资源简介

一、单元学习主题
本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的“不等式与不等式组”.
二、单元学习内容分析
1.课标分析
《标准2022》指出初中阶段数与代数是数学知识体系的基础之一,是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石,可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界.在小学阶段,学生认识了正有理数,掌握了正有理数的四则运算,知道可以用字母表示数、数量关系及规律.在初中阶段,学生将认识负数、无理数,学习它们的四则运算,还将学习代数式、方程、不等式、函数等内容.这些内容构成了初中阶段数与代数领域“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题.“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系(相等关系和不等关系),是一类应用广泛的数学工具.应当让学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表示未知数,建立两个量之间关系的过程,知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达;引导学生关注用字母表示一元二次方程的系数,感悟用字母表示的求根公式的意义,体会算术与代数的差异.本章的学习内容不等式与不等式组是从什么是不等式说起,类比等式和方程,讨论不等式的性质,学习一元一次不等式(组)的概念及其解法,并利用这些知识解决一些问题,感受不等式在研究不等式问题中的重要作用.
2.本单元教学内容分析
人教版教材七年级下册第九章“不等式与不等式组”,本章包括三个小节:
9.1不等式;9.2一元一次不等式;9.3一元一次不等式组.
“方程与不等式”主题通过结合具体问题,让学生了解方程的意义,探索方程的基本性质;能用方程的基本性质对方程进行变形;能解一元一次方程,能根据二元一次方程组的特征选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组;能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次方程或二元一次方程组,解决简单的实际问题,建立模型观念.本单元内容是学生在学习了一元一次方程和二元一次方程组之后,所要学习的又一次数学建模过程,是初中阶段的重要内容之一,也为后续学习做好铺垫.通过学生所熟悉的实际问题,充分展现知识发生、发展的过程,关注新旧知识间的联系,进而引入不等式的有关概念,使学生经历用模型和符号表示实际问题的过程,以便加深对不等式相关概念的理解和应用.在探究不等式的性质和解法的过程中,利用数形结合的办法,帮助学生理解和掌握知识,如借助数轴探究不等式的性质,将不等式(组)的解集在数轴上表示出来等.通过类比,让学生发现不同知识间的联系,如将解一元一次不等式的过程和解一元一次方程的过程进行类比,有助于学生发现它们之间的异同,进而加深理解和应用.在解决实际问题的过程中使学生初步体会一元一次不等式的建模过程,培养学生建立数学模型的能力.
三、单元学情分析
本单元内容是人教版教材数学七年级下册第九章不等式与不等式组,学生在前面已学习了一元一次方程,初步积累了一定的数学活动经验,运用类比的数学思想,从方程的研究过程出发会降低学生学习的难度.根据学生的最近发展区创设特定情境,会使学生更加主动地去探索不等式的基本性质,培养学生良好的数学探究意识.而让学生主动探索不等式的基本性质,认识不等式在现实生活中的广泛应用是学习本单元内容的主要目标.学生虽然积累了一定的建立数学模型的数学活动经验,但是在探索的过程中对学生分析问题的能力、抽象能力、交流归纳能力以及对数学方法的掌握能力要求较高.
四、单元学习目标
1.经历从实际问题抽象出不等式的过程,能够根据具体问题中的数量大小关系了解不等式的意义.
2.利用数形结合,通过观察、猜想、类比和归纳,探索不等式的基本性质,并能灵活运用这些性质解不等式.
3.理解一元一次不等式和一元一次不等式组的解集的意义,能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集.会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集,在解不等式的过程中,体会数形结合的思想.
4.知道解一元一次不等式(组)的一般步骤,掌握一元一次不等式(组)的解法,发展运算能力.
5.能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的实际问题,并能根据具体问题的实际意义,检验所求结果的合理性.感受数学的应用价值,培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.
