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第3课时　平方根
课时目标
1.了解平方根的概念,能用符号正确地表示一个数的平方根,建立符号意识.
2.理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系,明确平方根和算术平方根之间的联系和区别,提升推理能力.
3.经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程,提高抽象能力.
学习重点
平方根的概念和求一个数的平方根.
学习难点
平方根和算术平方根的联系与区别.
课时活动设计
问题引入,导入概念
如果一个数的平方等于9,这个数是多少
学生思考并讨论,使学生明白这样的数有两个,它们分别是3和-3.受前面知识的影响学生可能不易想到-3这个数,这时可提醒学生,这里的这个数可以是负数.注意(-3)2=9中括号的作用.
又如:若x2=,则x等于多少呢
解:若x2=,则x=或-.
给出平方根的概念:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
例如:±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方与开平方互为逆运算.
设计意图:这个思考题是引入平方根概念的切入点,要让学生有充分的时间进行思考和体验在等式中求出x的值,为填表(见教材P45)做准备.
观察与思考
观察教材第45页中描述平方与开平方运算过程的两个图,如下图,思考这两种运算之间存在什么关系
设计意图:让学生体验平方和开平方的互逆关系,并根据这个关系说出1,4,9的平方根.
注意:这阶段主要是让学生建立平方根的概念,先不引入平方根的符号,给出的数是完全平方数.
典例精讲
例1　求下列各数的平方根:
(1)100;　　(2);　　(3)0.25.
教师规范书写格式.
解:(1)因为(±10)2=100,所以100的平方根是±10;
(2)因为=,所以的平方根是±;
(3)因为(±0.5)2=0.25,所以0.25的平方根是±0.5.
设计意图:给学生充足的时间和空间,理解和感知平方根的概念.通过小组讨论、交流,释疑解难,经历从具体到抽象、从特殊到一般、再从一般到特殊的过程,完整解读平方根的概念.
探究平方根的性质
1.平方根的性质
按照平方根的概念,请同学们思考并讨论下列问题:
正数的平方根有什么特点 0的平方根是多少 负数有平方根吗
建议:可引导学生通过观察x2=a中的a和x的取值范围和取值个数得出.
注:学生刚开始接触平方根时,有两点可能不太习惯,一个是正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果,这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同,另一个是负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算,这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(0作除数的情况除外).教学时,可以通过较多实例说明这两点,并在本节课以后的教学中继续强化这两点.
设计意图:在教学中,平方根性质由学生交流、讨论、比较、归纳得出,经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程.由于分正数、0、负数三种情况总结,也潜移默化地渗透了分类讨论的数学思想,培养了思维的严谨性.
2.平方根的表示方法
在学生了解平方根的性质的基础上,引导学生把正数a的算术平方根的表示方法,迁移到平方根的表示方法上.
学生已经知道,正数a的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的平方根就是正数a的算术平方根,于是就有正数a的平方根可以用符号±来表示,并且懂得a的非负性的理由.
设计意图:在学生了解正数a的算术平方根的表示基础上,借助平方根的性质,用数学符号表示正数a的平方根,并理解中a的非负性,讨论,±的区别与联系,体会数学符号在数学解决问题方面的优越性,进一步发展学生数学符号感.
典例精讲
例2　求下列各式的值:
(1);　　(2)-;　　(3)±.
解:(1)因为62=36,所以=6;
(2)因为0.92=0.81,所以-=-0.9;
(3)因为=,所以±=±.
学生解答,教师巡视,关注学生语言规范的表述,同时让学生知道一个数的算术平方根就是这个数的正的平方根.
设计意图:要让学生明白各式所表示的意义;根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式.平方根和算术平方根的概念是本章重点内容,两者既有区别又有联系.同时,进一步理解平方根的表示,加深对平方根概念的理解,培养学生用规范语言和数学符号解决问题的能力.
巩固训练
1.精心选一选.
(1)以下叙述中正确的是(　B　)
　　A.-16的算术平方根是4 B.是的一个平方根
C.-1.2是(-1.2)2的算术平方根 D.0.9的平方根是0.3
(2)的平方根是(　C　)
A.± B. C.± D.
2.认真填一填.
(1)121的平方根是　±11　,5是　25　的一个平方根.
(2)若一个正数的平方根是2a-2和-a+2,则a=　0　,这个正数为　4　.
3.仔细想一想.
已知2a-1的平方根是±1,3a+b-1的平方根是±4,求2a+b的平方根.
解:∵2a-1的平方根是±1,3a+b-1的平方根是±4,
∴2a-1=1,3a+b-1=16,解得a=1,b=14.
∴2a+b=16.∴2a+b的平方根为±4.
设计意图:这个环节是巩固本课知识点,通过设置一组由浅入深的练习,来检测学生的掌握情况,在这部分的设计中,主要是发挥学生作为教学主体的主动性,让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦.
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1.教材第47,48页习题6.1第3,4,8,10题.
2.相关练习.
第3课时　平方根
　　　 1.平方根的概念.
2.平方根的性质.

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