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19.2.3　一次函数与方程、不等式
第1课时　一次函数与一元一次方程、不等式
课时目标
(一)教学知识点
1.认识一元一次不等式、一元一次方程与一次函数问题的转化关系.
2.学会用图象法求解不等式、一元一次方程.
3.进一步理解数形结合思想.
(二)能力训练要求
1.培养从不同角度思考问题的能力.
2.探究解题思路,以便灵活运用知识.
3.提高问题间互相转化的技能.
4.形成合作交流的意识及独立思考的习惯.
学习重点
1.理解一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的转化关系及本质联系.
2.掌握用图象求解不等式的方法.
学习难点
　　图象法求解不等式中自变量的取值范围.
课时活动设计
导入新课
1.方程2x+20=0.
2.函数y=2x+20.
观察思考:二者之间有什么联系
从数上看:方程2x+20=0的解是函数y=2x+20的值为0时对应的自变量x的值;从形上看:如图,函数y=2x+20与x轴交点的横坐标即为方程2x+20=0的解
设计意图:让学生进行新、旧知识的结合,找到不同点,为新授制造悬念,带着疑问进行新的学习.
例　利用图象法解下列三个方程.
(1)2x+1=3;　　(2)2x+1=0;　　(3)2x+1=-1.
解:可以看出,这3个方程的等号左边都是2x+1,等号右边分别是3,0,-1.从函数的角度看,解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3,0,-1时,求自变量x的值.或者说,在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3,0,-1的点,看它们的横坐标分别为多少,如图.
小结:本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时,一次函数的值为0这两个问题入手,发现这两个问题实际上是同一个问题,进而得到解方程kx+b=0与求当自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0的关系.
设计意图:通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映.经历了活动与练习后让学生更熟练地掌握这种方法.虽然用函数图象解决方程问题未必简单,但要体会数形结合思想在以后学习中的重要性.
补充练习
某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个个体车主或一个国有出租车公司签订合同.设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月费用是y1元,应付给出租车公司的月费用是y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象如图所示.当每月行驶的路程为多少千米时,租两家车的费用相同 是多少元
解:利用图象即可得出,当每月行驶的路程为1 500 km时,租两家车的费用相同,是2 000元.
设计意图:通过图象解决问题,体会从函数图象的角度解决问题的方法更便捷.
师生活动:我们来看下面两个问题有什么关系
1.解不等式5x+6>3x+10.
2.当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值大于0
在问题1中,不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0,解这个不等式,得x>2.
解问题2就是要解不等式2x-4>0,得出x>2时函数y=2x-4的值大于0.因此这两个问题可化为同一问题.
那么,是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢 它在函数图象上的表现是什么 如何通过函数图象来求解一元一次不等式
如图,我们先观察函数y=2x-4的图象.可以看出当x>2时,直线y=2x-4上的点全在x轴上方,即这时y=2x-4>0.
　　由此可知,通过函数图象也可求得不等式的解为x>2.
　　由上面两个问题的关系,我们能得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x在什么范围内时,一次函数y=ax+b的值大于0”之间的关系,实质上是同一个问题.
因为任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围.
设计意图:引导学生不仅可以从代数的角度解不等式,更能从函数的图象中求解,体会图象法解题的妙处.
活动内容设计:用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10.
　　教师活动:引导学生通过画图、观察寻求答案,并能通过两种不同的解法,得到同一答案,探索、思考、总结归纳出其中的共同点.
　　学生活动:在教师的指导下,顺利完成作图,观察求出答案,并能归纳总结出其特点.
　　活动过程及结论:
方法一:原不等式可以化为3x-6<0,如图1,画出直线y=3x-6的图象,可以看出,当x<2时,这条直线上的点在x轴的下方,即这时y=3x-6<0,所以不等式的解集为x<2.
方法二:将原不等式的两边分别看作两个一次函数,如图2,画出直线y=5x+4与直线y=2x+10的图象,可以看出,它们交点的横坐标为2.当x<2时,对于同一个x值,直线y=5x+4上的点在直线y=2x+10上的相应点的下方,这时5x+4<2x+10,所以不等式的解集为x<2.
以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低.
师:从上面两种解法可以看出,虽然像上面那样用一次函数图象来解不等式未必简单,但是从函数角度看问题,能发现一次函数、一元一次不等式之间的联系,能直观地看出怎样用图象来表示不等式的解集.这种认识问题的方法,对于学习数学很重要.
设计意图:通过这一活动使学生熟悉一元一次不等式与一次函数值大于0或小于0时,自变量取值范围的问题之间的关系,并灵活运用具体方法解决这一问题.
学以致用
1.当自变量x的取值满足什么条件时,函数y=3x+8的值满足下列条件
(1)y=-7;　　　　　(2)y<2.
解法一:(1)如图1,画直线y=3x+8,由图象可知,当y=-7时,对应的x=-5,
∴当x=-5时,y=-7.
(2)如图1,画直线y=3x+8,
由图象可知,当y<2时,对应的x<-2,
∴当x<-2时,y<2.
解法二:(1)要使y=-7,即3x+8=-7,变形,得3x+15=0.
如图2,画直线y=3x+15,由图象可知,当x=-5时,3x+15=0,
∴当x=-5时,y=-7.
(2)要使y<2,即3x+8<2,变形,得3x+6<0,
如图3,画直线y=3x+6,由图象可知,当x<-2时,3x+6<0,
∴当x<-2时,y<2.
　　2.利用图象解6x-4<3x+2.
解:原不等式化为3x-6<0,如图,画出函数y=3x-6的图象.
由图象可以看出,当x<2时,
这条直线上的点在x轴的下方,这时y=3x-6<0,
∴此不等式的解集为x<2.
3.如图,利用y=-2.5x+5的图象,
(1)求出-2.5x+5=0的解;(x=2)
(2)求出-2.5x+5>0的解集;(x<2)
(3)求出-2.5x+5≤0的解集;(x≥2)
(4)你能求出-2.5x+5>3的解集吗 (x<0.8)
(5)你还能求出哪些不等式的解集呢
拓展延伸
4.某单位准备和一个个体车主或一个国营出租车公司中的一家签订月租车合同,设汽车每月行驶x千米,个体车主的收费为y1元,国营出租车公司的收费为y2元,观察下列图象可知,当x　>1 500　时,选用个体车较合算.
设计意图:强化知识的应用,让学生体会图象法解题的便捷,引导学生多种角度分析问题和解决问题,培养学生将复杂问题简单化的意识.
课堂小结
尝试从多个角度分析问题、解决问题,学会从函数观点认识问题,对后期学习数学很重要.
设计意图:引导学生对本节知识的总结和提升,培养学生的总结能力,以便更好地指导知识应用的提升.
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1.教材第99页习题19.2综合运用第13题,107页复习题19复习巩固第5题.
2.相关练习.
第1课时　一次函数与一元一次方程、不等式
　　　一、一次函数与一元一次不等式、一元一次方程的联系.
二、图象上的不等式、一元一次方程.
三、例题.
教学反思

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