用.
四、单元学习目标
1.函数
(1)能识别简单实际问题中的常量、变量及其意义,并能找出变量之间的数量关系及变化规律,形成初步的抽象能力;(2)了解函数的概念和表示法,能举出函数的实例,初步形成模型观念;(3)能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义;(4)能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值;能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息,发现变量间的变化规律;能结合函数图象对简单实际问题中的函数关系进行分析,结合对函数关系的分析,能对变量的变化趋势进行初步推测.发展学生抽象思维能力和培养学生直观想象的核心素养.
2.一次函数
(1)能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的解析式;会在不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的解析式;(2)能画出一次函数的图象;(3)会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标;(4)会根据一次函数的图象和解析式y=kx+b(k≠0),探索并理解k值的变化对函数图象的影响.(5)认识正比例函数中两个变量之间的对应规律,会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律.(6)会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系;(7)能在实际问题中列出一次函数的解析式,并结合一次函数的图象与解析式的性质等解决简单的实际问题;(8)培养学生数形结合和数学建模的分析问题和解决问题的能力.培养学生的数形结合思想、模型观念、应用意识和创新意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
续表
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时作业严格按照新课程标准设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意讲作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.
生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.
例:请同学们利用所学函数的课题学习解决生活中如何购物、外出旅行如何买票更合适.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
19.1.1　变量与函数
第1课时　变量与常量
课时目标
1.能识别简单实际问题中的变量和常量及其意义,能举出现实生活中的常量和变量,形成初步的抽象能力.
2.通过寻找两个变量之间的数量关系和变化规律,发展抽象能力.
学习重点
　　变量和常量的意义.
学习难点
　　寻找变量之间的关系.
课时活动设计
情境导入
一辆汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程为s km,行驶时间为t h.
1.请同学们根据题意填写下表:
t/h 1 2 3 4 5
s/km 60 120 180 240 300
2.在以上这个过程中,变化的量是　时间t、路程s　;不变化的量是　速度60 km/h　.
设计意图:现实生活中有好多类似的问题,都是反映不同事物的变化过程,其中有些量的值是按照某种规律变化,如上例中的时间t、路程s;有些量的数值是始终不变的,如上例中的速度60 km/h.通过举例让学生感知概念.
一起探究
1.电影票的售价为10元/张,如果早场售出150张票,午场售出205张票,晚场售出310张票,那么三场电影的票房收入各多少元 设一场电影售出x张票,票房收入为y元.这个问题中,一共有几个量 哪些量是不变的,哪些量是变化的
解:早场售出150张票,票房收入为150×10=1 500(元),午场售出205张票,票房收入为205×10=2 050(元),晚场售出310张票,票房收入为310×10=3 100(元);这个问题中,一共有三个量,分别是票房收入、电影票的单价、售票张数.其中变化的量是售票张数x、票房收入y,不变的量是电影票的单价10元.
2.在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规律.如果弹簧的原长为10 cm,每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm.这个问题中,一共有几个量 哪些量是不变的,哪些量是变化的
解:这个问题中,一共有三个量,分别是重物的质量、弹簧的原长、弹簧的总长.
其中变化的量是重物的质量、弹簧的总长,不变的量是弹簧的原长.
3.用10 m长的绳子围一个矩形,当矩形的一边长x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边长y分别为多少 y的值随x的值的变化而变化吗 这个问题中,一共有几个量 哪些量是不变的,哪些量是变化的 变化的量之间存在着怎样的关系
解:当x=3 m时,y=2 m;当x=3.5 m时,y=1.5 m;当x=4 m时,y=1 m;
当x=4.5 m时,y=0.5 m.y的值随x的值的变化而变化.
这个问题中一共有三个量,分别是绳子总长、一边长x、邻边长y.其中变化的量是一边长x、邻边长y,不变的量是绳子总长.
设计意图:通过活动,使学生感受到实例中有的量是不变的,有的量是变化的,而且变量之间存在一定的关系,在丰富的问题情境中让学生了解常量与变量的意义,感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想.
类似地,请你再举出两个实际问题的例子,并分别说明它们各含有几个不同的量,其中哪些量是不变的,哪些量是变化的 指出自己举出的例子中的变量和常量.
设计意图:设置开放性问题,激发学生发散思维,使学生通过思考、互动交流加深对常量和变量的感受,让学生在反复的思维冲击中突破难点.
辨析做一做
在下列各问题中,分别各有几个量,其中哪些量是常量,哪些量是变量 这些量之间具有怎样的关系
(1)每张电影票的售价为10元.某日共售出x张票,票房收入为y元.
(2)一台小型台秤最大称重为6 kg,每添加0.1 kg重物,指针就转动6°的角.当添加重物的质量为m kg时,指针转动的角度为α.
解:(1)有3个量,每张电影票的售价10元是常量,售票张数x、票房收入y是变量.
(2)有3个量,最大称重6 kg是常量,添加重物的质量m kg、指针转动的角度α是变量.
设计意图:学生通过做一做,进一步熟悉变量和常量的意义,学会寻找两个变量之间的关系,培养学生思维的多样性,促进学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.
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1.教材第71页练习.
2.相关练习.
第1课时　变量与常量
　　　变量:数值发生变化的量.
常量:数值始终不变的量.
教学反思

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