资源简介

第2课时　一次函数的综合应用
课时目标
(一)教学知识点
1.经历运用一次函数解决实际问题的过程.
2.学会从情境捕捉数量关系,并根据数量关系直接列出函数表达式.
3.利用一次函数模型解决相关实际问题.
(二)能力训练目标
1.初步学会利用函数的意义和性质对问题进行判断和决策,增强运用函数解决问题的思想和意识.
2.体会解决问题方法的多样性,发展创新实践能力,培养学生的数学核心素养.
学习重点
灵活运用有关知识解决相关问题.
学习难点
灵活运用有关知识解决相关问题.
课时活动设计
回顾复习
我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定表达式,那么你能举出生活中一次函数的例子吗 如何利用一次函数知识解决相关实际问题呢
这将是我们这节课要解决的主要问题.
设计意图:使学生感受一次函数在生活中的广泛应用,体会利用一次函数解决问题的好处.激发学生学习函数的兴趣,同时培养学生应用数学的意识.
情境导入
例　甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路行驶,出发3 h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶,速度为25 km/h.
(1)设甲离开出发地的时间为x(h),求:
①甲离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
②乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
(2)在同一直角坐标系中,画出(1)中两个函数的图像,并结合实际问题,解释两图像交点的意义.
解:(1)由公式s=vt,得
①甲离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=10x.
自变量x的取值范围为x≥0.
②乙离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=25(x-3),即y=25x-75.
自变量x的取值范围为x≥3.
(2)以上两个函数的图像如图所示.两个函数图像的交点坐标是(5,50),即甲出发5 h后被乙追上(或乙出发2 h后追上甲).此时,两人距离出发地50 km.
设计意图:让学生学会从文字中提取自己所需的信息,把情境中涉及的数量及数量关系作深入分析,根据数量关系直接列出一次函数表达式,在同一个情境中出现了两个一次函数,再用一次函数的性质解决问题,让学生进一步体会“数形结合”的美妙之处.
小组讨论
对于上例中甲、乙行驶的情况,你能借助图像解释“乙出发多少小时后可以超过甲”这一问题吗 还有其他方法解答这个问题吗
解:当x>5时,y=25(x-3)的图像在y=10x的图像的上方,说明乙出发2小时后,乙可以超过甲,还可以用25z>10(z+3)来解决这个问题.其中z表示乙离开出发地的时间.
设计意图:让学生感知有些一元一次方程和一元一次不等式问题,可以借助一次函数来考虑,借助一次函数的图像,往往能使方程和不等式的意义更加直观和形象,进一步体会数形结合的妙处.
一起探究
某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司,欲租一处临街房屋,现有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3 000元;乙家未装修,每月租金为2 000,但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装修费4万元.
(1)设租用时间为x个月,承租房屋所付租金为y元,分别求租用甲、乙两家的租金y与租用时间x之间的函数关系式.(租用甲家房屋时,y=3 000x;租用乙家房屋时,y=2 000x+40 000)
(2)根据求出的两个函数表达式,试判断租用哪家的房屋更合算.
根据教材第103页,讨论:小亮和小丽的做法有什么不同 你是怎样做的
(小亮是借助“式的比较”,小丽是借助“图像的比较”)
设计意图:让学生自己先思考如何解决这个问题,确定解决方案,再阅读小亮和小丽的做法,进行讨论,通过比较、鉴别、辨析,用“式”比较和用“图像”比较,两条途径一脉相承,从而优化解题方案.让学生从更广的范围、更高的层次认识数学知识和数学方法的关联性与一致性.
学以致用
1.某工厂开发生产一种新产品,前期投入150 000元.生产时,每件成本为25元,每件销售价为40元.设生产x件时,总成本(包括前期投入)为m元,销售额为n元.
(1)分别求出m,n与x之间的函数关系式.
(2)至少生产并销售多少件产品后,工厂才会有盈利
解:(1)m=25x+150 000,n=40x.
(2)由题意,得40x>25x+150 000,解得x>10 000.
即至少生产并销售10 000件产品后,工厂才会有盈利.
2.A,B两地相距36 km,甲、乙二人分别从A地和B地同时出发,相向而行.他们距A地的路程s(km)和出发后的时间t(h)之间的函数关系的图像如图所示.
(1)甲行驶了几小时到达B地,乙行驶几小时到达A地
(2)分别写出甲、乙二人距A地的路程s与时间t之间的函数关系式.
(3)求出两个图像交点的坐标,并解释交点坐标所表示的实际意义.
解:(1)甲行驶4.5小时到达B地,乙行驶6小时到达A地.
(2)s甲=8t,s乙=-6t+36.
(3)令8t=-6t+36,得t=.代入s=8t,得s=.所以交点坐标为,实际意义为甲、乙两人在出发 h的时候,在离A地 km处相遇.
设计意图:学生再次熟练从情境中提取相关数量关系,根据数量关系直接列出函数表达式,再利用函数的性质求解.
课堂小结
学会从文字、表格、图像中提供的数据捕捉数量关系,根据数量关系判断符合哪个函数关系,根据数量关系直接列出函数表达式,再运用一次函数的性质求解.
设计意图:在此过程中培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.
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1.教材第104页习题A组第1,2题;教材第105页习题B组题.
2.相关练习.
教学反思

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