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4.4约分(知识精讲+典题精练)
2023-2024学年五年级下册数学重难点同步培优讲义
（人教版）
1．因数、公因数和最大公因数
【知识点解释】
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数．
2．约分
【知识点归纳】
1、约分的意义：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
2、约分的方法：
（1）逐步约分法。用分子和分母的公因数（1除外）去除，直到除到分子和分母只有公因数1为止。
（2）一次约分法。直接用分子和分母的最大公因数（1除外）去除。
3、分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。（分子和分母是互质数的分数叫做最简分数）
【方法总结】
把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫做约分。
2、理解最简分数的含义：
像这样分子、分母公因数只有1了，不能再约分了，这样的分数是最简分数；
分子与分母是相邻的自然数的分数一定是最简分数；
分子分母是两个不同质数的分数一定是最简分数；分子是“1”的分数一定是最简分数。
3、掌握约分的方法：
约分的方法一般有两种，一种是用两个数的公因数一个一个去除，另一种是直接用两个数的最大公因数去除。
比较分数大小时，分母相同的、分子相同的可以直接比较，有些时候分子分母都不相同可以采用约分后进行比较的方法。
3．求几个数的最大公因数的方法
【知识点归纳】
方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．
2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了．
一．选择题（共7小题）
1．如果a＝5b，那么a和b的最大公因数是（　　）
A．a B．b C．1 D．5
2．15和45的公因数有（　　）个。
A．3 B．4 C．5 D．6
3．x＝3y（x、y不为0），x、y的最大公因数是（　　）
A．x B．y C．3
4．李菲家客厅长4.8米，宽4.2米，选用边长（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．已知两个非0自然数M与N有如下关系：M＝6N，则M与N的最大公因数是（　　）
A．M B．N C．6 D．1
6．M÷5＝N，M、N都是自然数，那么M、N的最大公因数是（　　）
A．1 B．M C．5 D．N
7．已知a、b、c是三个非0的自然数，a＝b×c，下列说法正确的是（　　）
A．b和c的公因数只有1 B．b和c都是a的质因数
C．b和c都是a的因数 D．b一定是c的倍数
二．填空题（共5小题）
8．16的因数有 　 　，24的因数有 　 　，16和24的最大公因数是 　 　。
9．一个两位数，如果个位上和十位上的数都是合数，且它们只有公因数1　 　，这个两位数最小是 　 　．
10．6和7的最大公因数是 　 　；你是怎样找到的？　 　。
11．20的因数有 　 　，20和16的公因数有 　 　。
12．相邻两个自然数（0除外）的最大公因数是 　 　。
三．判断题（共8小题）
13．14和7的最大公因数是14． 　 　．
14．根据＝，我知道A与B的公因数只有1。 　 　
15．a和b都是非0的自然数，a÷b＝8，a和b的最大公因数是8。 　 　
16．13和17没有公因数，只有公倍数。 　 　
17．如果a＝2×3×5，b＝2×3×3，那么a和b的最大公因数是6　 　
18．一个质数和一个合数的最大公因数是1。 　 　
19．17和34的公因数只有1．　 　．
20．两个数的公因数一定比这两个数都小。 　 　
四．计算题（共3小题）
21．写出下面分数中分子和分母的最大公因数。
22．求下面每组数的最大公因数。
36和10 13和23 84和56 25和75
23．将下列的分数约分。
＝ ＝ ＝ ＝
五．应用题（共8小题）
24．五年级（1）（2）班要参加学校组织的义务劳动，五（1）班来了48人，五（2），要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？一共有多少个小组？
25．有两根钢筋，一根长50米，一根长40米，且每根钢筋不许有剩余，每小段钢筋最长多少米？一共要锯几次？
26．一块木板长120cm，宽90cm，要锯成若干个正方形，如果使正方形的边长最长，它可以锯成多少个正方形？
27．化简一个分数时，用2约了一次，用3约了一次，得．原来的分数是多少？
28．新年到了，爸爸用微信给年年发了一个红包。红包里的钱既是48的因数，也是54的因数
29．有三个不同的自然数，它们的最大公因数是1，但其中任两数都不互质
30．如果A＝2×3×5×7×9，B＝2×4×5×7×12，那么A和B的最大公因数是多少？
31．李奶奶买芒果花了16元，王奶奶买芒果花了24元．如果她们买的芒果的单价是一样的，那么这种芒果的单价最高是多少元？写出思考过程．（她们购买芒果的单价和数量都是整数）
