资源简介

《钉子板上的多边形》教学设计（公开课）
教学内容：
苏教版五年级上册第108～109页
教学目标：
1.使学生在操作、观察、猜测、验证等活动中,发现在钉子板上围出的多边形与它的边所经过的钉子数,以及多边形内部钉子数的关系,会用含有字母的式子表示发现的规律。
2.使学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中,进一步感受数学抽象的意义,培养比较、分析和简单推理的能力,增强发现问题、提出问题的意识,积累数学活动经验。
3.在探索交流的过程中养成乐于思考、勇于质疑、言必有据、团结合作等良好的品质,对数学产生强烈的好奇心和求知欲。
学情分析：
学生已经形成面积的概念,掌握了常用的面积单位,能计算简单图形面积。在钉子板上围图形、数钉子数、算图形的面积,这些是学生喜欢做、能够做的事情,他们会乐意参与。然而,钉子板上围出的图形大多数不是规则图形,也不是简单图形,求它们的面积没有现成的方法可以使用,得出的图形面积比较困难。
教学重点：
发现多边形的面积与边上钉子数和多边形内部钉子数之间的规律。
教学难点：
学会“比较、猜想、验证、结论”的探索方法,得出计算面积的一般规律。
教学过程：
一、 初步感受多边形的钉子数和面积的关系
1.认识钉子板
谈话:这是一块钉子板,相邻两枚钉子的距离是1cm,围一个正方形,面积是多少 (板书:面积)围出一个三角形和一个五边形呢 你是怎样想的
小结:钉子板上的多边形,如果是一些基本图形,可以用面积公式计算；如果是一些组合图形,可以用割补的方法来数一数或者算一算。
2.初步建构联系
问:你能围出一个面积更大的多边形吗 试着围一围,并想一想面积可能和什么有关
预设:(1)和钉子数有关 (2)内部的钉子数、边上的钉子数(板书) (3)其他
3.认识区分内部的钉子数、边上的钉子数
问:这是一个三角形,谁来指一指内部的钉子数、边上的钉子数。
4.揭题
谈话:钉子板上多边形的面积与内部的钉子数、边上的钉子数到底存在怎么样的关系呢 今天这节课我们一起来研究钉子板上的多边形。(板书:钉子板上的多边形)
（设计意图：通过观察、比较和交流初步确立研究方向，即围成的多边形的面积与边上钉子数以及内部钉子数有怎样的关系。这样引入，既为学生提供了发现问题的机会，也为新知的探究打下了基础。）

二、 引导探究，发现规律
（一）“起”:从“a=1”开始
1.为了方便研究，我们用点子图代替钉子板。
问:这4个多边形的面积是多少 多边形边上的钉子数是多少 请你试着完成表格。
2.问:从表格中的数据,你有什么发现
多边形的面积数是边上钉子数的一半。用简洁的字母式S=n÷2表示。（板书：S=n÷2）
3.问:是不是所有的多边形都符合这样的规律呢 我们一起试试看。
请拿出钉子板，要求:在钉子板上围一个多边形，算一算它的面积，数一数边上钉子数，验证一下是否符合这样的规律。根据学生的展示板书记录S和n的数据。
预设:学生在钉子板上围一围,在投影上展示交流。发现并不是都符合。
4.问:并不是所有的多边形都符合这样的规律,到底怎样的多边形具有这样的规律呢 它们有什么共同的特点
5.指名回答：符合这个规律的多边形它的内部只有1枚钉子。
实物投影，比较，红笔描点（课件加深放大红点）。
6.观察不符合的，内部有2枚，3枚……
7.要符合S=n÷2，要加一个什么条件？
补充板书：内部钉子数用a表示，a=1 S=n÷2
归纳:当a=1时,S=n÷2
板书：观察，猜想，验证
（设计意图：这个活动是规律探究的第一个阶段，也是这节课教学的重要环节。通过引导学生研究“多边形内部只有1枚钉子”的情况，发现“多边形的面积是多边形边上钉子数的一半”这一规律。本过程，看似内容单一、线索简单，但实际却引导学生经历了规律探索的完整过程:分析一猜想一验证一应用，并渗透了数形结合思想，为学生后续的规律探索提供了研究参照和方法指引，为深入研究奠定了基础。）
（二）“承”：在“a=2”中发现
1.问:下面我们该研究什么
要求:小组合作,在钉子板上围一围,并将数据记录在作业纸的表格中。
2.小组汇报
3.教师板书记录数据。
我们围出了许多不同的多边形，都有共同点，内部钉子数都是2枚，而面积各不相同。请仔细观察这些数据，又有什么发现，和同桌说一说。
板书：a=2 S=n÷2+1
4.归纳:当a=2时,S=n÷2+1
（设计意图：注重引导学生经历观察、猜想、验证、总结等过程，掌握研究问题的科学方法，培养学习兴趣和理性思维，由“1”到“2”看似只是数量增加了1，但却将学生带入了更深一层次的一种研究。）
（三）“转”：向“a=3、4…和a=0”拓展
1.问:你认为还可能是3,4…吗 如果是a=3,请你猜想一下,S和n之间的关系是怎样的
2.猜想:当a=3时,S=n÷2+2
3.验证:请你在钉子板上围一围,验证我们的猜想是否正确。
板书:当a=3时,S=n÷2+2
4.问:如果是a=4,请你猜想一下,S和n之间的关系是怎样的 请你采用刚才的方法进行研究。
5.问:反过来看,如果是a=0,请你猜想一下,S和n之间的关系是怎样的 请你采用刚才的方法进行研究。板书：S=n÷2-1
（四）“合”：为“S=n÷2+(a－1)”准备
1.启发:首先,我们学会由“一点”想到“许多点”,例如由a=1想到a=2,a=3,…以及a=0。其次,我们还要学会把“许多点”变到“一点”,例如你有没有想到把“a=1时,S=n÷2”、“a=2时,S=n÷2+1”、“a=3时,S=n÷2+2”……这些规律合成一条规律呢
板书：如果a=m，S=n÷2+（m-1）
2.小结：我们在平时的学习中有了比较就会有一些想法，这些想法不知对错，可以做一些实验去验证，就会得到结论。（板书：结论）
运用新知，解决问题
1.学生独立完成作业纸反面：比较两个图形面积的大小。
2.小结：这两个图形面积一样，内部钉子数一样多，边上钉子数一样多，虽然图形的形状不同，但是根据钉子板上的多边形的面积与钉子数之间的关系，很快得出面积一样多。
（设计意图：以前求多边形的面积可以直接用公式计算，也可以用割补法数一数，对于求这样复杂的钉子板上的多边形的面积用我们今天学的知识解决就方便很多。只要数出边上钉子数和内部钉子数，根据s=n÷2+a-1，更便于解决这个复杂的问题。让学生感受到数学规律的奇妙之处。）
四、全课总结
1.提问:回顾探索和发现规律的过程,你有什么体会
2.介绍:皮克定理和闵嗣鹤《格点与面积》
（设计意图：回顾课堂，引起学生反思，引导学生把课堂所学用到课外，数学来源于生活，生活离不开数学，将所学知识运用到生活中，正是数学学习的首要任务。）

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