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人教版初中数学八年级下册
17.1.2 勾股定理在实际生活中的应用 教学设计
一、教学目标：
1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.
二、教学重、难点：
重点：熟练运用会用勾股定理解决简单实际问题.
难点：熟练运用会用勾股定理解决简单实际问题.
三、教学过程：
复习回顾
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．
解：在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝2，
由勾股定理得
AD2＝AB2－BD2＝32－22＝5.
在Rt△ACD中，CD＝1，
由勾股定理得
典例解析
例1 一个门框尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内穿过？为什么？
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5.
AC=≈2.24.
因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过.
【针对练习】有一根长的木棒，要放入长、宽、高分别是、、的木箱中（如图），能放进去吗？试通过计算说明理由．
解：能放得进去；理由如下：如图所示：
根据已知条件得：，，，
连接、，
在中，
，
在中，
，
故能放得进去．
例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
解：在Rt△AOB中，根据勾股定理，
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，OB=1.
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15，
OD=≈1.77.
BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
【针对练习】如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠ =60°，∠ =45°．点D到地面的垂直距离 =4米，求点A到墙壁BC的距离．
解：在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：点A到墙面BC的距离为米．
【总结提升】利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
例3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5)，B(1,2)求A,B两点间的距离.
解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB.
∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴A,B两点间的距离为5.
【点睛】两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
【针对练习】如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4).求这两点之间的距离.
解：由A(5，0)和B(0，4)可得，OA=5，OB=4.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，
AB2=OA2+OB2=52+42=41，AB= .
因此，A、B两点间的距离为 .
例4.如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？
解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米，
过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是长方形，连接AB，
∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），
∴AE=AC-EC=10-4=6（米），
在中，（米），
答：小鸟至少飞行了10米．
例5.如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
解：根据题意得：，，
∴．
∴
∴．
∴乙船的航速是：（海里/时）．
例6.有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处,问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2m,高AB是5m,π取3）
【分析】立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
解：油罐的展开图如图，则AB′为梯子的最短距离.
∵AA′=2×3×2=12, A′B′=5,
在Rt△AA′B′中，由勾股定理得
即梯子最短需13米.
【针对练习】如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.
解：由题意得AC =2，BC=1,
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB = AC + BC =2 +1 =5
∴AB= ，
即最短路程为 .
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.如图，书架上放了四个文件夹，已知∠ACB=90°，AC=24cm， BC=7cm， 则AB的长为( )
A.20cm B.23cm C. 25cm D.cm
2.如图，一根12米高的电线杆CD垂直于地面，在其两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点A, B(点A、D、B在同一直线上)之间的距离是( )
A.13米 B.9米 C.10米 D.18米
3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
4.如图，长方体的长为3,宽为2，高为4，则从点A1到C点(沿着长方体表面)的最短距离是( )
A. B. C.9 D.3
5.如图是一个育苗棚，棚宽a=6m,棚高h=2.5m,棚长d=10m，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为______m2.
6.如果将一根细长木棒放进长为3cm、宽为2cm、 高为6cm的长方体有盖盒子中，那么细木棒最长可以是_____cm.
7.暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游,按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东拐,仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为______km.
8.如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m.求A、B两点间的距离(结果取整数).
9.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
10.如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，此人以米每秒的速度收绳，秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）
11.如图，有一个圆柱体，它的高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B处的食物，需要爬行的最短路程是多少 (π的值取3)
12.如图，铁路和公路在点O处交汇．公路上距离O点的A处与铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是多少？
【参考答案】
C
D
C
A
65
7
10
8.解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB2=BC2-AC2=602-202=3200 AB=≈57
因此，A、B两点间的距离约为57m.
9.解：设，
∵C、D两村到E站的距离相等，
∴，即，
由勾股定理，得,
∴，
解得．
∴E点应建在距A站10千米处．
10.解：在中：
，米，米，
米，
此人以米每秒的速度收绳，秒后船移动到点的位置，
米，
米，
米，
答：船向岸边移动了米．
11.解:如图，将圆柱体的侧面展开得到Rt△ABC，则AB为这只蚂蚁爬行的最短路程.
BC=-×2π×3=9 (厘米)
根据勾股定理，得
AB2=AC2+BC2=122+92=152
AB=15(厘米)
答:这只蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
12.解：如图：过点A作，，
∵公路上A处点距离O点，距离MN为，
∴，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，
此时，当货车到达D点后继续再运动时，对A处不再产生影响，此时，
∵，，，
∴由勾股定理得：，
，
∴，
∵，
∴A处受噪音影响的时间为：．
四、教学反思：
从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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