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人教版初中数学八年级下册
17.2.2 勾股定理的逆定理的应用 教学设计
一、教学目标：
1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
二、教学重、难点：
重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
三、教学过程：
复习回顾
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
∵，a、b为直角边，c为斜边.
∴
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c 满足，那么这个三角形是直角三角形.
∵△的三边a、b、c满足
∴是直角三角形
典例解析
例1.如图，一块四边形花圃中，已知，，，，.
(1)求四边形花圃的面积；
(2)求到的距离．
（1）解：连接，
∵，，，
∴m，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形花圃的面积
∴四边形花圃的面积是；
（2）过点C作于E，
∵，
∴，
∴，
∴到的距离是．
例2.在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原来的路线的长．
解：∵千米，千米，千米，即，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，即，
解得：，
答：原来的路线的长为千米．
【针对练习】2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．
(1)问这片绿地的面积是多少？
(2)小区内部分居民每天必须从点经过点再到点位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点直通点的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点到点将少走多少路程？
（1）解：如图，连接，
，，，
，
，，
，
是直角三角形，即，
，，
，
（2）解：.
例3.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24，
PR=12×1.5=18，
QR=30.
∵ 242+182=302，即PQ2+PR2=QR2
∴ ∠QPR=90°
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
【点睛】解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.
【针对练习】如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
分析：根据勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.
解：∵AC=10，AB=6，BC=8，
∴AC2=AB2+BC2，
即△ABC是直角三角形.
设PQ与AC相交于点D，根据三角形面积公式有
BC·AB=AC·BD，
即6×8=10BD，解得BD=.
在Rt△BCD中，
又∵该船只的速度为12.8海里/时，
6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），
∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.
例4.如图，已知等腰△ABC的底边BC=2cm，AH平分∠BAC交BC于H，D是腰AC上点，且CD=2cm，BD=6cm，求AH的长．
解：∵BC=2，BD=6，CD=2，
∴，，
∴，
∴△BDC为直角三角形，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，
设AD=x，则AB=AC=x+2，
在Rt△ABD中，勾股定理得，
解得x=8，
∴AB=8+2=10，
∵AB=AC，AH⊥BC，BC=2，
∴BH=HC=，
由勾股定理得AH==3 （cm）．
例5.如图所示，在中，，且的周长为，点P从点A开始沿边向B点以每秒的速度移动；点Q从点B沿边向点C以每秒的速度移动，如果P、Q两点同时出发，经过3秒时，P、Q两点间的距离为多少？
解：设为，为，为，
∵的周长为，
∴，
即，
解得：，
∴，，，
∵，
∴是直角三角形，且．
经过3秒时，，，
又∵在中，，
∴，
即经过3秒时，P、Q两点间的距离为．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.在海面上有两个疑似漂浮目标． 接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行． 同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（ ）
A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°
2.如图，在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，D是AB的中点，P，Q分别是BC，DC上的动点，则AQ+QP的最小值是________．
3.已知:如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15， CD=7，AD=24，∠B=90°.求证:∠A+∠C=180.
4.如图,有一块地，已知∠ADC=90°，AD=4m， CD=3m，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.
5.如图，A，B，C，D是四个小镇，它们之间除(B，C外)都有笔直的公路相连接，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比.已知各城镇间的公共汽车票价如下:A B:10元; A C:12. 5元; A D:8元; B D: 6元;C D:4.5元.为了B，C之间的交通方便，在B，C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B，C之间的公路的票价为多少元
6.某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点的距离，以沙尘暴中心为圆心，周围以内都会受到沙尘暴影响．
(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响；
(2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
【参考答案】
C
4.8
3.证明:连接AC.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=202+152=252
∴AC=25
∵72+242=252
即CD2+AD2=AC2
∴∠D=90°
∴∠DAB+∠BCD=360°-∠B-∠D=180°
4.解:连接AC.
在Rt△ACD中，根据勾股定理,
AC2=AD2+CD2=42+32=25
∴AC=5m
∵52+122=132
即AC2+BC2=AB2
∴∠ACB=90°
∴S阴=S△ABC-S△ACD=×5×12-×3×4=24(m2)
5.解:连接BC.
∵82+62=102,即AD2+BD2=AB2
∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90
在Rt△BDC中，根据勾股定理，BC== =7.5
因此，B，C之间的公路的票价为7.5元.
6.（1）解：作于D，
在三角形中，，
∴是直角三角形，即，
，
，
解得∶千米，
所以，城镇C会受到影响．
（2）解：设沙尘暴中心到点E处城镇C开始受到影响，此时千米，
到F处结束影响，此时千米，
，
千米，
受影响的时间为（小时）
四、教学反思：
本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形”引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系”．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习的兴趣，又增强了学生的动手能力．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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