资源简介

《实数》单元教学设计
教材来源：湖南教育出版社
内容来源：八年级数学（上册）第三单元 实数
制定基于核心素养的单元目标
义务教育数学课程应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养。初中阶段核心素养主要表现为:抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识。其中本单元突出了抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识核心素养的培养。
本单元主要是学习无理数、平方根、算术平方根、立方根及实数的定义与性质，以及实数的运算法则。利用平方根、算术平方根、立方根及实数运算法则的进行有关计算题目，特别是平方根与算术平方根的不同之处。让学生经历数系扩展的过程，体会数系的扩展源于社会实际，又为社会实际服务的辩证关系。
二、相关课程标准摘引
【内容要求】
（1）了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。
（2）能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。
（3）能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。
（4）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
（5）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数 (及对应的负整数)的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。
（6）用有理数估计一个无理大致范围。
（7）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算 。
（8）了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式根号下仅限于数) 加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
三、教材分析
1、本章节数学思想：
数学思想方法是数学知识的主要组成部分，也是数学教学的主要内容，通过分析，本章的数学思想方法主要有:
（1）数形结合思想。本章为数与形的转换提供了一个基本支撑点一一数抽。有了数抽这个基础，把数与形有机的联系起来了，这样就可以用数形结合思想解决问题了，如解释了“实数与数抽上的点的一一对应关系”及“实数的大小比较”。
（2）分类讨论的思想。本章中关于实数的分类，就利用了这一思想。
（3）对立统一思想。由于本章引入了无理数、实数的概念，把开方、平方及有理数运算和实数运算统一起来，所以，在这一章中，有利于对学生进行“对立统一”思想方法的教育。
(4)转化的思想。本章中，通过“开方”的概念及计算器的应用，把有理数的运算转化为实数的运算。这是非常重要的思想方法，对它的学习不仅解决了实数的运算，而且对进一步学习数学提供了一种重要的思想方法。
2、对本章教材的理解与处理
本章教材注意突出学生的自主探索，通过一些熟悉的具体事物，让学生在观察思考、探索中体会实数的意义，探索数量关系，掌握实数的运算，其教育价值体现在以下几个方面:
(1)能使学生体会到数学与观察生活的紧密联系，认识到数、符号是刻画现实世界数量关系的重要语言。
(2)本章在数的概念的建立、扩充及运算的过程中，呈现给学生大量丰富的现实背景，并以学生已有的经验为出发点，关注知识的形成过程，关注学生的学习兴趣和自信心，关注学生探究和运用数学能力的发展，这将有助于培养学生的创新意识和发现能力。
3、《平方根》是湘教版八年级上第三章第一节内容，隶属于“数与代数”领域，重点结合实际问题情景认识算术平方根、平方根的意义，能够对平方根和算术平方根进行符号表示，能够利用概念的本质探求平方根、算术平方根，在运算方面，引入开平方运算，使学生掌握的代数运算由原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算体系。本节课是在学习了乘方运算基础上安排的，同时为后面类比学习立方根作铺垫，为后续学习实数及二次根式、一元二次方程解法中的直接开平方打基础。本节共两个课时，本课为第一课时，从学生熟悉的正方形面积与边长之间的关系入手提出已知面积探求边长的问题，通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。
四、学情分析
教学对象是八年级学生，在学习本章之前，已经系统学习过有理数，对有理数的概念和运算有了较深刻的认识，知道加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，并且已经学习了乘方运算。八年级的学生有了一定的观察归纳能力，能够和同学合作交流，但学生的抽象与概括能力还是有点薄弱，理解平方根和算术平方根概念和符号表达会有一定困难，在教学过程中，要注意结合具体的数来教学生理解和判断。
单元目标
1.了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类，能够判断一个数是有理数还是无理数;
2.了解实数绝对值的意义,了解实数与数轴上的点一一对应的关系;
3.通过实数与数轴上的点一一对应关系,使学生了解数形结合思想,提高思维能力;
六、教学策略分析
启发式、合作探究、探索式教学；让学生主动参与合作交流，探索、发现，注重知识形成的过程。
课时教学设计
课题：3.1.1平方根与算术平方根教学设计
一、 教学目标
知识与能力目标：
（1）了解平方根和算术平方根的概念；
（2）会算出一个非负数的平方根及算术平方根；
（3）了解平方与开平方是互逆运算。
2、过程与方法目标：
（1）通过学习平方根的概念，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。
（2）通过探究平方根的特征，及平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的迁移能力。
3、情感态度与价值观目标：
（1）让学生体验到数学与生活息息相关，数学来源于生活又应用于生活， 数学是有用的数学，是有价值的数学，所以要学好数学。
(2)在学习过程中互相帮助、交流、合作,培养团队精神,体验学习的乐趣。
二、教学重点
1.了解平方根与算术平方根的概念.