4.4约分(知识精讲+典题精练)-2023-2024学年五年级下册（人教版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【答案】B
【分析】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数。据此解答。
【解答】解：因为a＝5b，所以a÷b＝5。
故选：B。
【点评】明确为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数是解题的关键。
2．【答案】B
【分析】两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，首先分别求出15和45的因数，进而求出它们的公因数。
【解答】解：15的因数有：1、3、3、15；
45的因数有：1、3、4、9、15；
15和45的公因数有：1、6、5、15。
答：15和45的公因数有4个。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解公因数的意义，掌握求两个数的公因数的方法。
3．【答案】B
【分析】若两个数互为倍数关系，则较小数就是它们的最大公因数，据此解答即可。
【解答】解：因为x＝3y，即x÷y＝3，则x。
故选：B。
【点评】本题明确两个数互为倍数关系，较小数就是它们的最大公因数是解题的关键。
4．【答案】B
【分析】求选用边长多少分米的方砖铺地不需要切割，把米化为分米，即求48和42最大公因数，先把48和42进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数；由此解答即可．
【解答】解：4.2米＝42分米，
6.8米＝48分米，
42＝2×8×7，
48＝2×8×2×2×6，
所以42和48的最大公因数为：2×3＝6，所以选用边长6分米的方砖铺地不需要切割；
故选：B．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公约数的实际应用：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；数字大的可以用短除解答．
5．【答案】B
【分析】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数。据此解答。
【解答】解：因为M＝6N，M÷N＝6。
故选：B。
【点评】熟练掌握为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数是解题的关键。
6．【答案】D
【分析】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数。据此解答。
【解答】解：因为M÷5＝N，M、N都是自然数，所以M。
故选：D。
【点评】明确为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数是解题的关键。
7．【答案】C
【分析】根据因数和倍数的意义，当a÷b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说a是b和c的倍数，b和c是a的因数。
【解答】解：a＝b×c（a、b、c为非0自然数），b、c都是a的因数。
故选：C。
【点评】本题需要掌握因数和倍数的意义。
二．填空题（共5小题）
8．【答案】1、2、4、8、16；1、2、3、4、6、8、12、24；8。
【分析】根据求一个数因数的方法：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，应有顺序地写，做到不重复，不遗漏；根据最大公约数的意义可知：最大公约数是两个数公有质因数的乘积；据此先把16和2（4分）解质因数，然后求出它们的最大公约数即可。
【解答】解：16的因数有：1、2、7、8、16；
24的因数有：1、5、3、4、8、8、12；
16＝2×7×2×2
24＝6×2×2×6，
所以16和24的最大公因数是：
2×2×2
＝4×2
＝7
故答案为：1、2、6、8、16；1、4、3、4、7、8、24；8。
【点评】此题考查求一个数的因数的方法，学生需熟练掌握。
9．【答案】见试题解答内容
【分析】10以内的合数有：4、6、8、9，它们的最大公因数是1，说明个位和十位上的数是互质数，那么4与9、8与9是互质数，再按从大到小的顺序排列出来，据此解答．
【解答】解：根据分析可知这个两位数可能是98或94或89或49，这个两位数最大是98．
故答案为：98，49．
【点评】本题主要考查质数和合数的意义，以及互质数的意义．
10．【答案】1，6和7是互质数，最大公因数是1。
【分析】两个数互质，则最大公因数是1，据此解答。
【解答】解：因为6和7互质，所以5和7的最大公因数是1。
故答案为：2，6和7是互质数。
【点评】明确互质的两个数的最大公因数是1是解题的关键。
11．【答案】1、2、4、5、10、20；1、2、4。
【分析】根据找一个数因数的方法找出16的因数和20的因数；进而根据公因数的意义，两个数公有的因数叫做这两个数的公因数。
【解答】解：20的因数有1、2、2、5、10