五、单元学习内容及学习方法概览
不等式与不等式组
课时划分 内容本质与研究方法
9.1　 不等式 9.1.1 不等式及其解集 借助由特殊到一般的研究思路,归纳不等式的概念;能用不等式表示同类量之间的不等关系,理解不等式的解及其解集的意义
9.1.2 不等式 的性质 第1课时 不等式的性质 通过观察、猜想、类比和归纳,探究出不等式的基本性质,体会不等式变形和等式变形的区别与联系,掌握不等式的基本性质并熟练运用
第2课时 不等式的性质的应用
9.2　一元 一次不 等式 第1课时　一元一次不等式的解法 能说出一元一次不等式的概念,能在数轴上表示不等式的解集;掌握解一元一次不等式的一般步骤
第2课时　一元一次不等式的应用 类比列一元一次方程解应用题的方法,能从实际问题中抽象出数量之间的不等关系,会解决有关一元一次不等式的简单问题,发展学生的应用意识、分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念
续表
不等式与不等式组
课时划分 内容本质与研究方法
9.3　一元一次不等式组 能说出一元一次不等式组的概念,从实际问题中抽象出不等式组,会解简单的一元一次不等式组
六、单元评价与课后作业建议
本单元课后作业整体设计体现以下原则:
针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.
层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所收获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.
根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.
9.1.1　不等式及其解集
课时目标
1.能够从实际问题中抽象出不等式,了解不等式和不等式解的意义,会根据给定条件列不等式.能在实际问题中体会用数学符号语言表达的好处,同时渗透建模、类比的思想方法.
2.通过解决简单的实际问题,使学生自发地寻找不等式的解,理解不等式的解集,并能在数轴上表示出解集.
3.经历对不等式、不等式的解与解集的探究过程,体会问题解决、获得成功体验的快乐,建立学习自信心.
学习重点
不等式的概念.
学习难点
建立不等关系.
课时活动设计
某同学带了20元钱到文具店购买一些自动铅笔和尺子,铅笔一共花费12元,每把尺子2元,现刚好将所带的钱用完,请问购买了多少把尺子
问题1:我们该如何解决这个问题呢
问题2:若条件不变,该同学所花费的金额超过20元,我们又该如何解决这个问题呢
问题3:若该同学所花费的金额不足20元呢
设计意图:让学生切实经历不等式的产生过程,体验到不等式是由于表示不等关系的需要而产生的数学模型.贴近生活的实例也有助于学生感受到数学来源于生活,服务于生活.
引导学生思考:(1)12+2x=20;(2)12+2x>20;(3)12+2x<20.
这三个式子有什么不同点
引导学生回忆等式的概念,类比得出不等式的概念.
学生根据式子的特点得出不等式的概念:像(2)和(3)这样,用符号“>”“<”表示大小关系的式子,叫做不等式.
例1　用不等式表示下列关系:
(1)x与2的和小于7;
(2)a的4倍不等于8;
(3)a与1的差是正数;
(4)x与3的差的10%不大于5.
解:(1)x+2<7;
(2)4a≠8;
(3)a-1>0;
(4)(x-3)×10%≤5.
引导学生发现列出的不等式是将文字表达转化为数学符号表达.
设计意图:通过以上探索,学生很自然地理解了不等式的意义及常见的不等号的读法和意义,本节重点和难点都得到了初步突破.
设计以下几个问题,引导学生探索不等式的解和解集的概念.
问题1:当x=　4　时,12+2x=20成立.
问题2:当x　>4　时,12+2x>20成立.
x的值 12+2x的值 比较12+2x与20的大小 12+2x>20是否成立
1 14 12+2x<20 不成立
2 16 12+2x<20 不成立
4 20 12+2x=20 不成立
5 22 12+2x>20 成立
7 26 12+2x>20 成立
8 28 12+2x>20 成立
… … … …
　　通过方程的解即可得出不等式的解和解集的概念.
学生进行总结归纳:使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.
设计意图:表格是为了让学生更加清晰地发现不等式的解的特点,并从中引出不等式的解集.
解集还可以在数轴上表示.
(1)怎样在数轴上将x=5表示出来
(2)怎样在数轴上将x>5表示出来
(3)怎样在数轴上将x<4表示出来
分析:画数轴,定界点,定方向.
例2　直接写出不等式2x<8的解集,并在数轴上表示解集.
解:2x<8的解集为x<4.在数轴上的表示如图所示.
你能一眼看出x->(2x+1)-5的解集吗
解不等式的概念:求不等式解集的过程叫做解不等式.
设计意图:让学生学会在数轴上表示解集.通过解方程类比学习,从上面不等式引出解不等式的概念,也为下节内容做好铺垫.
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1.教材第115,116页练习第1,2,3题.
2.相关练习.