2.理解开方与乘方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.
3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.
三、教学难点
平方根与算术平方根的区别和联系；
四、教学方法
启发式教学和讨论式教学方法
五、教具
多媒体
六、教学过程
导入新课
【问题】某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8平方米，刚好用去正方形的
地垫30块.你能算出每块地垫的边长是多少吗？
（学生探讨，回答问题）
【解】每块正方形地垫的面积是
10.8÷30＝0.36（平方米），
即边长×边长＝ 0.36.
由于，
因此面积为0.36平方米的正方形地垫的边长是0.6米.
由此引入平方根的概念.
探究新知
1.平方根：如果有一个数r，使得r2＝a，那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.
例如，由于22＝4，所以2是4的一个平方根.
【问题】4的平方根还有其他数吗 ?
（学生回答问题，引导发现一个正数的平方根有2个，且它们互为相反数）
由于（-2）2＝4，所以-2也是4的一个平方根.
老师给学生举例，除了2和-2，4没有其他的平方根.
结论：如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.
2.算术平方根：正数的正平方根，叫作的算术平方根，记作，读作“根号”.
3.平方根的表示方法
一个正数a的正平方根，用“”表示，a叫作被开方数，正数a的负的平方根用“-”表示，所以正数a的平方根合起来记作±，读作“正、负根号a”.
4.平方根的性质
【问题】（1）16的平方根是什么？
（2）0的平方根是什么？
（3）-9有没有平方根？
（请学生自己也编3道题目，同桌交换解答，你发现了什么 ）
通过“交流”让学生自己发现结论，教师再加以总结.
【归纳】（1） 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；
（2） 零只有一个平方根0；
（3） 负数没有平方根.
【问题】平方根与算术平方根有哪些联系与区别？
【归纳】联系：1.平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种；
2.只有非负数才有平方根和算术平方根 ；
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：1.一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根；
2. 平方根表示为，而算术平方根表示为.
5. 开平方：求一个非负数的平方根的运算叫作开平方.
通过进行平方和开平方运算，引导学生认识到开平方是平方的逆运算.
例1　分别求出下列各数的平方根：
（1）36，（2），（3）1.21
解：（1）由于62＝36，
因此36的平方根是6与-6.
即±＝±6.
（2）由于
因此的平方根是与.
即.
（3）由于1.12＝1.21，
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即.
例2　分别求出下列各数的算术平方根.
100，，0.49
解：10，，0.7
课堂练习
1.的算术平方根是（ ）
A.±3 　　　　　B.3 　　　 C.± 　　　　D.
2.（-11）2的平方根是（ ）
A.121 　　　　　B.11 　　　 C.±11 D.没有平方根
3.判断下列说法是否正确：
（1）±1的平方根是1.
（2）1的平方根是1.
（3）-25的平方根是±5.
（4）＝±18.
（5）9是（-9） 2的算术平方根.
4.已知某数有两个平方根分别是a+3与2a-15，求这个数.
参考答案
1.D　2.C　3.（1）错　（2）错　（3）错　（4）错　（5）对　4.49
课堂小结
1.平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根.
（1） 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；
（2） 零只有一个平方根0；
（3） 负数没有平方根.
2.算术平方根：正数a的正平方根，叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”.0的算术平方根是0.
3.开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方.
布置作业
课本第110页习题第1，2题.
板书设计
3.1　平方根 第1课时　平方根与算术平方根 1.平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根. （1） 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数； （2） 零只有一个平方根0； （3） 负数没有平方根. 2.算术平方根：正数a的正平方根，叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”.0的算术平方根是0. 3.开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方.

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