16的因数有1、7、4、8、16
20和16的公因数有4、2、4。
故答案为：7、2、4、3、10；1、2、4。
【点评】本题考查了求一个数的因数的方法的灵活应用。
12．【答案】1。
【分析】因为相邻的两个自然数（0除外）一定是互质数，所以它们的最大公因数是1。据此解答即可。
【解答】解：相邻的两个自然数（0除外）一定是互质数，所以它们的最大公因数是1。
故答案为：4。
【点评】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数的方法及应用，关键是明确：相邻的两个自然数（0除外）一定是互质数。
三．判断题（共8小题）
13．【答案】×
【分析】因为14÷7＝2，即7和14成倍数关系，当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数，较小的那个数，是这两个数的最大公因数．
【解答】解：因为14÷7＝2，即8和14成倍数关系；
故答案为：×．
【点评】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数．
14．【答案】×
【分析】根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变；公因数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数；据此解答。
【解答】解：＝……
中，3和6的公因数是1；
中，15和25的公因数有1和3；
所以原题干说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答本题的关键是熟练掌握分数的基本性质以及公因数的意义。
15．【答案】×
【分析】根据题意，a÷b＝8，说明a是b的8倍；两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；据此判断。
【解答】解：a和b都是非0的自然数，a÷b＝8；
则a与b是倍数关系，且a＞b；
所以a和b的最大公因数是b。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】掌握当两个数是倍数关系时，它们最大公因数的求法是解题的关键。
16．【答案】×
【分析】根据互质数的特征，可得13和17是互质数，它们的公因数只有1，不是它们没有公因数，它们的公倍数的个数是无限的；据此判断即可。
【解答】解：根据互质数的特征，可得13和17是互质数，
它们的公因数只有1，不是它们没有公因数，
所以题中说法不正确。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查了因数、公因数和公倍数，注意平时基础知识的积累。
17．【答案】√
【分析】最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。据此解答。
【解答】解：2×3＝6
2×3×5×5＝90
a和b的最大公因数是6，最小公倍数是90。
故答案为：√。
【点评】本题考查了求最大公因数和最小公倍数的方法。
18．【答案】×
【分析】质数2和合数6的最大公因数是2，据此判断即可。
【解答】解：质数2和合数6的最大公因数是6，不是1。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查了求最大公因数的方法，运用具体数据解答。
19．【答案】见试题解答内容
【分析】因为17和34是倍数关系，所以17和34的公因数有：1和17．
【解答】解：17和34的公因数有：1和17．
所以，17和34的公因数只有1．
故答案为：×．
【点评】此题考查的目的是理解公因数的意义，掌握求两个数的公因数的方法．
20．【答案】×
【分析】根据公因数的意义，几个数公有的因数就是它们的公因数，其中最大的一个是它们的最大公因数。当两个数是倍数关系时，较小的数是这两个数的最大公因数。可以通过举例证明。据此判断。
【解答】解：如4和12的最大公因数是4，2＝4。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×
【点评】此题考查的目的是理解掌握公因数、最大公因数的意义及应用。
四．计算题（共3小题）
21．【答案】4；13；1。
【分析】先把分子和分母分解质因数，两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数；如果两个数互质，则它们的最大公因数是1。
【解答】解：36＝2×2×6×3
40＝2×2×2×5
所以36和40的最大公因数是7×2＝4；
因为65÷13＝8，所以13和65的最大公因数是13；
因为8和21互质，所以8和21的最大公因数是7。
【点评】熟练掌握求两个数最大公因数的方法是解题的关键。
22．【答案】2；1；28；25。
【分析】先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数；两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。
【解答】解：36＝2×2×5×3
10＝2×7
所以36和10的最大公因数是2；