9.1.1　不等式及其解集
　　　 一、不等式的相关概念.
1.不等式.
2.不等式的解.
3.不等式的解集.
4.解不等式.
二、用数轴表示不等式的解集.
教学反思

9.1.2　不等式的性质
第1课时　不等式的性质
课时目标
1.通过观察、猜想、类比和归纳,探究出不等式的基本性质,体会不等式变形和等式变形的区别与联系.
2.掌握不等式的基本性质并熟练运用.
学习重点
掌握不等式的三条基本性质.
学习难点
正确运用不等式的三条基本性质进行不等式变形.
课时活动设计
复习回顾
等式的性质.
等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),等式仍然成立.
即如果a=b,那么a±c=b±c.
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,等式仍然成立.
即如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,那么=(c≠0).
设计意图:复习等式的基本性质,为不等式的基本性质学习做准备,激发学生学习的兴趣.
一起探究
用“>”或“<”完成下面填空:
(1)5>3,5+2　>　3+2,5-2　>　3-2;
问题1:观察上面的不等式,它们之间有什么不同点和相同点 用自己的语言表述你发现的规律.
(2)-1<3,-1+2　<　3+2,-1-3　<　3-3;
问题2:观察上面的不等式,你又发现了什么规律 综合(1)(2),类比等式的性质1,猜想不等式的性质,并换一些其他的数,验证这个猜想.
不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
用字母表示:如果a>b,那么a±c>b±c.
如果a(3)6>2,6×5　>　2×5,6÷5　>　2÷5;
问题3:观察上面的不等式,类比等式的性质2,猜想不等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,不等号的方向不变.这句话严谨吗 请举例验证一下.
(4)-2<3,(-2)×(-6)　>　3×(-6),(-2)÷(-6)　>　3÷(-6).
问题4:怎么叙述才严谨 换一些其他的数验证这个猜想.
不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
用字母表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或>).
不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
用字母表示:如果a>b,c<0,那么ac问题5:比较不等式的性质2与3有什么区别
解:性质2的两边乘或除以的是一个正数,不等号的方向没有变;而性质3的两边乘或除以的是一个负数,不等号的方向改变了.
问题6:比较等式的性质与不等式的性质有什么异同
解:等式的性质与不等式的性质1,2,除了一个是“等式仍然成立”,一个是“不等号的方向不变”的说法不同外,其余都一样;而不等式的性质3“不等号的方向改变”,这与等式的性质说法不同.
设计意图:通过四组数据的计算比较,让学生通过观察有限个不等式的变化,发现并猜想出不等式的基本性质,再通过具体数值验算,最后总结归纳出性质,培养学生的抽象概括能力及合情推理能力.
典例精讲
例1　若a>b,用“<”或“>”填空.
(1)a+2　>　b+2;　　　　　　(2)a-3　>　b-3;
(3)-4a　<　-4b; (4)　> ;
(5)1-2a　<　1-2b; (6)3a-2　>　3b-2.
例2　填空:
(1)∵3a>4a,∴a是　负　数;
(2)∵>,∴a是　负　数;
(3)∵ax>a且x>1,∴a是　正　数.
设计意图:通过举例进一步巩固学生运用不等式的性质.
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1.教材第120页习题9.1第4,6题.
2.相关练习.
教学反思

第2课时　不等式的性质的应用
课时目标
1.理解“≤”“≥”的含义,并掌握“≤”“≥”与“<”“>”的区别.
2.学会运用类比思想来解不等式,掌握在数轴上表示不等式的解集,并能初步认识不等式的应用价值.
3.在分组活动和班级交流的过程中,积累数学活动经验并感受获得成功的喜悦,从而增强学习数学的兴趣.
学习重点
不等式性质的应用.
学习难点
不等式性质的应用.
课时活动设计
课堂引入
我们知道数学来源于生活,又服务于生活,在日常生活中就有这样的例子.
小明就读的学校上午8点开始上第一节课.小明家距学校2千米,而他的步行速度为每小时6千米,那么小明最晚上午几点从家里出发才能保证不迟到
(1)如果设小明上午x点从家里出发,那么x应满足怎样的关系式
(2)怎样解(1)中的关系式
(3)(2)中的解集在数轴上怎样表示
设计意图:从实际问题引入能激发学习兴趣.经历由具体的实例建立不等式模型的过程,既可以让学生感受不等式在实际生活中的应用,又非常自然地引入新课.
