资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“函数”主题中的“函数”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段“数与代数”领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题.“函数”是数学的重要的基础概念之一,也是中学数学的重要内容,它与中学数学中很多内容密切相关,起着承上启下的作用.初中代数中的函数主要研究变量之间的关系,探索事物变化的规律;借助函数可以认识方程和不等式.函数的教学要通过对现实问题中变量的分析,理解其中的变化规律,能指出其中的变量与常量,建立两个变量之间变化的依赖关系;能结合实例,借助表格、图像、表达式等工具,用“运动变化”的观点认识变量,理解两个变量之间的单值对应关系,分析其中哪个量是自变量,哪个量是函数,它们之间是如何对应的,让抽象的数学概念具体化;函数的图像以几何形式直观地表示变量之间的单值对应关系,是研究函数的重要工具,理解图像法表示函数,是通过坐标系中曲线上点的坐标反映变量之间的关系,能结合实例理解图像上点的坐标的意义及变量的变化趋势,增强几何直观;会用函数表达现实世界事物的简单规律,经历用数学语言表达现实世界的过程,提升学习数学的兴趣,进一步发展应用意识.在教学过程中,要关注数学知识与实际的结合,让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律,经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念;要关注基于代数的逻辑推理,如基于函数的逻辑想象,发展学生的几何直观,提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力.
《标准2022》第四学段“数与代数”【内容要求】中函数的概念主要包含:
①探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示方法,能列举出函数的实例.
②能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析.
③能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,会求函数值.
④能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义.
⑤结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.
2.本单元教学内容分析
　冀教版教材八年级下册第二十章“函数”,本章包括四个小节:20.1常量和变量;20.2函数;20.3函数的表示;20.4函数的初步应用.
本单元的主要内容是,在实际问题中认识变量和常量,通过实例分析、建立函数模型,确定函数自变量的取值范围,研究函数的表示方法,函数模型的简单应用,以及以变化的观点对两个量之间的关系作进一步研究.
函数作为初等数学的核心内容,贯穿于整个初等数学体系之中,有着广泛的应用,而且在整个函数知识的学习中起着铺垫的作用.函数的概念是中学阶段函数教学的起始章节,本章提供的研究思路和思想方法为今后继续研究各类具体的函数(如一次函数、二次函数和反比例函数)做了方法上的引领,展示了其普遍的意义和作用.函数所体现的模型化思想沟通了许多数学内容之间的联系,为学生观察事物、解决问题提供了一条新的、有效的途径,在义务教育阶段的数学课程中占重要地位.
教材在“常量和变量”“函数”“函数的表示”等内容的学习中,通过大量的具体实例让学生来认识和理解这些概念,激发学生的学习兴趣.通过“观察与思考”“一起探究”“大家谈谈”等学习活动,让学生参与到知识的形成过程中,充分认识和体会函数的概念,发展学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,使学生感受“函数思想”,积累数学活动经验.通过开放性问题的设置,激发学生发散思维,从多个角度领会用数学知识解决问题的作用.学生通过经历问题的解决过程,体会函数自变量与函数值的对应关系,体会函数概念的本质.在“函数的表示”一节中,不仅体现了函数的三种表示方法,还特别关注了函数的三种表示方法之间的关系.
三、单元学情分析
本单元内容是冀教版数学八年级下册第二十章函数,学生在前面已学面直角坐标系,初步积累了一定的画图描点的数学活动经验,为学习函数及其图像奠定了扎实的基础.学生在小学已经认识了“成比例的量”,而且八年级的学生已经具备了相当的抽象能力和推理能力,通过数式运算、方程、不等式等知识的学习也形成了初步的模型观念.根据学生的最近发展区创设特定情境,使学生经历对实际情境的理解,变量之间关系的探究,问题本质的抽象,以及共同本质的概括,从而建立函数模型,符合学生的认知规律.而让学生在教科书设计的活动中去亲身体验和理解两个变量间的对应关系,建立变量和常量、函数的概念对学生来说是一个难点,因此,应让学生结合具体实例进行辨析,加深对概念的理解,促使学生在课堂上积极思考、合作交流,并在活动的过程中不断地获取新知,提高数学思考的能力.
四、单元学习目标
1.能识别简单实际问题中的常量、变量及其意义,并能找出变量之间的数量关系及变化规律,形成初步的抽象能力.
2.了解函数的概念和表示方法,能举出函数的实例,初步形成模型观念.
3.能用适当的函数表示方法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义,进一步发展学生的符号感.
4.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值,提高运算能力.
5.能根据函数图像分析出实际问题中变量的信息,发现变量间的变化规律,增强推理能力和几何直观.
6.能结合函数图像对简单实际问题中的函数关系进行分析,结合对函数关系的分析,能对变量的变化趋势进行初步推测,进一步发展应用意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时作业严格按照新课程标准设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.
自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.
生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
课时目标
1.能识别简单实际问题中的变量和常量及其意义,能举出现实生活中的常量和变量,形成初步的抽象能力.
2.通过寻找两个变量之间的数量关系和变化规律,发展学生抽象能力的核心素养.
学习重点
变量和常量的意义.
学习难点
寻找变量之间的关系.
课时活动设计
通过多媒体播放心电图和反映海水潮汐现象中水深情况的图片,引入课题.
设计意图:感受心脏跳动、潮汐变化的规律,激发学生的学习兴趣,引入本章要学习的函数是研究这些变化的工具之一.
