资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的“二元一次方程组”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出数与代数是数学知识体系的基础之一,是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石,可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界.在小学阶段,学生认识了正有理数,掌握了正有理数的四则运算,知道可以用字母表示数、数量关系及规律.在初中阶段,学生将认识负数、无理数,学习它们的四则运算,还将学习代数式、方程、不等式、函数等内容.
这些内容构成了初中阶段数与代数领域“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,它们是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推埋能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.
“数与式”是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表述代数式以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母运算和推理得到的结论具有一般性;“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系(相等关系和不等关系),是一类应用广泛的数学工具;“函数”主要研究变量之间的关系,探索事物变化的规律,借助函数可以认识方程和不等式.
“方程与方程组”是数与代数领域的主要内容,它在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位.本单元所学习的二元一次方程组,它是在学习了一元一次方程后,学习的又一个反映现实世界中的等量关系的重要模型.类比的数学思想贯穿“方程与不等式”的主题研究内容和研究思路.
方程与不等式的教学应当让学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表达的未知数,建立两个量之间关系的过程,知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达.数与代数领域的“方程与不等式”主题中的“方程与方程组”的单元学习,有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念,发展几何直观和运算能力.
2.本单元教学内容分析
　　 人教版教材七年级下册第八章“二元一次方程组”,本章包括四个小节:8.1二元一次方程组;8.2消元——解二元一次方程组;8.3实际问题与二元一次方程组;*8.4三元一次方程组的解法.
“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系(相等关系和不等关系),是一类应用广泛的数学工具.通过一元一次方程——二元一次方程(组)——一元二次方程;方程与不等式;整式方程——分式方程,经历对现实问题中量的分析,借助用字母表达的未知数,建立两个量之间的关系的过程,知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达.本单元的学习对后期学习不等式组及二次函数内容的学习起到铺垫的作用,二元一次方程组是最简单的多元方程组,通过对它的学习可以了解一般的多元一次方程组的概念和解法的基本思路,体会类比转化思想.利用二元一次方程组解决实际问题,体现模型思想,既是学习二元一次方程组的出发点,又是学习二元一次方程组的落脚点.
三、单元学情分析
本单元内容是人教版教材数学七年级下册第八章二元一次方程组,学生在前面已学习了代数式、方程、一元一次方程,初步积累了一定的数与代数的数学活动经验,具备有关一元一次方程的知识和经验,知道一元一次方程是刻画现实世界的有效数学模型,已积累了一些建构方程模型分析和解决问题的经验.运用类比的数学思想,从研究方程的思路入手看待二元一次方程组和三元一次方程组可降低学生学习的难度.学生已有一定的能力通过自主探究和合作交流,从实际问题建立方程模型,从方程模型中抽象、概括出二元一次方程的概念模型.根据学生的最近发展区创设特定情境,使学生一直处于根据实际问题布列方程是刻画现实情景中数量关系的一个重要的数学模型的氛围之中,会使学生更加主动地去探索二元一次方程(组)的特征、解法及运用二元一次方程组解决实际问题,培养学生良好的数学探究意识与应用意识.掌握用消元法解二元一次方程组,强调“消元”的思想和方法.消元法是一种重要的思想和方法,能够简化问题,也是解决问题的一种策略,是贯穿二元一次方程组的一条主线.通过“消元”将二元一次方程组转化为一元一次方程,实现求解的目的,体现化繁为简、以简驭繁的基本策略,对发展学生的运算能力、分析问题和解决问题的能力都具有重要意义.
四、单元学习目标
1.以分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景,认识二元一次方程(组)及其有关概念,发展抽象思维能力、模型观念.
2.根据化归思想,抓住“消元”这一基本策略,能灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组,并会解简单的三元一次方程组.
3.经历分析和解决问题的过程,体会二元一次方程(组)的教学模型作用,进一步提高运用方程(组)解决实际问题的基本能力,培养应用意识、创新意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
二元一次方程组
课时划分 内容本质与研究方法
8.1　二元一次方程组 类比一元一次方程及其解的概念,归纳二元一次方程(组)及其解的概念
8.2　消元——解 二元一次 方程组 第1课时　用代入消元法解方程组 采用自主探究、互助交流的方法总结知识,让学生通过独立观察、合作交流的方式讨论“二元”如何变“一元”,然后利用单个二元一次方程的变形及时强化“代入”的本质
第2课时　用加减消元法解方程组 采用“启发探究”的方法,通过自主探究、合作交流、观察发现、归纳总结的方式学习新知,让学生能够根据同一未知数的系数关系,选择适当的加或减的方法进行消元,体会加减法同代入法一样都是一种消元的有效手段,将“二元”问题转化为“一元”问题
续表
二元一次方程组
课时划分 内容本质与研究方法
8.3　实 际问题与 二元一次 方程组 第1课时　和差倍分与配套问题 采用“探究、讨论、发现”的方法,经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程,体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型,解决和差倍分与配套问题
第2课时　几何图形与图文信息问题 采用“探究、讨论、发现”的方法,再次经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程,解决几何图形与图文信息问题
第3课时　销售问题与行程问题 采用“探究、讨论、发现”的方法,继续经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程,解决销售问题与行程问题
*8.4　三元一次方程组的解法 采用启发引导,讲练结合的方法,提出问题、解决问题,让学生去观察、类比、探索三元一次方程的概念及解法
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所收获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
课时目标
1.经历根据实际问题列二元一次方程(组)的过程,让学生体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的数学模型.
