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人教版初中数学八年级下册
17.1.3 勾股定理的作图及典型计算 教学设计
一、教学目标：
1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.
2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.
二、教学重、难点：
重点：运用勾股定理在数轴上标出表示无理数的点，运用勾股定理解决实际问题.
难点：无理数也能在数轴上表示出来，理解数轴上的点与实数是一一对应的.
三、教学过程：
知识精讲
思考:在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理，得
，
又 AB=A′B′，AC=A′C′
∴ BC=B′C′
∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)
知识再现
实数与数轴上的点是一一对应的.
数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你还记得我们以前是如何在数轴上画出表示的点吗？
则：点A表示.
你能用勾股定理验证点A就是表示的点吗？
探究:你能在数轴上画出表示的点吗？
分析：利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边长为.
步骤：
1.在数轴上找出表示3的点A，则OA=3；
2.过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB=2；
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点.
类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段. 按照同样方法，可以在数轴上画出表示，，，，，…的点.
典例解析
例1.如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为，
即－1到A的距离是，
∴点A所表示的数为.
【点睛】求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.
【针对练习】
1.如图，点A表示的实数是（　 ）
A. B. C.- D.-
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　 ）
A.2 B. C. D.
例2.在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).
由勾股定理得
∴△ABC的周长为
【点睛】勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
【针对练习】
1.如图，在中，，，，则下列关系正确的是（　 ）
A． B． C． D．
2.如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点（网格线的交点），以点A为圆心，的长为半径作弧，交格线于点D，则的长为（　 ）
A． B． C． D．
例3.如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
【点睛】此类网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求面积，再用面积法求高.
【针对练习】如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
例4.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
解：在Rt△ABF中,由勾股定理得 BF2=AF2－AB2=102－82=36，
∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.
设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ，
在Rt△ECF中,根据勾股定理得 x2+42=(8－x)2，
解得 x=3.
即EC的长为3cm.
【针对练习】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边，现将直角边沿的角平分线折叠，使它落在斜边上，且与重合，你能求出的长吗？
解：在中，两直角边，，
由折叠的性质可知：，，，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：,
．
【总结提升】折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；
(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；
(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；
(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
例5.如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．
解：如图，延长AD、BC交于E．
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠E=90°－60°=30°，
在Rt△ABE和Rt△CDE中，
∵AB=2，CD=1，
∴AE=2AB=2×2=4，CE=2CD=2×1=2，
由勾股定理得
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.如图，在行距、列距都是1的4×4的方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于( )
A. B. C. D.
2.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点D，则CD的长为( )
A. B. C. D.2-
3.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-4,3),以点B(-1，0)为圆心，以BP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( )
A.-7和-6之间 B.-6和-5之间 C.-5和-4之间 D.-4和-3之间
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1,且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①,可得到点P1，此时AP1=2; 将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+; 将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3， 此时AP3=3+; .......按此规律继续旋转，直至得到点P2050为止，则AP2050等于( )
A.2049+683 B.2050+683 C.2051+683 D.2052+683
5.(1)如图①,把一个边长为2的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是______.
(2)如图②，点P是以AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的数是__________.
6.如图，已知长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，DC'交AB于E，AD=4, AB=8，则DE的长为_______.
7.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为，，.
8.在数轴上作出表示，的点.
9.如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，求的长．
10.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．
(1)画出关于对称的；
(2)的面积为 ；
(3)在上画出点P，使的周长最小，最小周长是________．
【参考答案】
C
D
B
C
(1)-2;(2)-2+2.
5
7.解:如图所示，△ABC为所求.
8.解:如图所示，点C表示，点D表示.
9.解：根据题意得：，，
∵为边的中点，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，
即．
10.解：（1）如图，即为所求：
（2）
（3）如图，连接交于点P，点P即为所求：
∵，
∴的最小周长
四、教学反思：
从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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