一起探究
1.我们每天上学、放学回家的交通工具是什么 不管用哪种方式,假设我们是匀速运动的,在这个匀速运动过程中涉及到三个量:路程、速度和时间,这些量在不同的变化过程中会有怎样的具体表现形式呢 以小明同学为例,小明在上学的途中,骑自行车的平均速度为300 m/min.
(1)填写下表:
　　(2)小明行驶60 min时,行驶的路程是多少
(3)自行车行驶过程中,平均速度、行驶时间和行驶路程这三个量是否变化 若不变,它们对应的数值分别是多少 若变化,是怎样变化的
(4)在这个问题中,哪些量是不变的,哪些量是变化的 变化的量之间存在着怎样的关系
解:(1)填表如下.
　　(2)小明行驶60 min时,行驶的路程是s=300×60=18 000(m)
(3)平均速度不变,为300 m/min,行驶时间t和行驶路程s是变化的,s随着t的增大而增大.
(4)平均速度300 m/min是不变的量,路程和时间都是变化的量,它们之间满足关系式s=300t.
2.桃园村办企业去年的总收入是25 000万元,计划从今年开始逐年增加收入3 500万元.
(1)认真阅读条形图,你能读取哪些信息
(2)在这个问题中,一共有几个量 其中哪些量是不变的,哪些量是变化的 变化的量之存在着怎样的关系
(3)如果用n(n取正整数)表示从今年起的第n年,用W表示第n年的总收入,那么它们之间的关系式是怎样的
解:(1)去年的总收入是25 000万元,从今年开始逐年增加收入3 500万元.(答案不唯一)
(2)一共有四个量,即去年的总收入、从今年开始每年增加的收入、第几年和第几年的总收入.其中,去年的总收入25 000万元和以后每年增加的收入3 500万元都是不变的量,第几年和第几年的总收入都是变化的量.
(3)W=25 000+3 500n.
3.用10 m长的绳子围一个长方形,当长方形的一边的长x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边的长y分别为多少 y的值随x的值的变化而变化吗 在这个问题中,一共有几个量 其中哪些量是不变的,哪些量是变化的 变化的量之间存在着怎样的关系
解:10÷2=5(m).
当长方形的一边的长为3 m时,它的邻边的长y=5-3=2(m);
当长方形的一边的长为3.5 m时,它的邻边的长y=5-3.5=1.5(m);
当长方形的一边的长为4 m时,它的邻边的长y=5-4=1(m);
当长方形的一边的长为4.5 m时,它的邻边的长y=5-4.5=0.5(m).
y的值随x的值的变化而变化.
这个问题中,一共有三个量,分别是绳子的总长、长方形的一边的长x和它的邻边的长y.其中,绳子的总长是不变的,长方形的一边的长x和它的邻边的长y是变化的.它们之间存在的关系为y=5-x.
4.在一根弹簧的下端悬挂重物,改变并记录重物的质量,观察并记录弹簧长度的变化,探索它们的变化规律.如果弹簧原长为10 cm,每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm.这个问题中,一共有几个量 其中哪些量是不变的,哪些量是变化的
解:有三个量,分别是弹簧原长、弹簧悬挂重物后的长度、重物的质量,其中弹簧原长是不变的,弹簧悬挂重物后的长度、重物的质量是变化的.
设计意图:通过活动,使学生感受到实例中有的量是不变的,有的量是变化的,而且变量之间存在一定的关系,在丰富的问题情境中让学生了解常量与变量的意义,感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想.
类似地,请你再举出两个实际问题的例子,并分别说明它们各含有几个不同的量,其中哪些量是不变的,哪些量是变化的.指出自己举出的例子中的变量和常量.
设计意图:设置开放性问题,培养学生发散思维,使学生通过思考、互动交流加深对常量和变量的感受,让学生在反复的思维冲击中突破难点.
辨析做一做
在下列各问题中,分别有几个量,其中哪些量是常量,哪些量是变量 这些量之间具有怎样的关系
(1)每张电影票的售价为10元.某日共售出x张票,票房收入为y元.
(2)一台小型的台秤最大称重为6 kg,每添加0.1 kg重物,指针就转动6°的角.添加重物质量为m kg时,指针转动的角度为α°.
(3)水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,圆周长为C,圆周率(圆周长与直径之比)为π.
(4)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放),第一个抽屉放入x本,第二个抽屉放入y本.
(5)某地手机通话费为0.2元/min.李明在手机话费卡中存入30元,记此后他的手机通话时间为t min,话费卡中的余额为w元.
解:(1)有三个量,10元是常量,x张和y元是变量,y=10x.
(2)有五个量,6 kg,0.1 kg和6°是常量,m kg和α°是变量,α=60m(0≤m≤6).
(3)有三个量,圆周率π是常量,半径r和圆周长C是变量,C=2πr.
(4)有三个量,10本书是常量,x和y是变量,y=10-x.
(5)有四个量,0.2元/min和30元是常量,t min和w元是变量,w=30-0.2t.
设计意图:学生通过做一做,进一步熟悉变量和常量的意义,学会寻找两个变量之间的关系.培养学生思维的多样性,促进学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.
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1.教材第62页练习第1,2题,第62页习题A组第1,2题,B组第1,2题.
2.相关练习.
20.1　常量和变量
　　　 常量:在一个变化过程中,数值保持不变的量.
变量:在一个变化过程中,可以取不同数值的量.
教学反思

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