资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“实数”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,学生将了解无理数和实数,知道实数是由有理数和无理数组成的,感悟数的扩充;初步认识实数与数轴上的点具有一一对应的关系,能用数轴上的点表示一些具体的实数,能比较实数的大小;能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求实数的相反数、绝对值;知道平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示平方根、算术平方根、立方根;知道乘方与开方互为逆运算,会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根(及对应的负整数),会用计算器计算平方根和立方根;能用有理数估计一个无理数的大致范围;初步认识近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,会按要求进行简单的近似计算,会对结果取近似值;会用二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算.在中学阶段,实数的知识贯穿于中学数学学习的始终,多数数学问题是在实数范围内研究的.实数不仅是初中阶段学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础,也是学习高中数学内容的基础.
2.本单元教学内容分析
人教版教材七年级下册第六章“实数”,本章包括三个小节:6.1平方根;6.2
立方根;6.3实数.
本单元内容属于“数与代数”领域,很多内容是有理数相关内容的延续和推广.类比有理数,引入实数的绝对值和相反数的概念,实数的运算法则和运算性质,实数与数轴上的点的一一对应关系,平方与开平方、立方与开立方互为逆运算的关系等都是在有理数的基础上展开的.为了使学生更好地体会到数的扩充过程中表现出的概念、运算等的一致性和发展变化.本章前两节“平方根”“立方根”在内容和展开方式上是基本平行的,因此充分利用类比的方法,通过类比“平方根”展开“立方根”的内容,这样有助于加强知识间的相互联系,通过类比已学的知识学习新知识,使学生的学习形成正迁移.通过学生合作探究,揭示出像这种无限不循环小数的存在,从而引入无理数的概念,使学生把数的概念从有理数扩展到实数.这不仅对学生今后研究问题、解决问题以及终身的发展非常有益,而且也是深入贯彻实施《标准2022》的素养理念的渠道,这样才能更好地促进学生思考、激发学生思维探究、教会学生学习方法、挖掘学生的学习潜力、有效提高初中数学教学质量和学生学业质量.
三、单元学情分析
本单元内容是人教版教材数学七年级下册第六章实数,是在有理数的基础上学习实数的初步知识.学生在前面已经系统地学习了有理数,对有理数的概念和运算等有了较深刻的认识,初步积累了一定的“数学化”的活动经验.运用类比的数学思想,使学生更好地体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化,会降低学生学习的难度.根据学生的最近发展区创设典型的问题情境,会使学生更加主动地去探索用根号形式表示的无理数的相关知识,培养学生良好的数学探究意识.而让学生了解算术平方根、平方根的概念和求法以及实数的概念、运算和实数在数轴上的表示是学习本章内容的主要目标,平方根和实数的概念对学生来说是一个难点.学生虽然积累了一定的有理数的数学活动经验,但对于实数理论知识的理解还不够深刻,所以学生在正数开平方时往往会忽略一个结果,容易将算术平方根和平方根混淆.对于负数没有平方根,学生接受起来也有一定的难度.实数的概念是一个构造性的定义,比较抽象,学生真正理解这个概念也有一定的困难.
四、单元学习目标
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根.发展学生的抽象能力.
2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数的平方根,会用立方运算求千以内完全立方数(及对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.综合利用各种途径培养学生的运算能力.
3.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值,并初步认识“数形结合”思想方法的作用.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.培养学生估算的能力.
五、单元学习内容及学习方法概览
实数
课时划分 内容本质与研究方法
6.1 平 方 根 第1课时　 算术平方根 从具体到抽象给出算术平方根的概念; 借助从特殊到一般的研究思路,总结出开方数越大,对应的算术平方根也越大
第2课时　 用计算器求一 个正数的算术平方根 用有理数估计无理数的大致范围,并初步体验“无限不循环小数”的含义; 用计算器求一个正数的算术平方根
第3课时　平方根 从具体到抽象给出平方根的概念; 通过从特殊到一般以及逻辑推理的方法,归纳平方根的特征,类比有理数的运算,强调平方和开平方互为逆运算,揭示开平方运算的本质
6.2　立方根 从具体到抽象给出立方根的概念; 类比平方根研究立方根,归纳出立方根的特征
续表
实数
课时划分 内容本质与研究方法
6.3 实数 第1课时 实数的概念 从有理数的形式变化和已见过的无理数入手,引入无理数的概念; 综合以前学过的有理数,进行实数分类练习,掌握实数概念与数轴的关联,并通过数轴体会数形结合思想
第2课时 实数的运算 通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识,让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性,让学生充分感受数的不断发展
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获的思想.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
第1课时　算术平方根
课时目标
1.了解算术平方根的意义和求法以及实际应用.