探究新知
分组探讨:对上述三个问题,你是如何考虑的 先独立思考,然后组内交流.
在学生充分讨论的基础上,学生展示师生共同归纳得出:
解:(1)x应满足的关系式是x+≤8.
(2)根据“不等式的性质1”,在不等式的两边减,得x+-≤8-,即x≤.
(3)这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
我们在表示的点上画实心圆点,表示取值范围包含这个数.
强调“≤”与“<”及“≥”与“>”在意义上和在数轴表示上的区别.
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来.在运用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”:一是确定“边界点”,二是确定“方向”.
(1)确定“边界点”:若边界点表示的数是不等式的解,则用实心圆点;若边界点表示的数不是不等式的解,则用空心圆圈;
(2)确定“方向”:对于边界点a而言,x>a或x≥a向右画,x师生活动:学生共同讨论“≤”与“<”及“≥”与“>”的区别.
设计意图:培养学生合作交流的意识,提高学生的观察、分析、概括和抽象能力,强调“≤”与“<”及“≥”与“>”在意义上和在数轴表示上的区别.
应用新知
例1　利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集:
(1)3x-1>4;　　(2)3x<5x-4;　　(3)x+2≤1.
解:(1)根据不等式的性质1,两边同时加1,得3x-1+1>4+1.
整理,得3x>5.
根据不等式的性质2,两边同时除以3,得x>.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
(2)根据不等式的性质1,两边同时减5x,得-2x<-4.
根据不等式的性质3,两边同时除以-2,得x>2.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
(3)根据不等式的性质1,两边同时减2,得x≤-1.
根据不等式的性质2,两边同时乘,得x≤-.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
师生活动:学生独立思考,并写出解答过程.
例2(教材第119页例2)　如图,某长方体形状的容器长5 cm,宽3 cm,高10 cm,容器内原有水的高度为3 cm,现准备向它继续注水.用V(单位:cm3)表示新注入水的体积,写出V的取值范围.
问题1:新注入水的体积V与原有水的体积的和与容器的容积有什么关系
解:新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积.
问题2:新注入水的体积V可以是负数吗
解:不可以是负数.
问题3:你能独立求出V的取值范围吗
问题4:试将V的取值范围在数轴上表示出来.
解:新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积,
即V+3×5×3≤3×5×10,整理,得V+45≤150.解得V≤105.
又由于新注入水的体积V不能是负数,因此,V的取值范围是V≥0并且V≤105.
在数轴上表示V的取值范围如图所示.
师生活动:老师提出问题,引发学生思考,学生互相讨论,思考得出结论.
设计意图:使学生进一步巩固不等式的性质,为后面学习一元一次不等式的解法作铺垫.解决实际问题,容易引起学生关注,激发他们参与学习的热情,同时学生能体会到生活中蕴含着数学知识,反过来数学知识又帮助我们解决生活中的许多实际问题,从而感受到知识的应用价值.
巩固训练
1.在数轴上表示不等式x-1<0的解集,正确的是(　C　)
2.当x取何值时,-x+2的值不小于0(　B　)
A.x<6　　　　　B.x≤6　　　　　C.x>6　　　　　D.x≥6
3.按商品质量规定:商店出售的标明500 g的袋装食盐,其实际克数与所标克数相差不能超过5 g,设实际克数是x g,则x应满足的不等式是　500-5≤x≤500+5　.
4.用不等式表示下列语句,写出解集,并在数轴上表示解集:
(1)x的2倍大于或等于-4;
(2)x的不小于-1.
解:(1)列不等式为2x≥-4,解得x≥-2.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
(2)列不等式为x≥-1,解得x≥-.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
设计意图:进一步加强对不等式的性质的应用,使学生能灵活运用不等式的性质解简单的不等式.通过在实际问题中列不等式,加强学生对含“≥”“≤”的不等式的理解,并可以检验学生对本节课知识的掌握程度和运用程度.
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1.教材第119页练习第1,2题,第120页习题9.1第7,8,9题.
2.相关练习.
第2课时　不等式的性质的应用
　　　 1.含“≥”“≤”的不等式.
2.在数轴上表示不等式的解集
教学反思

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