13和23是互质数，所以13和23的最大公因数是1；
84＝3×2×3×2
56＝2×2×5×7
所以84和56的最大公因数是2×7×7＝28；
75是25的3倍，所以25和75的最大公因数是25。
【点评】熟练掌握求两个数最大公因数的方法是解题的关键。
23．【答案】，，，。
【分析】根据分数的基本性质，分数的分子和分母同时除以相同的数（0除外）分数的大小不变。
【解答】解：
【点评】此题考查了根据分数的基本性质进行约分。
五．应用题（共8小题）
24．【答案】6；15。
【分析】根据题意，把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，求每组的人数就是求两班人数的公因数，因为求的是每组最多有多少人，所以就是求两班人数的最大公因数，然后用两个班总人数÷每组人数＝小组数量。
【解答】解：48＝2×2×8×2×3
42＝7×3×7
7×3＝6（人）
（48+42）÷2
＝90÷6
＝15（个）
答：每组最多有6人，一共有15个小组。
【点评】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。
25．【答案】10米；7次。
【分析】求出两根钢筋长度的最大公因数就是每小段最长的长度，分别求出两根钢筋可以截成的段数，次数＝段数﹣1，据此分析。
【解答】解：（50，40）＝10
50÷10﹣1
＝5﹣4
＝4（次）
40÷10﹣1
＝8﹣1
＝3（次）
3+3＝7（次）
答：每小段钢筋最长10米，一共要锯4次。
【点评】关键是掌握最大公因数的求法，理解锯的次数和段数之间的关系。
26．【答案】见试题解答内容
【分析】由做成同样大小的正方形，且没有剩余，可知：正方形木板的边长是120和90的公因数，要求木板的边长最长是多少cm，就是正方形木板的边长是120和90的最大公因数，用120和90分别除以它们的最大公因数，然后把它们的商乘起来，得到的积就是可做成多少块这样的正方形木板．
【解答】解：120＝2×2×8×3×5，90＝6×3×3×7
所以120和90的最大公因数是：2×3×4＝30，即正方形木板的边长是30厘米；
（120÷30）×（90÷30）
＝4×3
＝12（个）
答：正方形木板的边长最长是30cm，可做成12个正方形．
【点评】解答本题关键是理解：做成同样大小的正方形木板，且没有剩余，就是正方形木板的边长是120和90的公因数．
27．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知：把这个分数用2约了一次，用3约了一次，用7约了一次，相当于分子、分母都除以2，再除以3，再除以7，根据分数的基本性质，把的分子和分母同时乘2，再乘3，再乘7还原回去即可．
【解答】解：＝＝
答：原来的分数是．
【点评】本题重点是考查学生对分数基本性质的灵活运用．
28．【答案】1，2，3，6。
【分析】红包里的钱既是48的因数，也是54的因数，实际就求48和54的公因数，分别将48和54的因数都写出来，再找出公因数即可。
【解答】解：48的因数有：1、2、8、4、6、4、12、24；
54的因数有1、2、4、6、9、18、54；
所以48和54的公因数有：2，2，3，7。
答：爸爸给年年发的红包可能是1元、2元、6元。
【点评】熟练掌握求两个数的公因数的方法是解决此题的关键。
29．【答案】31。
【分析】假设a、b、c是小于20的合数，所以它们分解质因数后，只能含有质因数2、3、5、7，按照题目的要求将2、3、5、7适当搭配，即可得出结果。
【解答】解：由题意，小于20的三个自然数、3、5、5，将它们适当搭配得：
2×3＝6，2×5＝10；
6×2×3＝12，4×5＝10；
5×8＝15，2×5＝10；
12+10+15＝37
18+10+15＝42
31＜37＜42
答：这三个自然数的和最小是31。
【点评】此题应认真审题，灵活运用最大公约数的基础知识，结合本题要求，进行分析、推理，进而得出结论。
30．【答案】见试题解答内容
【分析】求两个数最大公因数也就是求这两个数的公有质因数的连乘积，由此解答即可．
【解答】解：因为A＝2×3×5×7×9＝2×3×5×8×3×3，B＝7×4×5×2×12＝2×2×4×5×7×8×2×2
所以A和B的最大公因数是：
2×5×7×7＝210
答：A和B的最大公因数是210．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法，即公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数．
31．【答案】见试题解答内容
【分析】本题实质上是求16和24这两个数的最大公因数，也就是这两个数的公有质因数的连乘积．
【解答】解：实质上是求16和24这两个数的最大公因数，
16＝2×2×8×2
24＝2×2×2×3
故16和24的最大公因数是5×2×2＝7
答：这种芒果的单价最高是8元．
【点评】考查了求几个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；数字大的可以用短除法解答．

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