2.通过复习类比一元一次方程,探究掌握二元一次方程(组)及其解的概念.
3.培养学生的数学类比思想,感受方程组的实际应用价值.
学习重点
二元一次方程(组)以及解的概念.
学习难点
二元一次方程组的解的概念.
课时活动设计
情境引入
篮球比赛不仅出现在奥运赛场上,在生活中也随处可见,请同学们看下面这个问题:在某次篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少呢
问题:这个问题中有几个未知数,你能用学过的一元一次方程解决此问题吗
设计意图:通过现实生活背景,提出问题,为新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
前面我们学习了一元一次方程及其解的概念,下面一起回顾一下:
一元一次方程:　;
一元一次方程的解:　.
设计意图:复习回顾旧知识,为学新知识打下铺垫.
探究新知
探究1:前面的问题能不能根据题意直接设两个未知数,使列方程变得容易呢
分析:胜的场数+负的场数=总场数,胜场积分+负场积分=总积分.
胜 负 合计
场数 x y 10
积分 2x y 16
　　解:设这个队胜的场数为x场,负的场数为y场.
依据题意,得x+y=10,2x+y=16.
问题:想一想这两个方程与一元一次方程有什么不同 它们有什么特点
特点:(1)都含有两个未知数x和y;
(2)未知数的项的次数是1;
(3)方程的左右两边都是整式.
概念:探究1的两个方程中,每个方程都含有两个未知数(x和y),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
探究2:
强调:未知数x,y必须同时满足这两个方程这就组成了一个方程组.
想一想:这个方程组含有几个未知数 含有未知数的项的次数是多少
概念:含有两个未知数,每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.
探究3:
问题:满足方程x+y=10,且符合问题的实际意义的值有哪些 把它们填入表中.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
　　概念:一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
通常记作
探究4:满足方程x+y=10,
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
　　满足方程2x+y=16,
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 16 14 12 10 8 6 4 2 0
　　追问:有没有同时满足这两个方程的解
解:有,像这样同时满足这两个方程的解,叫做这两个方程的公共解.
概念:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
设计意图:1.从已有的知识体系自然地构建出新知识.
2.让学生经历概念的形成过程,培养自主学习、合作交流的能力.通过追加思考,让学生更深入的理解二元一次方程(组)及其解的概念.
归纳总结
1.含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
2.由几个方程组成的一组方程叫做方程组.方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.
3.一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
4.一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
设计意图:对本课时内容进行回顾和梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例1　判别下列各方程组是不是二元一次方程组,并说明理由.
(1)(2)(3)(4)
解:(1)(4)是二元一次方程组,因为它们符合二元一次方程组的概念,所以它们都是二元一次方程;(2)不是二元一次方程组,因为它含有三个未知数;(3)不是二元一次方程组,因为它虽然含有两个未知数,但含有未知数的项pq的次数是2.
例2　填表,使上下每对x,y的值是方程3x+y=5的解.
　　
例3　二元一次方程组的解是(　C　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
设计意图:通过例题讲解,及时练习巩固所学,培养巩固训练、积极思考的习惯.
巩固训练
1.下面的方程是二元一次方程吗 为什么
(1)1-2x=5-x;　　　　(2)x2+5y3=7;　　　　(3)m+n.
解:(1)不是,1-2x=5-x中只有一个未知数,所以不是二元一次方程;
(2)不是,x2+5y3=7中含有未知数的项的次数都不是1,所以不是二元一次方程;
(3)不是,m+n不是方程,所以不是二元一次方程.
2.下列方程组是不是二元一次方程组 为什么
(1)　　(2)　　(3)　　(4)
解:(1)不是二元一次方程组,因为方程3x-2y3=3中含y的项的次数不是1,所以它不是二元一次方程组;
(2)是二元一次方程组,因为方程组中有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,所以它是二元一次方程组;
(3)不是二元一次方程组,因为2x+y不是方程,所以它不是二元一次方程组;
(4)不是二元一次方程组,因为它含有三个未知数,所以它不是二元一次方程组.
3.请写出方程x+2y=30的一组解为 (答案不唯一)　.
4.二元一次方程组的解是(　B　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
今天我们学习了哪些知识
1.举例说明二元一次方程、二元一次方程组的概念;
2.举例说明二元一次方程、二元一次方程组的解的概念.
设计意图:通过小结,使学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
.
1.教材第90页习题8.1第2,3,4题.
2.相关练习.
8.1　二元一次方程组
　　　 二元一次方程组
等量关系.
教学反思

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