2.会求某些正数(完全平方数)的算术平方根,并会用符号表示,提高抽象能力.
3.通过独立思考、合作交流,经历从平方运算到求算术平方根的演变过程,感悟二者的互逆关系,并会用算术平方根解决实际问题,发展应用意识.
学习重点
算术平方根的概念及求法.
学习难点
求出某些正数(完全平方数)的算术平方根.
课时活动设计
情境引入
请同学们欣赏本章导图,并回答问题.
你们知道宇宙飞船离开地球进入地面附近轨道的速度在什么范围内吗 这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(单位:m/s)而小于第二宇宙速度v2(单位:m/s).v1,v2的大小满足=gR,=2gR,其中g是物理中的一个常数(重力加速度),g≈9.8 m/s2,R是地球半径,R≈6.4×106 m.怎样求v1,v2呢
设计意图:由“神州十六号”飞船载人出舱的现实图片引出,给学生产生视觉上的强烈冲击,产生强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.让学生感悟数学来源于生活并服务于生活,初步感受实数的引入是人类对数的认识的又一次飞跃.
用多媒体演示问题情境,自主学习
学校要举行美术作品大赛,小欧很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少
学生思考后回答,然后完成下表:
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
正方形的边长/dm
　　思考:你能指出每组正方形的边长和面积之间有什么特点吗
设计意图:由于学生熟悉平方运算,再结合正方形的面积与边长的关系,学生很容易解决这个问题,这样既复习了关于平方的知识,又为所要学习的知识做了铺垫,而且通过实例让学生从生活引入课题,从而认识算术平方根.使学生感受到已知一个正数的平方,求这个正数的算术平方根是平方运算的逆运算.
合作探究:算术平方根的概念
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.
强调:书写时根号一定要把被开方数盖住.
问题1:表示什么意思 它的值是怎样的数 这里的被开方数a应该是怎样的数
解:表示a的算术平方根.算术平方根为非负数,即≥0,被开方数为非负数,即a≥0,负数没有算术平方根,即当a<0时,无意义.
问题2:0的算术平方根是多少 怎么表示
解:0的算术平方根是0.表示为=0.
设计意图:通过以上问题的设置加深对算术平方根的非负性的理解,进一步提高语言表达的准确性和书写的规范性.让学生熟悉算术平方根的概念,体会算术平方根的意义.
典例精讲
例　求下列各数的算术平方根:
(1)100;　　　　(2);　　　　(3)0.000 1.
解:(1)因为102=100,所以100的算术平方根是10,即=10;
(2)因为=,所以的算术平方根是,即=;
(3)因为0.012=0.000 1,所以0.000 1的算术平方根是0.01,即=0.01.
设计意图:在学生掌握了算术平方根的概念和意义之后,教师展示求数的算术平方根的思考过程.在开始阶段,宜让学生适当模仿,熟练后可以直接写出结果.在学生经历求算术平方根的过程中,使学生感受到被开方数越大,对应的算术平方根也就越大.再次体会算术平方根的意义.
巩固训练
1.求下列各数的算术平方根:
(1)0.001 6;　　(2)121;　　(3)42;　　(4).
解:(1)0.04;(2)11;(3)4;(4).
2.下列各式分别表示什么意思 你能求出它们的值吗
;　　　　　;　　　　　.
解:它们分别表示25的算术平方根,0.81的算术平方根,1的算术平方根,它们的值分别是5,0.9,.
设计意图:这个环节是巩固本课知识点,通过设置两组练习,来检测学生的掌握情况,在这部分的设计中,主要发挥学生作为教学主体的主动性,让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦.
.
1.教材第41页练习第1,2题,第47页习题6.1第1题.
2.相关练习.
第1课时　算术平方根
　　　 算术平方根的概念.
规定:0的算术平方根是0.

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